基于多新息CDKF算法的鋰電池SOC估計

達楊陽，萬佑紅，張帥帥

(南京郵電大學自動化學院、人工智能學院，江蘇南京 210023)

鋰離子電池因其比能高、負載能力高、自放電率低等優點[1]，在電動汽車和儲能系統中得到了廣泛應用。SOC作為電池內部狀態量，無法直接量測，只能通過電池外部電壓和電流進行估計[2]。對SOC的不準確估計很容易導致電池過充或過放，從而危害電池本身并產生安全問題[3]。

SOC估計中常用的方法有：(1)安時積分法[4]和開路電壓法[5]，理論簡單且易于實現，但受限于精度和測量條件;(2)人工神經網絡[6]，模糊邏輯建模[7]，模糊神經網絡[8]等機器學習方法,需要大量精確數據，且結果易受不同數據集影響;(3)Kalman 濾波法，其衍生算法在SOC估計中應用最為廣泛。

鋰離子電池實質上是非線性系統，由于模型誤差和量測儀器偏差等因素，系統中常包含不確定性噪聲。標準Kalman濾波極度依賴于模型的準確性，魯棒性較差。擴展Kalman 濾波(EKF)[9]對非線性函數作一階泰勒展開處理，忽略了二階及以上誤差，在系統非線性強度較大時誤差比較明顯。無跡Kalman 濾波(UKF)[10]采用sigma 點近似而非泰勒級數展開，避免了對非線性函數解析求導，但模型階數增加會增加sigma點數量，增大計算復雜度。中心差分卡爾曼濾波方法(CDKF)[11]以中心差分代替泰勒公式中的一階和二階導數，避免復雜的求導運算，精度與UKF 相仿。H∞濾波[12]通過設計合適的代價函數J來確保系統狀態在不確定性噪聲影響下不會超出設定的性能邊界，將噪聲對狀態估計的負面影響降到最低。但H∞濾波并非最優估計，算法估計結果偏保守。

本文采用等效電路模型對鋰離子電池進行分析。為在模型精度和計算復雜度間取得平衡，建立二階RC 等效電路模型，提出一種基于多新息的中心差分Kalman 濾波方法，將傳統Kalman 濾波方法的標量新息拓展為新息向量，根據各歷史信息與當前時刻數據關聯程度賦予相應權值，有效提高SOC估計精度和魯棒性。

1 鋰離子電池建模與參數辨識

1.1 模型選取與建立

本文建立的二階RC 等效電路模型如圖1 所示。

圖1 中，Uoc為開路電壓；Ut為電池端電壓；R1和C1分別是電化學極化電阻、電容；R2和C2分別是濃差極化電阻、電容；R0為內阻；I為電池電流，充電為正；U1為電阻R1端電壓；U2為電阻R2端電壓。

圖1 二階RC 等效電路模型

根據基爾霍夫定律和安時積分法表達式，對等效電路模型建立狀態空間方程為：

式中：Cn為電池的容量；η 為庫侖效率系數；Δt為采樣周期；vk-1和nk分別為k-1 時刻過程噪聲和k時刻量測噪聲；τ1和τ2為RC 網絡的時間常數，τ1=R1′C1，τ2=R2′C2；Uoc()為Uoc關于SOC的函數；Ik-1為k-1 時刻的電流，Ik同理。

1.2 SOC-OCV 曲線

本文基于BT-2018D 國產鋰電池測試系統、電池數據采集系統對LG18650HG2 三元鋰電池進行實驗。單體電池額定容量3 Ah，額定電壓3.6 V，電壓檢測誤差±1.5 mV，溫度檢測精度±1.5 ℃，數據采樣頻率為10 Hz，實驗在25 ℃環境中進行。

對電池進行0.5C恒流充放電，充電或放電后將電池靜置一定時間以獲得準確開路電壓Uoc。圖2 為對充電和放電SOC-OCV曲線均值進行擬合[13]，擬合式如下：

圖2 SOC-OCV曲線

1.3 帶遺忘因子遞推最小二乘法

由于鋰離子電池模型中參數會受到環境溫度和電池老化程度的影響，參數會隨SOC變化而變化，因此采用最小二乘法進行參數辨識。帶遺忘因子遞推最小二乘法(FFRLS)[14]在遞推最小二乘法(RLS)的基礎上引入遺忘因子λ，降低舊數據對參數估計的影響，避免數據飽和現象。λ 一般取值0.90～1.00 之間，本文取值為0.96。FFRLS 表達式為：

