依心循理，破立相濟
——“歸一應用題”還可以這樣學

北京全景化教育科技發展中心、南京赫賢學校 張宏偉

傳統的“歸一應用題”，現今一般編排在三年級，歸屬于“解決問題”。其主要任務是讓學生用學過的知識、技能、方法等解決現實中的實際問題。它是培養學生的應用意識、理解數學和生活、學會分析問題和解決問題的基本方法，是發展學生思維的重要路徑和載體。全景式數學教育團隊對這節課做了新的嘗試：以“認知心理學”為依據，科學利用“心理動力學”“認知心理平衡理論”，設計了獨特的“4 破5 立”教學。在實現上述目標的同時，學生更多地把學習重心聚焦在“完整思維、學會思考、激發創新、開慧啟智”上。

“4 破5 立”中的“破”是指學生突破自己現有的認知平衡狀態，“立”是指學生原來已經有的或者重新建立起來的認知平衡狀態。

認知平衡理論認為：人總是具有力圖保持其內部認知系統平衡與和諧的心理傾向，當新場景中的認知因素與個體原來的認知不同或沖突時，他內部認知系統的平衡與和諧便會被打破，進入不平衡狀態。而這種不平衡的認知狀態具有較強的動機性，會促使人積極主動改變其認知系統的某些因素，或改變現存的認識，或添加一種新的認識,以達到平衡狀態或校正不平衡，最終重新建立新的認知系統平衡……

全景式數學教育下歸一問題的學習過程依據上述理論設計，構建了“平衡—打破—……—平衡—打破”如此不斷擴展、循環攀升的認知心路歷程和思考過程。教學中還利用心理動力學不斷激發和強化學生的興趣與探究欲，文中在相應的實錄后進行了分析與說明。

實錄和分析

一、1“立”——意料之中：知道……就可以……

1.教師從左向右依次板書如下3 個問題，同時，請學生獨立靜思：“只要知道……就可以求出……”。

（1）一輛汽車__________，__________，7 小時行多少千米？

（2）鹽外附小三年級， ___________________，6 個班有多少人？

（3） ___________________，8 支鉛筆一共多少錢？

2.學生踴躍反饋,教師根據學生反饋，構成完整題目，并解答。

第（1）題補：每小時行9 千米；第（2）題補：每班有32 人；第（3）題補：一支鉛筆5 元錢。

師：請同學們比較一下這3 道題，雖然它們說的事不同，數量不同，但是它們有一個共同的特征——只要知道什么，就能求什么。

引出：

師：知“1”→求“幾”，用乘法。

【學生從一年級就開始學習應用題的基本結構、基本思路和解答流程，低年級形成了分析應用的格式：要求什么，就必須知道誰和誰。到學習歸一問題時，學生已經強化了近5 個學期。學生建立了相應的穩固的認知平衡，且這種平衡對學生而言已成定式，從所有的學生都使用了“必須”可以看出，學生把求多份量的前提更多單一地定向為“一份量”，對解決問題所需條件的多元化認識產生了負向遷移。第二個教學環節就是對學生這種已有認知平衡的打破。】

二、1“破”——意料之外：還可以……

師（發出挑戰）：求8 支筆一共多少錢，難道只有知道1 支筆的價錢才能求出來嗎？（全班一時默然）

過了一會兒，幾個學生突然大呼：噢……我知道了！

一個學生情不自禁站起來激動地自說自話：知道2支鉛筆……

師：停！我知道你已經想通了，牛！下面的話不說了，給還沒有想好的同學留一些獨立思考的時間。

【思考的獨立是心理獨立的重要路徑和標志，同時也是創新的核心。教師在教學中一定要給學生提供充分的獨立思考的時間和空間，最大化地呵護和激勵學生獨立思考的積極性、主動性。】

教師又等了一會兒，學生紛紛舉手示意自己也想到了，比如，知道2 支筆10 元錢，也能求出8 支筆一共多少錢。（學生解法和反饋略)

師：這道題是屬于知道什么是多少，求什么是多少。

生：知道“幾”是多少，求“幾”是多少。

師：這兩個“幾”表示的數量一樣嗎？（生：不一樣！）

教師用不同顏色的筆標出兩個“幾”，以示不同:這道題知道“幾”是多少，求“幾”是多少。

小結：求“幾”是多少，可以尋找的條件有（ ）或者（ ）。

【上面教學環節中，有學生只說出一半的話“知道了2 支……”像一重錘，把其他學生保持了5 個學期的平衡破開了一個口，產生了“鯰魚效應”，啟發和激發了每一個同伴重新審視自己的認知，探尋另外一種可能。經過自己的思考和群體思維的碰撞，原來狹隘的認識得到矯正，添加了一種新的認識——知道“幾”也可以求“幾”。至此，尋找解決問題的方向從一個維度變為兩個，應用題新的構成要素和框架重新建立平衡，但是，這個剛剛建立起的平衡還是比較弱的、不甚牢固的。】

