惰性電路的正弦穩態特性探究與誤差分析

胡 云，陳彥輝，劉煥峰，許衛東

（西安電子科技大學 通信工程學院，陜西 西安 710071）

0 引 言

在線性時不變電路中，當激勵是正弦電流（電壓）時，其穩態響應也是同頻率的正弦電流（電壓），將這種電路稱為正弦電流電路。目前，世界范圍內電力系統使用的電壓、電流幾乎都采用正弦函數形式，其中大多數問題可以按正弦電流電路分析。此外，復雜波形的電流、電壓都可分解為眾多不同頻率的正弦函數。因此，正弦穩態分析是研究復雜波形激勵電路問題的基礎。

在分析惰性電路的正弦穩態特性時，手工求解一階或二階常系數非齊次線性微分方程較為繁瑣，尤其是對于復雜的電路結構更是需要建立多個電路方程聯立求解，常常令學生無從下手。文獻[1]提出使用仿真軟件MATLAB對典型的正弦穩態電路進行分析與計算，但未涉及電路的建模過程。文獻[2-3]針對當前電路實驗教學中存在的問題，利用Multisim仿真軟件對電路進行建模，方便觀察仿真波形，加深學生對電路現象的理解，但未涉及電路基本物理量的計算與分析。文獻[4-5]同時采用MATLAB語言和SimuLink工具箱分別對典型正弦穩態電路建立仿真模型，并對穩態響應波形進行仿真分析與計算，但只有軟件分析，未涉及硬件電路的測量。

目前，高校的電路實驗教學普遍存在綜合性實驗欠缺的問題，學生只是在實驗過程中完成理論知識點的驗證，在實驗方案的設計、參數選擇、軟硬結合、結果分析等方面受到較大限制，工程實踐能力難以獲得有效提高，不能滿足國家對新工科建設的需求和培養目標。本實驗是為通信工程學院卓越工程師班在大一年級第二學期開設的“電路與信號分析基礎”課程中所屬實驗教學的一個實驗項目。學生對惰性電路的正弦穩態特性掌握的程度直接關系到后續知識點的學習效果以及對之前知識點的理解，該實驗項目是聯系理論教學的橋梁，也是檢測學生將自己所學的惰性電路分析知識綜合應用于發現問題、分析問題并解決問題的一門創新實踐課程。在實驗教學中，以加強學生的分析問題能力和實踐動手能力為主線，理論與工程實踐相結合，以問題為導向，在實驗過程中設置多個思考點，需要學生經歷方案設計、理論推導、軟件仿真、硬件測量、結果對比、誤差分析、實驗總結等過程，屬于綜合性較強的驗證型與設計型實驗。

1 項目設計思路

為探究惰性電路的正弦穩態響應特征，該項目內容需要課外2學時+課內4學時共同完成，包括理論推導、軟件仿真、硬件測量和誤差分析。實驗系統框架如圖1所示。通過比較軟件仿真波形和硬件測量波形、軟件仿真結果和硬件實測數據，分析誤差產生的原因，并依據硬件測量結果不斷對軟件仿真的參數、模型進行修正，降低誤差。這不僅僅是一個驗證性實驗，更是一個需要學生獨立完成、集體討論、自主設計實驗方案的綜合性探究實驗。在該項目中，第一階段需要學生有能力進行自主學習，復習理論知識，自主設計電路結構和實驗方案；第二階段，在教師的啟發引導下，設置不同參數完成軟件仿真，觀察正弦穩態響應波形；第三階段，根據實驗手冊要求，利用實驗平臺完成硬件測量；第四階段，對比仿真結果與測量結果，分析誤差。學生在整個項目實踐中能夠加深對理論知識的理解，掌握實踐操作能力，激發實驗興趣，提高自身科學實驗素質。

圖1 實驗系統框架

2 項目實施流程

在項目實施過程中，教師不應該僅僅是知識的直接傳授者，還應該是啟發引導學生的指路人，那么在具體實踐之前，就需要讓學生有目標的在實驗過程中尋找答案。例如為什么惰性電路的響應包含暫態響應和穩態響應？正弦激勵穩態響應的波形受哪些因素影響？如何測量電壓/電流有效值？如何計算相位角？如何繪制阻抗圖和相位圖？為什么電橋測量結果與元件標稱值存在差異？為什么硬件測量結果與軟件仿真結果存在差異？

