凍黏土與結構接觸界面層單剪損傷模型

孫厚超 楊平 卜迎春 石飛停

摘 要：為探究凍土界面層單剪損傷力學特性，本文根據凍黏土與結構接觸界面層單剪力學特性試驗結果，基于經典的摩爾庫侖準則，將內聚力與摩擦系數作為一個與應力第一不變量相關的函數，建立適合于描述凍土材料破壞的本構模型。通過凍土界面層單剪損傷分析，在模型中引入塑性和損傷等內變量，同時建立與溫度和粗糙度等相關影響因素的關系，根據熱力學第二定律和正交法則，構建用于描述凍土與結構接觸界面層單剪的彈塑性損傷模型。采用開發的凍土界面層單剪本構模型，給出相關的數值求解格式，對于各種工況下所反映出的力學特征進行有限元計算分析，與凍土界面層單剪物理試驗進行對比驗證，結果表明，所建模型是準確合理的。

關鍵詞：接觸界面層;凍黏土;抗剪強度;單調剪切;損傷模型

中圖分類號：TU435??? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1006-8023（2022）01-0115-09

A Damage Model for Frozen Soil-structure Interface Layer

under Monotonic Shearing

SUN Houchao1， YANG Ping2*， BU Yingchun1， SHI Feiting1

（1.College of Civil Engineering， Yancheng Institute of Technology， Yancheng 224051， China;

2.College of Civil Engineering， Nanjing Forestry University， Nanjing 210037， China）

Abstract：In order to explore the mechanical characteristics of monotonic shear damage of frozen soil interface layer， according to the test of mechanical properties of frozen soil-structure interface and classical Mohr-Coulomb criterion， internal cohesion and friction coefficient are assumed to be a function related to the first invariant of stress， then a constitutive model suitable for describing the failure of frozen soil materials is established. Based on the monotonic shear damage analysis of frozen soil interface layer， some intrinsic variables such as plasticity and damage are introduced into the model， and the relationship between temperature and roughness is established. According to the second law of thermodynamics and orthogonal law， an elastic-plastic damage model is established to describe the monotonic shear layer at the interface between frozen soil and structure. The monotonic shear constitutive model of frozen soil interface layer is developed， and the numerical solution format is given. Comparison of finite element analysis and experimental results under various working conditions shows that the proposed model yields good results.

Keywords：Interface layer; frozen soil; shear strength; monotonic shear; damage model

0 引 言

接觸界面層模型成為研究土與結構相互作用的重要問題之一。國內外學者已經通過常溫土接觸面模型試驗研究，建立了理想模型、非線性彈性模型、彈塑性模型和損傷模型等接觸面本構模型[1-2]。Clough等[3]基于直剪試驗建立接觸面剪應力與相對切向位移的雙曲線模型;Brandt[4]在試驗數據分析基礎上構建（τ（剪切應力）/σ（正應力）-ω（摩擦力））曲線的兩折線簡化模型; Mortara等[5]通過接觸面循環加卸載力學試驗，提出簡單彈塑性接觸面本構模型;Desai等[6]在接觸面本構關系中引入損傷，開辟接觸面研究新思路;陳慧遠[7]研究表明，當剪切應力（τ）小于摩擦力（ω）時，τ-ω為線彈性關系，相反，當剪切應力大于或等于摩擦力時，接觸面進入摩擦滑移階段，τ-ω為塑性關系;錢家歡[8]通過試驗和理論研究表明，接觸面的相對位移與應力呈黏彈塑性關系;盧廷浩等[9]在單調剪切試驗基礎上，利用耦合法向和切向變形，建立了接觸面二維、三維本構模型;HU等[10]在直剪試驗的基礎上，建立能模擬粗糙接觸面應力弱化和剪脹現象的損傷力學模型;張嘎等[11]通過大量接觸面試驗總結粗粒土與結構接觸面靜、動力學特性規律，建立了粗粒土與結構接觸面彈塑性損傷模型。

