構(gòu)建探索空間 讓深度學(xué)習(xí)真實發(fā)生
——以“圓柱的表面積”教學(xué)為例

江蘇省無錫市東絳第二實驗學(xué)校 俞 瑜

“圖形與幾何”是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的四個領(lǐng)域之一。在這一板塊的學(xué)習(xí)中，通常需要學(xué)生通過觀察、操作、實驗等具體活動來獲得感性認識和理性思維。本文以“圓柱的表面積”教學(xué)為例，談一談如何在幾何教學(xué)中為學(xué)生創(chuàng)建探索的空間，促進學(xué)生真正意義上的深度學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、逆向思維，化難為易，突破知識難點

學(xué)生接觸的長方體和正方體都是由平面圖形圍成的幾何體，而圓柱作為旋轉(zhuǎn)體，表面既有平面又有曲面。因此，在教學(xué)圓柱的表面積計算時，如何突破曲面的面積計算成了教學(xué)難點。按照教材的編排，從圓柱的側(cè)面這個曲面入手進行探究，提出“圓柱形罐頭側(cè)面的商標(biāo)紙的面積大約是多少平方厘米”這樣一個問題，引發(fā)學(xué)生思考。教材引導(dǎo)學(xué)生沿著接縫把商標(biāo)紙剪開，看展開后的圖形與圓柱之間的關(guān)系，并提示學(xué)生思考兩個問題：①這個長方形的長和寬與圓柱有什么關(guān)系？②怎樣計算圓柱的側(cè)面積？通常這一環(huán)節(jié)并不具有普遍的操作性，學(xué)生根據(jù)教材的示意圖，直觀建立商標(biāo)紙剪開后是一個長方形這樣的表象，并沒有實際操作，經(jīng)歷知識生成的過程，建立長方形的長和寬與圓柱的底面周長和高之間的對應(yīng)關(guān)系，因此曲面面積計算這一難點沒有得到很好的突破。同時，思路也將根據(jù)教材的安排被局限在“化曲為直”這一數(shù)學(xué)思想方法上。

那么，探索圓柱的側(cè)面積是否只能“化曲為直”呢？學(xué)生在課堂中能否人人操作探究，完成“化曲為直”的過程并進行比較和思考呢？如果換一個角度，逆向思維，“化直為曲”操作的可能性就大了許多。

教學(xué)片段：

1.創(chuàng)建立體圖形，初步感知聯(lián)系

活動一：用一張長方形紙做出一個立體圖形

學(xué)生小組合作，積極思維，創(chuàng)建出多種幾何體（如圖1），并進行交流展示。其中有圓柱、長方體、三棱柱、八棱柱等多種立體圖形的側(cè)面。

圖1

師：不管你們怎么做，得到的都是立體圖形的側(cè)面。仔細觀察你折出的立體圖形，它們與長方形的長和寬有什么聯(lián)系？

（此時學(xué)生展開立體圖形，又合攏，通過這一操作，直觀感受長方形的長和寬與立體圖形之間的聯(lián)系。）

生1：我發(fā)現(xiàn)長方形紙片的長就是這個長方體底面上長方形的周長，長方形紙片的寬就是我折的這個長方體的高。

生2：我的發(fā)現(xiàn)和他的差不多，長方形的長就是這個三角形的周長，長方形的寬是這個立體圖形的高。

生3：長方形紙片的長就是這個多邊形的周長（邊演示邊說），長方形的寬就是這個立體圖形的高。

生4：我發(fā)現(xiàn)長方形的長是圓柱底面這個圓的周長，長方形的寬是這個圓柱的高。

師：不管你折的立體圖形的底面是一個什么圖形，我們都發(fā)現(xiàn)了長方形的長就是這個圖形的周長，長方形的寬就是這個立體圖形的高。其他同學(xué)也有這樣的發(fā)現(xiàn)嗎？

