“如何突破解析幾何中的難點”從一道試題分析

□崔星邦

(審稿:伊翠紅)

(本文責編:趙寧寧)

解析幾何題的難點主要在于:題目條件的翻譯和計算量,下面以一道試題為例,分析如何突破解析幾何的難點。

一、第(1)問分析

根據雙曲線的定義知,點M 的軌跡C 是以F1、F2為焦點,實軸長為2 的雙曲線的右支.

所以M 的軌跡方程為:x2-=1（x≥1）.

第（1）問要注意題目條件的翻譯,要會用圓錐曲線的定義分析出點M 的軌跡為雙曲線的一支,如果直接翻譯題目條件,化簡方程邁算量大,甚至影響第（2）問的解答。

二、第(2)問分析

(一)直譯條件一一一按所需耐心算

解法1：基本方法一一一直接翻譯條件，耐心進行運算

(這樣將題目條件翻譯成我們熟悉的形式,下面聯立方程借助韋達定理計算x1x2和x1+x2)

整理可得k12=k22,又因為k1≠k2,所以k1+k2=0.

因此,直線AB 與直線PQ 的斜率之和為0.

2.3 超聲微泡造影劑攜RPM對PCNA的mRNA及蛋白表達影響 PCNA 的mRNA 表達產物校正后分析，對照組、RPM組和超聲微泡造影劑攜RPM組統計結果用±s表示：分別為219.31±7.21，147.32±10.27和97.17±8.79，兩兩比較RPM組和超聲微泡造影劑攜RPM組兩組與對照組之間存在顯著差異(P<0.05)，同時超聲微泡造影劑攜RPM組也明顯低于RPM組。使用Westernblot檢測T24 細胞PCNA蛋白的表達量，結果表明在RPM和超聲微泡造影劑攜RPM作用細胞24 h后，兩組細胞的PCNA蛋白的表達量明顯下降(圖2)。

解法1 的思路非常簡單,屬于直接翻譯條件來求解,但是計算量偏大。那么我們思考:是否有方法對邁算進行優化？

解法2：對解法1 的運算進行優化

(二)條件翻譯一一一多角度思考

通過觀察我們發現T、A、B 三點共線,T、P、Q 三點共線。因此,可以從下面兩個知識點來考慮,一是把“距離乘積”轉化為“向量”來處理,二是從直線的方程入手,有一種形式的直線方程與向量有緊密的聯系,即直線的參數方程,它由一個定點和這條直線的方向向量唯一確定。

解法3：用向量轉化距離乘積

解法4：直線方程的參數方程形式

其中,t 為參數,α 為直線AB 的傾斜角,β 為直線PQ 的傾斜角,且α≠β.

解法4 用到設方程的另一種形式——直線的參數方程,利用參數方程中參數的幾何意義使題目的邁算得到簡化,新教材選擇性必修第一冊的探究與發現中提到了參數方程,同學們可以學習一下,方便對解析幾何題的簡化邁算。

(三)必要性探路一一一由特殊到一般

這道解析幾何題本質上是定值問題,對于定值定點問題,我們可以采用先猜再證的方法,由特殊到一般得到結論。

解法5：必要性探路

解法5 應用必要性探路的方法先把結論得到,然后再證明一般性也成立,與解法1 相比簡化了的邁算過程,使同學們放平了心態。

(四)幾何問題一一一平面幾何來輔助

我們回歸本質看問題,解析幾何問題歸根結底也是幾何問題,我們通過圖象從幾何上分析一下問題,翻譯題目條件。

解法6：借助平面幾何解決問題

由題意,我們畫出草圖:

又因為∠ATP=∠QTB,所以△ATP～△QTB,

所以∠TAP=∠TQB,所以∠BAP+∠TQB=180o,

所以A,B,Q,P 四點共圓.

因為A,B,Q,P 四點共圓,所以k1+k2=0.

解法6 從平面幾何出發看本質,發現四點共圓,從而簡化計算。其實這個題的幾何原型應該為圓冪定理,這一幾何原型在高中解析幾何題中的應用也是比較廣泛的。

我們以此題為載體總結一下如何突破解析幾何的難點:首先,多數同學看到解析幾何題都會直接翻譯條件,但計算復雜,這時應先觀察式子結構優化計算,如采用整體思想、換元法等；其次,多角度思考問題,從不同角度翻譯題目條件,比如本題的距離可以翻譯為向量,還有直線方程的表示方法也多種多樣,合當選擇直線方程的表示形式也可以優化計算,如可以利用參數方程的幾何意義使邁算變簡單；再次,對于定值定點類問題,可以由特殊到一般,先得出結論再證明；最后,還要充分挖掘題目的幾何本質,數形結合,先從幾何方面優化題目代數條件,再用代數方法解決幾何問題。