已有的描述接觸面力學行為的本構模型主要是在常溫條件下建立的，有關凍土與結構接觸界面層本構模型鮮見報道。鑒于凍土與常溫土在力學行為上存在巨大差異，凍土與結構接觸界面層單調剪切初期存在一個明顯最大剪應力，隨后接觸界面層剪應力迅速衰減到一個相對較小穩定數值，直至剪切結束。用充分考慮土的黏聚力和內摩擦角的摩爾庫侖破壞準則對于凍土界面層的破壞模型描述會存在較大偏差，因此，建立凍土與結構接觸界面層單剪損傷模型很有必要，也是重要的科學問題。

1 模型建立方法和過程

根據凍土與結構接觸界面層力學特性試驗結果建立適合于描述凍土材料破壞的本構模型，并在模型中引入損傷和塑性等內變量，同時建立與溫度和粗糙度等相關影響因素的關系。將凍土界面層本構模型嵌入其中，給出相關的數值求解格式。通過開發的凍土界面層本構模型對于各種工況下所反映出的力學特征進行有限元計算分析，來進一步驗證所開發的本構模型可行性。

試驗采用課題組自行研制的凍土與結構接觸界面層力學試驗儀[12]，該設備配有加荷、溫控和數據采集系統，以及自主研發微變形測量系統。試驗土料采用南京地鐵穿越的典型土層-粉質黏土的重塑土，試驗固定參數：黏土含水率為30%，常應力法向邊界條件，剪切速率為5 mm/min，最大剪切位移11 mm。開展3種接觸面粗糙度（0.3、0.8、1.4 mm），3種界面層溫度（-6、-10、-14 ℃）和4種法向應力（100、300、500、700 kPa）條件下凍黏土與結構界面層單調剪切試驗。

1.1 凍土界面層彈塑性本構模型構建

當凍土作為一個界面黏結層時，凍土內部物理過程的變化基本類似，但是其對于結構與凍土間的相互影響就變得非常重要。由于凍土與結構兩者之間的接觸決定了兩者間的穩定性，如果凍土界面層先于凍土本身發生破壞，則對于工程結構的安全性造成影響，甚至引起結構破壞。所以建立凍土界面層本構模型具有科學和工程意義。

可以認為，凍土界面層隨著溫度降低會由準脆性破壞向脆性破壞轉化。因此，在凍土界面層本構模型的建立過程中，需要考慮溫度、粗糙度和法向應力等因素的影響。

由圖1可以看出，凍土與結構接觸界面層之間剪切過程有3個發展階段。

首先是凍土體與結構之間在法向應力作用下密合凍結階段;在水平剪切力作用下，凍土界面層開裂膨脹階段，進入第2發展階段;凍土界面層在結構剪切作用下發生塑性損傷，并在法向應力作用開始沿剪切面滑動摩擦，進入第3發展階段。

凍土界面層單調剪切試驗[13]結果表明，凍土界面層剪切強度隨著結構粗糙度的增加而提高，實驗中將結構粗糙面規則化為鋸齒狀，因此，結合文獻[14]，由圖1可以得到：

τn=τcosi-σsiniσn=σcosi+τsini。（1）

假定鋸齒面的滑動破裂服從庫侖-納維爾 （Coulomb-Navier）準則，并假定內聚力（C） 為 0，則

τn=σntanθ。 （2）

式中，θ為粗糙面的內摩擦角。

將公式（1）代入公式（2），凍土界面層滑動破壞準則：

τ=σtan（θ+i）。 （3）

公式（3）相當于圖2中凍土界面層沿鋸齒面膨脹階段，當法向應力σ較大時，結構面板將剪斷凍土界面層，并沿該面作摩擦剪切，其剪斷準則為：

τ=C+σtanθ。 （4）

通過凍土界面層單剪實驗結果[13]分析發現，在不同法向應力作用下的凍土界面層剪切破壞，凍土界面層力學特性對法向應力有非常明顯依賴行為。這一點是以往的研究中沒有詳細闡述的一個現象，且這種法向應力敏感程度還依賴于凍土界面層溫度與含水率。為了能夠描述這樣的塑性行為，提出對于經典摩爾-庫侖準則進行修正的塑性本構模型。基于細觀維象的考慮，發現冰晶體與其包裹的土顆粒所組成的凍土界面層結構需要考慮能夠反映圍壓的應力不變量。