本項目包括電路建模、軟件仿真、硬件測量和誤差分析4個過程。

2.1 電路建模

在正弦信號激勵下，構建串聯和并聯惰性電路。以包含惰性元件個數進行分類，也可分為一階惰性電路和二階惰性電路，如圖2所示。

圖2 惰性電路模型

對于一階惰性電路，構建一階常系數非齊次線性微分方程：

求解上式，可得電路動態響應()=e+cos(++)，第二項為穩態響應。

對于二階惰性電路，構建二階常系數非齊次線性微分方程：

2.2 軟件仿真

Proteus軟件是英國Lab Center Electronics公司出版的電子設計自動化工具軟件，具有強大的智能原理圖設計功能和完善的電路仿真功能，其中包含豐富的器件庫和仿真器件。本實驗采用Proteus仿真軟件對串、并聯惰性電路進行建模和仿真，觀察在不同頻率的正弦信號激勵下，穩態響應波形特征，并測量激勵和響應的幅度、相位差。以圖3所示RC一階串聯電路為例，說明仿真結果。

圖3 一階RC串聯惰性電路正弦穩態響應波形

在實驗過程中，要求每位學生選取至少3組不同的信號頻率、元件參數進行仿真，并給出頻率與響應間的變化關系。通過虛擬示波器觀察不同參數的正弦穩態響應波形，歸納波形特征，記錄電路仿真結果。對于一階惰性電路，通過仿真結果定性說明電容、電感在不同頻率下表現的特性。對于二階惰性電路，觀察諧振現象，說明電路的輸出響應波形特點，測量諧振頻率。

2.3 硬件測量

該項目采用實驗中心自主研制的電子線路實驗平臺，在面包板上搭建電路，并配合使用利利普公司的四合一測量儀、LCR數字電橋、專用連線進行測量，能夠大大降低實驗空間占用率，減小導線之間的串擾，避免短路。硬件實驗平臺如圖4所示。

圖4 硬件實驗平臺

在硬件測量過程中，需利用LCR數字電橋測量電子元件實際值，在不同頻率下測量惰性電路激勵、響應的有效值和相位角，利用元件標稱值計算電路阻抗、導納的理論值，電壓/電流相量，再用測量結果和理論值分別繪制電路的阻抗圖、相量圖，最后對硬件測量結果和理論計算結果進行分析比較。硬件測量流程如圖5所示。

圖5 硬件測量流程

2.4 誤差分析

通過比較硬件測量結果與軟件仿真結果，發現結果并不完全一致，存在一定誤差，需要學生分析誤差產生的原因，認識到實際元件、設備對測量結果的影響，工程實踐與理論的差別。

首先，在硬件測量過程中發現電橋實測結果與元件的標稱值并不一致，修改軟件仿真的元件參數，觀察修正后的軟件仿真結果與實測結果是否一致，發現仍存在誤差。

其次，分析信號源的內阻，將實際波形發生器等效為理想電壓信號源與內阻串聯的模型或理想電流信號源與內阻的并聯模型。為了計算信號源內阻，由信號源產生一個周期近似于無限大的方波，將100 Ω電位器接在信號源兩端，調整電位器阻值，使得電位器兩端電壓為方波幅度一半，此時測量電位器的阻值，發現等于信號源內阻，將信號源內阻加入仿真模型中重新觀察響應波形，發現仍有誤差，且誤差隨頻率變化而變化。

接著，思考在整個實驗中哪些參數隨頻率發生變化？在不同頻率下用電橋測量電阻、電容的數值，發現電阻值隨頻率升高而升高，電容值隨頻率升高而降低，因此在不同頻率下仿真時應采用相對應的電容值，這時重新仿真波形，發現仍然存在誤差。

此時，已經分析完電子元件、信號源的影響，電路中還存在連接線，那么誤差是否與連接線有關？將電路連接線與信號源和示波器連接，觀察波形特征，發現輸出信號幅度與頻率相關，說明信號源與連接線組成的電路并非純阻性電路，呈現容性性質，可以將電路連接線等效為電容！

綜上所述，在誤差分析中，除了要依據硬件測量結果修改仿真參數，還需要根據測量結果推測除了面包板電路之外的部分是否存在電阻、電容等影響，需要學生不斷調整仿真模型，減少誤差！

3 結 語

本實驗項目通過設計閉環的項目流程，探究惰性電路的正弦穩態特性，分析實驗誤差，具有重要性、工程性、綜合性、創新性、協作性和實踐性等特色，有利于通信工程專業卓越工程師班的學生在大一開始接觸專業基礎知識時培養良好的工程思維和工程理念，提升學生發現問題、分析問題和解決問題的能力，培養卓越工程師協作、求實、創新的科學家精神。