全景式數學教育視角下的“比較”：從離散到連續,知結構而見森林

北京亦莊實驗小學 盧紅旭

“不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構。”理解學科結構依賴于課堂教學，伍春蘭教授在系統觀視域下提出，課堂教學結構是一個多種規律和諧發展的整體。但在傳統教學中，各課時多呈現獨立的狀態，沒有對知識點進行整合，長此以往，知識在學生腦海中成了一座座“孤島”，不利于遷移運用。

全景式數學教育主張：讓學生能更完整、更全面、更深刻地認識和思考數學本身及它所處的世界，基于課程標準和多個版本教材，以心理學和認知科學為依據，通過轉變課堂教學結構有意識地體現知識結構，以使學生在看到一棵棵“樹木”的同時發現整片“森林”。

本文以人教版數學一年級上冊“比較”單元為例介紹全景式數學教育視角下的結構化教學。學生雖剛開始接受正式的數學教育，但已在有意識地尋找事物間的關聯，發現物體間的異同點，初步具備了理解學科結構，進而完整、全面、深刻地認識數學與世界的認知基礎。

一、分析教材，探究比較本質

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》僅對數的大小比較提出了明確要求，有關長度、面積等的比較則在附錄中。大多數教材在一年級上冊安排了比多少、比長短、比大小、比輕重等定性比較的內容，這為后續定量比較奠定了經驗基礎。

北師大版教材中先后比較了可數物體和不可數物體的多少。比較可數物體的多少比的是數量，“一一對應”是非常基礎且重要的思想方法；對于液體這一不可數物體，比多少時比的是體積，常要借助某種容器。不同容器形狀大小不一，若無法直接判斷，可將其分別倒入同規格的小容器，此時小容器的容積為“單位體積”，能裝滿的小容器越多說明液體所包含的單位體積越多，其體積越大。

對于比長短，常用方法是將物體一端對齊，拉直后看另一端。若將比較對象按單位長度做標記，則可通過比較它們所含單位長度的個數來比長短，這就回歸到了比多少。因此，所有的比較本質上都是在比較物體所含相同單位個數的多少，理論上都能用一一對應解決。此處的“單位”是非標準的，但其思想內涵與標準計量單位無異，所對應的心理圖式基本一致。

鑒于此，以非標準計量單位為線索建立不同類型比較之間的聯系，化離散的比較類型為整體的比較系統，呈現知識結構，通過順應建立新圖式，并在后續學習中通過同化對圖式進行深化、完善。

二、建立聯系，整合比較教學

（一）預——追本溯源尋內涵

教學片段：

出示圖1（a）-（c）。

圖1

師：認真觀察各圖，你們發現了什么？生：第二幅圖里的頭最大。

生：兩個人長得差不多，就差一點。

師：差在哪了？

生：個子！前兩幅圖中左邊的人更高，第三幅圖中右邊的人更高。

師：你觀察得真仔細！他們倆還有不一樣的地方嗎？

生：第二幅圖中倆人的腿不一樣，右邊人的腿沒怎么彎，左邊人的腿彎得多。

生：第三幅圖中他們的腰也不一樣！左邊人的腰很彎，右邊人的腰更直。

師：這三幅圖是同一個字，你們知道是什么字嗎？（學生搖頭）

出示圖1（d）和（e），學生發現是“比”。

圖1

師：沒錯，就是“比”。當看到兩個人在一起或者兩樣物品放在一起時，我們能發現他們有一樣的地方，也有不一樣的地方，這就是在“比較”。

【分析與說明】字源分析有助于學生理解概念。“比”是會意字，早期字形似兩個人緊靠相依，并肩向前，本義為“親近、緊靠”，引申為“并列、挨著、接近”。學生基于字形親歷比較過程，深刻體會其內涵，教師總結進一步明晰概念，學生初步建構“比較”的圖式。

（二）起——一一對應破錯覺

教學片段：

用磁貼呈現圖2：

圖2

師：誰多誰少？

生：一樣多！因為它們都是一個接一個，兩邊是齊的。

生：圓多，因為三角形是6 個，圓是7 個。

師：想象自己是一個原始人，不會數數，怎樣知道誰多誰少？

生：對！

師：怎么“對”？

生上前操作得到圖3：

圖3

師：為什么這樣“對”能看出圓多，開始那樣兩邊對齊就看不出來呢？

生：因為中間沒對齊！兩邊齊了，可三角形更“胖”，所以放得少！

師：如果三角形和圓離得很遠，用眼睛對齊很費勁怎么辦？

生：用線連！

師：誰能給這種方法起個名字？

生：一對一！

生：連線法！

生：對應法！

師：數學上，把這種一個對一個的方法叫“一一對應”。

【分析與說明】一一對應比多少是感悟比較本質的重要過程，故最先呈現。根據皮亞杰認知發展階段理論，學生處于前運算階段向具體運算階段過渡的時期，對比較的認知多處在生活概念層次，在比較某一屬性時易受其他屬性的干擾。課上“一樣多”的錯覺引發了學生的認知沖突，打破了平衡狀態，激發了學生的學習熱情。學生多通過數數來比較，原始人的設定迫使其另尋他法。學生“經歷”知識產生的過程，回歸最原始、最根本的“一一對應”，為方法起名字加深了對“一一對應”的理解，其認知重獲平衡，比較的圖式得以豐富。