在此活動過程中，學(xué)生折出了更多樣的立體圖形。其中折出長方體是學(xué)生已有的經(jīng)驗積累，其他的立體圖形都是課堂中的生成性問題。不管折出的是怎樣的直棱柱，長方形紙片所代表的都是立體圖形的側(cè)面。通過展開、合攏地操作和直觀地觀察、比較，便能夠輕易得出底面周長和高與長方形長、寬之間的關(guān)系。教學(xué)難點在此得到第一次突破。

2.創(chuàng)造不同圓柱，完成模型建構(gòu)

活動二：用長方形紙創(chuàng)建出一個圓柱

師：剛才有同學(xué)用長方形紙圍出了圓柱，你也能用手中的紙圍出一個圓柱嗎？圍好后觀察你的圓柱和長方形之間有什么聯(lián)系。

生1：我圍的圓柱的底面周長是長方形的長，圓柱的高是長方形的寬。

生2：我的圍法和她的不同。我圍的圓柱的底面周長是長方形的寬，而圓柱的高是長方形的長。

師：通過圍一圍，再展開觀察，我們發(fā)現(xiàn)一種圍法是將長方形的長作為圓柱底面周長，長方形的寬作為圓柱的高；另一種圍法是將長方形的寬作為圓柱的底面周長，長方形的長作為圓柱的高。

第一次“化直為曲”，學(xué)生初步建立了立體圖形側(cè)面與長方形長和寬之間的聯(lián)系，第二次活動則讓全體學(xué)生參與創(chuàng)造圓柱、探究圓柱側(cè)面與長方形之間的聯(lián)系。

3.溝通新舊聯(lián)系，形成知識遷移

出示圖2

師：同學(xué)們，通過剛才的兩次操作，我們成功地用一張長方形紙片創(chuàng)建出了長方體和圓柱。看，用長方形的長或?qū)捵鳛榈酌嬷荛L，能夠得到這兩種不同的長方體，這是我們已經(jīng)學(xué)過的知識。同樣，用長方形的長或?qū)捵鳛榈酌嬷荛L，也能夠得到兩種不同的圓柱。不管是哪一種折法，長方形紙都圍出了它們的側(cè)面。

圖2

這幅圖的呈現(xiàn)，將兩次活動串聯(lián)在一起，形成知識體系，使學(xué)生清晰地認識到圓柱側(cè)面與長方形之間的關(guān)系。兩次操作，既突破了難點，又溝通了新舊知識之間的聯(lián)系。

二、多維建構(gòu)，形成認知，強化知識重點

深度學(xué)習(xí)是理解性的學(xué)習(xí)，是將新知識整合進原有的知識結(jié)構(gòu)的過程學(xué)習(xí)，從本質(zhì)上講就是由經(jīng)驗引起的學(xué)習(xí)者原有觀念的轉(zhuǎn)變。這就需要在課堂中結(jié)合學(xué)生原有知識，多次進行新知的模型建構(gòu)。圓柱表面積模型的建構(gòu)，可以從“做—畫—比—思”入手。

1.第一次建構(gòu)——做一個圓柱

活動二中，用長方形紙片折出圓柱體（實為圓柱的側(cè)面），學(xué)生完成了對圓柱側(cè)面積的模型建構(gòu)。因此，圓柱側(cè)面積的計算方法水到渠成。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生思考圓柱完整的表面積的計算方法。