式中：θk為待辨識參數向量為估計參數向量；Kk為增益向量；zk為系統實際輸出值；hk為數據向量；T 為矩陣或向量的轉置；Pk為估計誤差協方差矩陣；E為單位矩陣。

1.4 模型參數辨識

鋰電池通?？梢暈榉蔷€性時變系統，式(1)對應的脈沖傳遞函數為：

式中：a1，a2，b1，b2，b3為AR 模型待辨識參數。

令Uk=Ut，k-Uoc，k，由脈沖響應不變法將式(4)轉換為差分方程：

式中：a1，a2，b1，b2，b3為AR 模型待辨識參數，這些參數與二階RC 模型中的電阻和電容可相互轉換。令Zk=Ut，k-Uoc，k，=[Zk-1,Zk-2,Ik,Ik-1,Ik-2]，待辨識參數向量a1，a2，b1，b2，b3]。設為合理初值，P0為103×E5×5，E5×5為5 階單位矩陣。對DST 工況數據應用FFRLS 進行參數辨識，得到各電阻電容實時值。將模型輸出值與實際值進行對比，仿真結果與實測結果對比及誤差見圖3。

圖3 模型輸出與實際電壓對比及誤差

從平均相對誤差(MRE)、絕對誤差均值(MAE)和均方根誤差(RMSE)三方面進行評測，各指標定義如下：

式中：N為采樣點總數。由參數辨識結果得MRE為0.148 68%，MAE為5.4 mV，RMSE為7.7 mV，辨識精度較高。

2 基于MI-CDKF 的SOC 估計算法

相比于EKF 需要進行求導運算，CDKF 方法采用Sterling差值公式，采用中心差分替代EKF 的一階和二階導數。中心差分通過對非線性函數特定點的值進行計算，避免了復雜的求導運算，CDKF 的迭代流程見圖4。

圖4 CDKF迭代流程圖

圖中：xav=[xTvT]T，xan=[xTnT]T，h≥1 為中心差分步長，L為增廣狀態向量維數，Rv為過程噪聲協方差矩陣，Rn為量測噪聲協方差矩陣，(·)2為向量外積簡寫，如a2=aaT。

為對過去時刻歷史信息加以利用，引入多新息理論，與中心差分Kalman 濾波結合。將標量新息擴展為新息向量，同時將CDKF 的增益向量擴展為增益矩陣Kp,k：

式中：p為新息向量長度；Kp,k表示長度為p的Kalman 增益矩陣；Kk-p+1為相對于當前時刻過去p-1 時刻的增益向量。

由量測更新中單獨提出后驗估計式：

將標量新息和增益向量換為擴展后的新息向量和增益矩陣，表示如下：

式中：λj的取值會影響到MI-CDKF的性能改善程度。文獻[15]提到新量測數據應當比舊量測數據賦予更大權重。為保證當前數據的更新誤差作用占主導地位，對λ 值的取值應當遵循以下原則：

式中：0＜h＜1，h趨于1 時，舊數據權重等同當前數據，h趨于0時退化為CDKF。當多新息向量長度≤3 時，為突出當前數據作用，h值根據經驗可取0.80 以內的值。多新息長度大于3時，偏重對歷史信息的考慮，h值根據經驗可取0.50 以上的值。

出于計算量考慮，多新息向量長度一般限制在2～8 以內，因此對λ 值的選取如下：

式中：α，β 值選取視多新息向量長度而定。

3 實驗結果與分析

實驗采用UDDS 工況對電池進行放電，并在此工況數據下驗證本文算法。為比較MI-CDKF 和EKF、UKF、CDKF 的魯棒性和收斂速度差異，將SOC初值設置為0.7。其中收斂速度用調節時間表示定義為：ts=max{t|(SOCes-SOCref)≥±5%}，式中SOCes為SOC估計值，SOCref為參考SOC值。為了在提升估計性能的同時不過多增加計算量，擴展新息向量長度取2、3、4 進行比較。