（三）承——標準清晰言多少

教學片段：

師：只說“圓多”準不準確？

生：不準確，得說“多多少”。

師：多多少？誰能說完整？

生：圓多1 個。

師：如果還有正方形呢？（在圖上補5 個正方形）和正方形比，圓還是多1 個嗎？

生：2 個。

師：怎么一會兒多1 個一會兒多2 個？

生：和三角形比多1 個，和正方形比多2 個！

師：和誰比，誰就是標準，說比較結果時要把標準也說出來。

【分析與說明】比較具有相對性，正方形的引入攪動了學生的認知結構，他們在尋找平衡的過程中感悟標準的重要性，對比較的要素有了更清晰的認識。

（四）轉——變換角度比長短

教學片段：

出示散亂擺放的小棒，其中橙色5 根，綠色7 根，學生一一對應比較二者多少。將小棒橫向連接如圖4：

圖4

師：哪條長？哪條短？為什么？

生：下面的長，上面的短，因為一一對應后，下面多2 根。

生：我發現小棒越多，連的線越長。

師：你說越多越長，可是兩根小粉筆頭接起來都沒有完整的粉筆長呀！

生：因為小粉筆頭太短了，加起來也很短。

師：什么時候會越多越長？

生：如果每根粉筆一樣長，就越多越長了。

師：如果每段一樣長，就越多越長。這樣的一段就是一個單位，誰的單位多誰就長。

【分析與說明】根據認知發展階段理論，學生對量的守恒已有一定的感知。由于剛學了一一對應比多少，因此將小棒橫向連接后（小棒本身沒變），學生自然而然地將一一對應遷移到了比長短中，在兩種比較間建立了聯系。比較粉筆的長短這一反例的呈現挑戰了已有的心理圖式，促使學生尋找“段數越多就越長”的前提——單位長度相同。

生：要是看不出來誰的單位多怎么辦？

生：可以畫出來，數一數。

生：畫得不一樣長怎么辦？

生：用尺子！那上面的格子一樣大！

師：沒有尺子怎么辦？能不能直接比？比如：這兩根粉筆怎樣比長短？

生：把一頭對齊，看另一頭就行了。

師：（拿出兩團繩子）怎樣比較兩團繩子的長短？

學生操作，總結比較繩子長短的步驟：一端對齊；拉直；看另一端。

師：為什么這里是三步，而在比粉筆的長短時只有兩步？

生：因為粉筆就是直的呀！

之后比高矮環節，學生驚奇地發現比高矮和比長短的過程是一樣的！如此，將這兩“點”連成了“線”。

【分析與說明】很多時候通過比多少來比長短并不方便，因此需要探尋比長短的一般方法，這對已具有一定生活經驗的學生來說并非難事。比身高豐富了比長短的內涵，加深了學生的理解。

（五）合——打通維度現結構

比輕重和比大小的教學思路與比長短的教學思路相同，比較對象由單位立方體組成，既可以從單位的角度一一對應比較，也可以整體進行比較。

最后，對不同類型的比較進行了回顧，學生進一步體會到一一對應可用于多種類型比較，雖然有時不方便，卻是一種普適的思想方法。（如圖5）

圖5

傳統教學通常逐一探討不同類型的比較，缺乏連續性，學生不斷“轉場”，流連其中，“只見樹木，不見森林”，缺乏頂層思考。一一對應是比較的基本思想方法，以一一對應比多少為線索串聯不同類型比較，有助于學生構建知識結構。先比較離散的單位的數量，再對由離散單位所組成的連續物體進行比較，滲透“單位”概念的同時突出比較的本質——比較物體所含相同單位個數的多少。最后的整體回顧使學生在掌握具體比較方法的同時能從整體視角認識比較，既見樹木又見森林，形成完整的知識框架，促進深度理解。

三、回顧反思，總結比較教學

以一一對應比多少聯結不同類型比較是在利用非標準計量單位進行定量比較，學生對此有一定體會，并能采取合適的方法正確比較。全景式數學教育通過跨單元、跨領域、跨學科乃至學段的整合使學生能用更廣闊的視角發現當下的學習并看見其未來，走好每一步。

對于“比較”，還可以從以下兩方面進行探索：

（1）關注比較的現實價值。烏申斯基說過：“比較是一切理解和思維的基礎，我們正是通過比較來了解世界上的一切的。”然而，教材上的問題幾乎只要求得到比較結果就可以，脫離了現實情境。得到結果不是終點，在日常生活中應引導學生思考如何應用比較結果。

（2）拓展比較對象及維度。教材中的比較對象和比較維度很有限，我們完全可以擴展到更大的范圍，如比較兩棵樹的粗細、比較兩種事物保質期的長短、比較兩種聲音的高低強弱等，這樣學生會對“比較”有更系統、完整、全面的認識。