傳統的摩爾-庫侖塑性屈服準則（考慮應變強化）表示為：

F=τn-μσn-c≤0。 （5）

式中：c為凍黏土黏聚力;μ為界面摩擦系數。

依據文獻[15]，對其進行擴充，引入第一應力不變量I1，根據摩爾-庫侖準則得到

F=αI1+τn–μI1σn-c≤0。（6）

式中：α為一個凍土界面層參數，受結構粗糙度影響;μ（I1）表示摩擦系數是第一應力不變量的函數，表征凍土界面層的特性;c為與界面層溫度相關的凍土黏聚力。

1.2 凍土界面層彈塑性損傷分析

1.2.1 建模理論基礎

（1）應變等價原理

應力（σ）作用在受損材料上引起的應變與有效應力（σ～）作用在無損材料上引起的應變等價，如圖3所示。

εij=σijE～ijkl=σ～ijEijkl=σij（1-d）Eijkl。（7）

式中：Eijkl為無損材料彈性模量;σij為平面應力;d為損傷因子 ;ij為平面應變 ;σ～ij為平面有效應力。

公式（7）表示一維問題中受損材料的本構關系。

將公式（7）改寫為：

εkl=σijE～ijkl。（8）

式中受損材料有效彈性模量E～ijkl=Eijkl（1-d）。

由此得到

d=1-E～ijklEijkl。 （9）

（2）能量等效原理

西多霍夫（Sidoroff）認為用柯西應力和含損傷模量表示的彈性能等于用有效應力和初始無損模量表示的彈性能[16]。在一維情況下：

ρψe=12εeijσij=12σ2ijE～ijkl=12σ～2ijEijkl 。（10）

式中，Ψe為彈性應變能。

同時σ～ij=σij1-d故有

σ2ijE～ijkl=σ2ijEijkl（1-d）。（11）

從而得到

E～ijkl=（1-d）2Eijkl。 （12）

因此能量等效原理得到的彈性模量與損傷的關系，再由應變等效假設得到：

ε～ij=σ～klEijkl=σklEijkl（1-d）=（1-d）σklEijkl（1-d）2=（1-d）εij。 （13）

當采用彈塑性損傷理論描述凍土界面層行為時，利用等效應變假設可以得到含損傷的控制方程如下：

σ=（1-d）Del0/（ε-εpl）-Del（ε-εpl）。（14）

式中 ：Del0為無損時材料剛度;Del為損傷時材料剛度;σ為Cauchy應力;ε為總應變量;εpl為塑性應變量。

同時根據連續損傷力學概念可以定義有效應力表達式為：

σ～=Del0/（ε-εpl）。（15）

式中，σ～為有效應力。

有效應力與cauchy應力之間的關系為：

σ=（1-d）σ～。 （16）

根據參考文獻[15]，為了區分凍土界面層類材料拉伸與壓縮行為的不同，使用2個強化變量ε～plt和ε～plc，分別表示拉伸等效塑性應變和壓縮等效塑性應變，強化變量的演化方程可以表示為：

ε～pl=ε～pltε～plc;ε～·pl=h（σ～，ε～pl）·ε·pl。（17）

式中：ε～pl為等效塑性應變向量;h（σ～，ε～pl）為強化函數。

1.2.2 界面層彈塑性損傷分析

凍土界面層剪切應力-剪位移曲線反映界面層剪切破壞過程，從損傷角度來看，凍土界面層的破壞過程，就是其損傷形成和擴展累積直至完全損傷的過程。從凍土界面層的剪切應力-剪位移典型曲線（圖4）可看出，凍土界面層從承載到破壞的損傷過程[17-27]可分為初始損傷階段、脆彈性損傷階段、損傷發展階段、應力峰值點損傷、損傷快速持續累積階段、損傷平緩持續累積階段和摩擦強度殘余階段。

在初始損傷階段（O點），凍土界面層試樣存在表面及內部微裂紋或微空隙的初始損傷，凍土界面層剪切試驗的剪切應力-剪位移曲線應以初始損傷d0為出發點。

脆彈性損傷階段（OA段），凍土界面層的剪切應力-剪位移曲線開始斜直線上升段，損傷值與初始損傷值d0相差不大，脆彈性損傷是可恢復。從圖4可以看出這一階段的上界點約為峰值應力τf的30%～40%。