基于式(11)的參數選取準則，為兼顧收斂速度和估計精度，通過多次實驗獲取較為合理的參數區間，見表1。

表1 不同長度新息向量合理參數區間

表1 中參數在給定區間內收斂速度和估計精度都有所提升，但參數的選擇對收斂速度和估計精度的影響有偏重性。為兼顧兩者，當p=2 時，選取α=0.9，β=0.3；p=3 時，選取α=0.8，β=0.4；p=4 時，選取α=0.7，β=0.4。對三種不同新息長度的MI-CDKF 進行仿真。實驗結果如圖5 和圖6 所示。為便于觀察估計精度和收斂速度，圖5 和圖6 加入了局部放大圖。

圖5 不同p值下SOC估計結果

圖5 中，CDKF 算法引入多新息理論后，估計精度得到了改善，其中p=3 時改善精度最佳。由圖6 可見MI-CDKF 的收斂速度快于標準CDKF，同時估計精度均得到不同程度改善。表2 顯示了不同p值下CDKF 的性能對比。對比各性能可見多新息向量長度為3 時效果最佳。

圖6 不同p值下SOC估計誤差

表2 不同p 值下CDKF 性能對比

為驗證MI-CDKF 對不同SOC初值的魯棒性，將SOC初值分別設置為0.3、0.5、0.7，得到的仿真結果如圖7 所示。其中SOC=0.3 時調節時間為11.7 s，SOC=0.5 時調節時間為7.1 s，SOC=0.7 時調節時間為3 s，MI-CDKF 方法對不同SOC初值均具有較強魯棒性。

圖7 不同SOC初值對比

將MI-CDKF(p=3)與EKF、UKF 和CDKF 進行比較，對上述方法均設置過程噪聲協方差矩陣Q為diag([0.01 0.02 0.000 01])，其中diag表示對角陣，量測噪聲協方差矩陣R為0.01。結果如圖8 和圖9 所示。

圖8 不同SOC估計方法結果

圖9 不同SOC估計方法誤差對比

圖8 和圖9 中可以看到，MI-CDKF 在收斂速度和估計精度上都明顯優于其他三種方法，四種方法的性能對比見表3。

表3 顯示，MI-CDKF 方法比起常用的EKF、UKF 和CDKF方法在絕對均值(MAE)、均方根誤差(RMSE)、最大誤差的絕對值(MAXE)和收斂速度上均更有優勢。

表3 不同SOC 估計方法性能對比

在實際電池管理系統中，傳感器的誤差主要有系統誤差和隨機誤差，隨機誤差可通過Kalman 濾波算法予以較好抑制，而系統誤差可以看作是加在測量值上的偏移值[16]?？紤]到電池管理系統中常用電壓傳感器最大漂移范圍不超過0.01 V，電流傳感器最大漂移范圍不超過0.1 A，為驗證所提方法魯棒性，分別在電壓和電流上人工加入固定電壓誤差和電流誤差，最后將兩種誤差合并加入。圖10 顯示四種不同狀況下MI-CDKF(p=3)方法SOC估計性能的對比，其中M1 表示MI-CDKF 無電壓電流漂移情況，M2 表示MI-CDKF 帶電壓漂移情況，M3 表示MI-CDKF 帶電流漂移情況，M4 表示MICDKF 帶電壓電流漂移情況。

圖10 四種情況下MI-CDKF性能對比

由于實際運行中電壓信號和電流信號的最大漂移范圍小于設定值，因此此法在實際應用中性能應優于實驗中設定情況下測試所得性能。MI-CDKF 在傳感器帶漂移情況下依舊保持一定魯棒性。

4 結論

根據鋰離子電池的特性，建立了二階RC 等效電路和對應的非線性狀態空間方程，采用帶遺忘因子的遞推最小二乘法(FFRLS)對電池相應參數進行辨識，并將多新息理論引入中心差分卡爾曼濾波(CDKF)。首先對比不同新息向量長度下的多新息中心差分卡爾曼濾波(MI-CDKF)和標準CDKF 的性能，當p=3 時，MI-CDKF 的改善效果最佳。其次在不同SOC初值下驗證MI-CDKF 的魯棒性，并將MI-CDKF 與傳統的EKF、UKF 和CDKF 進行實驗對比，結果表明MI-CDKF 在估計精度和收斂速度方面均優于傳統方法。最后在傳感器漂移現象中驗證了MI-CDKF 的魯棒性。