教學(xué)片段：

師：要補齊這個圓柱體，還需要補什么面？

生1：還需要補兩個底面。

師：你能計算出這兩個圓的面積嗎？怎樣計算？

師：在一個圓中量它的直徑，需要找到……（圓心），在測量之前，我們還要先想辦法找到圓的圓心。

（與學(xué)生達成共識，這個方法在測量時有難度。）

師：有更好的辦法嗎？你能聯(lián)系長方形的長和寬來進行思考嗎？

生2：可以量長方形的一條邊，根據(jù)底面周長反過來推算出圓的半徑，這樣就能算出圓的面積了。

師：你們認為這個方法怎么樣？

生3：比直接測量圓的直徑簡單。

師：是的，同學(xué)們，這一次你們化曲為直，找到了便捷的方法。

學(xué)生通過自主性地思考，發(fā)現(xiàn)圓柱的表面積需由三個面組成，并通過比較、討論達成共識：需要量長方形的一條邊，根據(jù)周長算出半徑，再一次鞏固了對圓柱底面周長和長方形邊之間關(guān)系的認識。通過這次操作，學(xué)生完整建立起圓柱表面積的整體模型，找到求圓柱底面積的關(guān)鍵所在，抓住了知識重點。

2.第二次建構(gòu)——畫一個圓柱

馬克思主義哲學(xué)是馬克思主義全部學(xué)說的基礎(chǔ)，是所有各門科學(xué)的指導(dǎo)思想。科學(xué)的研究往往都離不開理論思維，離不開一定哲學(xué)的指導(dǎo)，馬克思主義哲學(xué)也是思想政治教育方法論的理論基礎(chǔ)，只有堅持馬克思主義哲學(xué)理論為導(dǎo)向，黨的思想政治教育方法論創(chuàng)新才能做到真正的隨之變化。

活動要求：在方格紙上畫一個圓柱

通過畫圓柱展開圖，將立體圖形轉(zhuǎn)化到平面，完成對圓柱表面積模型的整體認知。由整體到部分，再由部分組成整體，符合立體圖形認知的一般規(guī)律。

3.第三次建構(gòu)——比較相同點

比較圓柱表面積和長方體的表面積在計算方法上有什么共同點。學(xué)生發(fā)現(xiàn)表面積都等于側(cè)面積+兩個底面積。從實物直觀（紙折圓柱）到模型直觀（平面圖）到語言直觀（比較相同點），從具象到抽象，完成了圓柱表面積模型的三次建構(gòu)，同時完善了學(xué)生的認知體系，培養(yǎng)了思維素養(yǎng)和空間觀念。

4.第四次建構(gòu)——回顧本節(jié)課的收獲

讓學(xué)生在課的尾聲談一談本節(jié)課的收獲，學(xué)生通過表達彰顯了思維過程，也對自我進行了審視。通過總結(jié)、反思，才能檢驗學(xué)生是否真正地理解了所學(xué)知識，深度學(xué)習(xí)是否真正發(fā)生。

三、前延后展，提升素養(yǎng)，關(guān)注知識生長點

“圓柱的表面積”是學(xué)生在直觀地認識圓柱和球、認識圓、圓的周長和面積，以及學(xué)習(xí)了長方體和正方體的特征、表面積及體積的基礎(chǔ)上進行學(xué)習(xí)的。學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中積累了豐富的圖形與幾何的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。因此，在探索圓柱表面積計算方法時，充分利用之前知識來進行切入。圓柱表面積的計算方法適用于所有直柱體。在設(shè)計兩次探究活動時，由特殊性到普遍性，通過聯(lián)系舊知，學(xué)生的已有經(jīng)驗進行了遷移，激發(fā)了學(xué)生探究的熱情，主動拓展到三棱柱的側(cè)面積=三角形的周長×高，八棱柱的側(cè)面積=八邊形的周長×高……即都是用底面周長×高，學(xué)生找到了解決這一類型題目的方法，進行知識的延展，形成了基本的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

深度學(xué)習(xí)倡導(dǎo)學(xué)生深入知識的內(nèi)核，獲取知識之外重要的思維價值，促進知識與思維的協(xié)同發(fā)展。當(dāng)教材以規(guī)范化的形式進行內(nèi)容編排、知識固定時，學(xué)習(xí)活動可以打破傳統(tǒng)模式，逆向而上，通過多維建構(gòu)，為學(xué)生創(chuàng)造探索的空間，幫助學(xué)生構(gòu)建模型，提升幾何直觀，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗，完善認知結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)深度的理解。