損傷發展階段（AB段），凍土界面層的剪切應力-剪位移曲線的斜率不斷變化，形成上升曲線段，表明這一階段的凍土界面層的承載力在增大，但在凍土界面層內出現新的不可恢復的損傷，即已經含有不可恢復的彈塑性損傷，這一階段的損傷大于初始損傷。

剪切應力峰值點損傷（B點），當凍土界面層內在荷載作用下損傷持續發展，因為有效承載面積的減小，其抗剪強度由逐漸增加變為逐漸減小，臨界點是凍土界面層的峰值剪應力τf，對應達到峰值損傷df，說明凍土界面層損傷有了一定程度的積累。

損傷快速持續累積階段（BC段），從圖4可見，峰值應力過后，剪切應力-剪位移曲線迅速呈現凹形下降段，表明凍土界面層的剪切應力在下降，而剪位移仍然在增加，出現凍土界面層的應變軟化特性。隨著凍土界面層的損傷發展到一定的程度時，剪切應力在逐漸下降;按照損傷理論，剪切應力-剪位移曲線下降段的剪切應力實際上是名義剪切應力τ，而有效剪切應力τ～仍在增加，產生不可恢復的塑性損傷，下降段的前半段比較快，這一階段剪切應力下降約τf/3處。

損傷平緩持續累積階段（CE段），曲線下降段的后半段剪切應力下降平緩，損傷發展平緩。

極限損傷（即摩擦強度殘余階段ED段），凍土界面層的剪切應力-剪位移曲線平直段，剪切應力由于摩擦作用而保持一個平緩的定值。按損傷理論，對應極限損傷dc=1。

圖5中折線OAB表示凍土界面層僅有初始損傷的剪切作用，為理想彈塑性曲線，而實際剪切試驗凍土界面層發生損傷和損傷累積，在剪切應力-剪位移曲線上表現為上升段的非線性段和下降段的凹形曲線，出現應變軟化現象。當假設凍土界面層為理想無損材料時，其剪切應力-剪位移曲線見圖5中折線OA′B′。從圖5看出，理想凍土材料的無損彈性模量（OA′的斜率）要大于含有損傷的彈性模量（OA的斜率）。同時，理想無損凍土界面層的峰值應力τ′f也大于含有初始損傷的凍土界面層的峰值應力τf。

通過分析可見，凍土界面層剪切過程就是包含初始損傷的損傷累積直至破壞的過程。

1.3 凍土界面層彈塑性損傷模型

凍土界面層剪切過程分別經歷彈性階段和塑性損傷階段，最后進入殘余強度摩擦階段。從能量觀點來分析，外力做功轉化能量可分為彈性、塑性和損傷3個部分。運用能量守恒定律來推導材料的本構，具有不用考慮相關參數的矢量合成優勢，只需要將相關部分能量加減處理。熱力學第一定律描述熱力學過程中能量守恒，而熱力學過程進行的方向問題在熱力學第二定律做了相應規定[28]。

由熱力學第一定律可以推導得到方程：

ρe·=ρε·-qk.k+ρr·。（18）

式中：e為內能;q為熱源。

又根據熱力學第二定律的卡拉西奧多里（Caratheodory）解釋系統的總熵增量表達式可以表述為：

dS=dSr+dSi，dSi≥0。? （19）

其中，dSr和dSi分別為系統供給的熵增量和系統內部耗散產生的熵增量。將其用率形式表示為：

S·r=dSrdt=∫Vρr·-（qkT），kdVS·i=∫Vρσ*dV=∫Vρs·idV。（20）

其中s·i=*。

將公式（20）代入公式（19）得到：

∫Vρ*dV=∫Vρs·dV-∫V[ρr·T-（qkT），]dV。（21）

由于體積任意性得到：

σ*=s·-r·T+1ρ（qkT）≥0 。（22）

根據熱力學第二定律可知σ*≥0，并且有qk，k=T（qkT），k-Tqk（1T），k，同時得到了克勞修斯-杜亨（Clausius-Duhem）不等式.

ρT*=ρ（Ω·+Ts·-e·）-1TT，kqk≥0。（23）

對于存在耗散機制，可以得到應變能表達式的Clausius-Duhem表達式可以表達為：

ρTs·≥ρe·（s，εij，ξi）-σijε·ij。（24）

其中e·包含的內變量包括熵、應變和耗散內變量（分別為s，εij，ξi）。將e·展開得到

ρTs·≥ρe·ss·+ρe·εijε·ij+ρe·ξiξ·i-σijε·ij。（25）

整理得到

ρ（T-e·s）s·+（σij-ρe·εij）ε·ij-ρe·ξiξ·i≥0。（26）

如果是一個不存在耗散的可逆過程，其中代表耗散的內變量ξ·i=0，并且ρTs·=0。根據正交法則進而得到功共軛的關系式為：

T=e·s，σij=ρe·εij 。（27）

對應耗散項的功共軛率形式為：

Y=ρe·ξiξ·i。 （28）

定義應變自由能和應力自由能分別為：

（εij，T，ξi）=e-Ts。（29）

（σij，T，ξi）=σijεij-（εij，T，ξi）。（30）

那么利用應變能和應力能表達式的Clausius-Duhem不等式可以表示為：

Y=（σij-ρεij）ε·ij-ρ（s+T）T·-ρξiξ·i≥0Y=（σij）σ·ij+ρ（T-s）T·+ρξiξ·i≥0。

（31）

最終得到本構關系如下：

σij=ρεij，s=-T，Yi=-ρξiεij=ρσij，s=T，Yi=ρξi。（32）

在凍土界面層剪切試驗過程中溫度保持不變，即溫度為常數，則T·=0。同時認為耗散是由于塑性和損傷導致的，即ξ1=εijp，ξ2=d就可以將公式（32）寫成：

σ·ij=ρ2εijεklε·ij+ρ2εijεpijε·pij+ρ2εijdd·=

σ·eij+σ·pij+σ·dij

ε·ij=ρ2σijσijσ·ij+ρ2σijεpijε·pij+ρ2σijdd·=

ε·eij+ε·pij+ε·dij。（33）

公式（33）中將應力率和應變率分別拆分為彈性、塑性和損傷3個部分。接下來定義比體積應變自由能和比體積應力自由能為：

ρ=w（εij，εpij，d）=12（εij-εpij）Eijkl（d）（εkl-εpkl）

ρ=w（σij，d）=12σijLijkl（d）σkl。 （34）

并且得到功共軛的耗散項表達式為：

Yp=σij=Eijkl（d）（εkl-εpkl）

Yd=12（εij-εpij）Eijkl（d）d（εkl-εpkl）。（35）

其中，Lijkl（d） = （Eijkl（d））-1為考慮損傷的彈性柔度張量。耗散率為：

Y=σijεpij+Ydd。 （36）

這樣塑性行為和損傷行為的求解歸結為兩個屈服函數（勢能函數）的定義，即

Fp=Fp（σij，d，c0，θ0）≤0。? （37）

其中c0，θ0和Fp分別代表了凍土界面層初始抗剪強度、初始內摩擦角和塑性屈服條件。根據已提出的塑性屈服勢公式（6），就可以得到新的屈服條件。

Fp=αI～1+τ～n-μ（I～1）σn-c≤0。（38）

式中：α是一個凍土界面層參數，受結構粗糙度影響;μ（I～1）表示摩擦系數是第一應力不變量的函數，表征凍土界面層的特性;c為凍土粘聚力，跟凍土界面層溫度有關。

公式（38）上標～表示含損傷。用損傷共軛力Y表示的損傷條件為：

Fd=Fd（Y，εpij）≤0。 （39）

其中，Fd代表了損傷勢能函數，繼而可以得到損傷率的表達式為：

d·=λ·dFdY。? （40）

其中，λ·d為率形式的損傷乘子，其可以和率形式的塑性乘子根據一致性條件來迭代求解。

針對于凍土界面層，本文提出一個損傷勢能函數，其表達式為：

Fd=（Yβ）m（1-d）2。?? （41）

其中，Y的表達式為：

Y=12（1-d）2Eijklεijεkl。? （42）

2 模型驗證

基于ABAQUS軟件的二次開發功能，實現了自定義的彈塑性損傷本構模型的二次開發，并建立了基于凍土界面層剪切試驗的有限元模型。采用位移-損傷和能量-損傷2種模式定義凍土界面層的彈塑性損傷模型，其中在豎向應力較高的2種工況下采用位移-損傷方法來定義凍土界面層本構。

凍土界面層塑性損傷本構模型涉及5個材料參數，分別為α、μ、c、m、β，其中，α代表法向應力相關的系數;μ為界面摩擦系數;c為凍土黏聚力;m表征斷裂能參數;β為損傷參數。

參數μ通過凍土與結構接觸界面直剪試驗穩定剪切階段試驗數據計算而得到，c依據凍黏土直剪試驗得到，參數α、m、β根據凍土界面層直剪試驗數據反分析得到。接觸界面層損傷模型參數見表1。

圖6為凍土溫度T=-6 ℃，結構粗糙度R=0.3 mm時，不同法向應力情況下的剪切應力-剪切位移曲線模擬結果與試驗結果的對比。

由圖6數值模擬曲線可見，不同法向應力條件下，隨著相對剪位移增大，凍土界面層剪切應力上升，達到峰值剪切應力，而后衰減到穩定剪切應力。數值模擬曲線可再現凍土界面層這一剪切力學行為。在法向應力500、700 kPa情況下，兩者彈性狀態擬合較好，在模擬峰值剪切應力后衰減拐點位置與試驗結果比較接近，說明位移-損傷法對于定義凍土界面的剪切力學行為存在一定優勢。在法向應力100、300 kPa情況下，采用能量-損傷法定義損傷的演化，其試驗曲線和模擬曲線擬合程度較高，說明采用能量方法來模擬較低法向應力凍土界面層的損傷剪切行為比較適合。從圖6可見，數值模擬的力學特性同物理實驗基本吻合。

3種溫度凍土與0.3 mm粗糙度結構界面層，在法向荷載500 kPa條件下的剪切應力-剪切位移曲線模擬結果如圖7所示。

由圖7可見，隨著凍土界面層溫度降低，凍土界面層峰值剪切應力在增加，而在穩定剪切階段時，接觸界面層剪切應力受溫度影響較小。這一規律同物理實驗一致。主要原因為，初始剪切時凍土界面層需要克服接觸界面凍結力和摩擦力，而穩定剪切階段剪切應力主要是克服凍土界面層摩擦力，受溫度影響較小，法向應力起決定作用。通過數值模擬可以發現，利用凍土界面層彈塑性損傷模型可很好地再現上述力學行為。

-10 ℃凍黏土與3種粗糙度結構接觸界面層，在法向荷載500 kPa條件下，單調剪切剪應力與剪位移曲線模擬結果如圖8所示。

由圖8可見，隨著粗糙度增加，凍土界面層峰值剪切應力在增加，在穩定剪切階段，結構粗糙度對剪切應力影響較小。究其原因為：初始剪切時，當粗糙度變大，剪切模型中接觸面積在增大，導致峰值剪切應力增大;在穩定剪切時，主要是凍土界面層內凍土體的摩擦力。這一數值模擬規律同物理模型實驗一致，從而驗證數值模型的有效性。

3 結論

基于凍土界面層的受力行為和破壞模式，推導了一個可以描述凍土界面層破壞行為的彈塑性損傷本構模型。主要結論如下。

（1）總結接觸界面層凍土體材料塑性和損傷基本理論，分析凍土界面層的剪切破壞特征，建立凍土界面層理論模型。

（2）基于經典的摩爾庫侖準則，將內聚力與摩擦系數作為一個與應力第一不變量相關的函數，根據熱力學第二定律和正交法則，構建了凍土界面層彈塑性損傷模型，能夠描述凍土界面層在剪切峰值過后的塑性摩擦行為與豎向圍壓關系。

（3）基于ABAQUS軟件的二次開發功能，實現了自定義的彈塑性損傷本構模型的二次開發，并建立了基于凍土界面層剪切試驗的有限元模型。將計算結果與試驗進行對比，兩者間具有一致性，從而驗證了模型的有效性。

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