三、2“立”——求“幾”，先求“1”

師：剛才第一步用10÷2=5（元）的目的是什么？

生：把知道“幾”是多少，變成已知“1”是多少。

師：這實際上是用轉化的思想把“知道‘幾’，求‘幾’”簡化為“知道‘1’，求‘幾’”。

總結：知道“幾”是多少，求“幾”是多少的解答思路是什么？

生：知道“幾”是多少，求“幾”是多少，先求出“1”是多少，再求“幾”是多少。

教師板書箭頭和步驟序號，形成如下板書，建立知道“幾”求“幾”的第一種解決方案。

師：也就是說，要求幾份是多少，既可以尋找相對應的1 份是多少，也可以尋找幾份是多少。

補充板書如下：

【通過這個環節的跟進學習，不僅使剛才建立起的弱平衡（歸一問題結構框架）得到強化，還打通了“知1 份”和“知幾份”間的聯系，形成了解決歸一問題的基本方案和流程，使認知的新平衡更為豐富、完整和穩定。】

四、2“破”——還可以怎么樣想？

教師指著黑板上的題目和解法問：“2 支筆10 元錢，8 支筆多少錢？”難道只能這樣做嗎？還有別的方法嗎？你做做我看看。

學生獨立思考，自行嘗試各種辦法。（教師巡視，不斷激勵和引導學生，并收集學生的作品。）

展示學生作品：

8÷2=4 10×4=40（元）

8÷2=4（個） 10×4=40（元）

8÷2=4（支） 10×4=40（元）

8÷2=4（份） 10×4=40（元）

師：最后的結果都等于40 元。這種做法極可能是對的。現在最重要的是，我們必須理解透它的每一步表達的意義。第一步“8÷2”是想先求什么？得數4 后的單位到底是支，是個，是份，還是什么都不是？（大多數學生都非常茫然）

【第1 次打破的是解決問題的前提和結構，這次打破的是解答歸一問題的策略和方法。】

五、3“立”——先求“倍”，再求“幾”

師：大部分同學都不會。畫圖可以幫助我們分析和理解。我們一起畫：用1 根豎線代表1 支鉛筆，2 根豎線就代表2 支筆。為了便于對比，我們在第二行對應著畫出要求的8 支鉛筆，這樣便于對比和分析……

最后形成的板書如下：

【其實，這個學生此時處于認知的“次平衡”狀態。她通過觀察絕大多數同學和教師的反應知道這種解法是對的，但是自己又想不明白，經過短暫的掙扎與矛盾之后，不排斥但也不接受，處于一種中立狀態，即認知的次平衡狀態。】

教師指著學生一開始的反饋問：把已知的2 支看成一盒，8 支就相當于4 盒；把2 支看成……

學生：把2 支看成1 份，8 支就是4 份……

教師把原來的板書改為：

8÷2=4 倍 8÷2=4（對） 8÷2=4（組） 8÷2=4（份）

（這里的倍不需寫，簡寫為8÷2=4）

師：知道“幾”是多少，求“幾”是多少的第二種解法是什么？

生：先求要求的那個“幾”是知道的那個“幾”的倍數，然后再求“幾”是多少。

教師板書：

小結：知道“幾”是多少，求“幾”是多少。到目前為止，同學們思考出了兩種解決路徑：路徑A 是先求“1”是多少，再求“幾”是多少；路徑B 是先求倍數，再求“幾”是多少。

【“倍比”與“歸一”是顯著不同的兩種思考，對三年級學生而言是很有挑戰性的（教材上沒有編排），而一切富于挑戰性的事物或活動都有著深刻的心理動力學意義。課堂上學生積極投入的熱情狀態，以及解決問題后的興奮都表明：學生是非常享受這種挑戰帶來的刺激的。】

六、3“破”——“倍”感不適

教師隨手在黑板上寫出一道題：24 支筆120 元，8 支筆多少錢？

第一步，學生判斷出這道題屬于知道“幾”是多少，求“幾”是多少。

師：這樣的題，你有幾種解決路徑？試一試。（學生獨立嘗試練習）

學生作品1：120÷24=5（元） 5×8=40（元）。（教師讓學生說自己的思路）

學生作品2：24÷8=3，3×（學生抓著頭敘述完自己的思路：我先算24 支筆是8 支筆的幾倍，求出來是3 倍。再算8 支筆的錢，我想用3×120，可是我一口算得360元，8 支筆不可能是360 元呀，我也不知道怎么回事，就沒往下寫。）

教師引導其他學生一起思考該學生的問題，找出問題到底出在哪里。

【學生剛剛建立的“先求倍數，再乘”的認知再次失衡，讓學生“倍”感不適，又欲罷不能，再次平衡的渴望促使他們更為積極地思考和探索“問題到底出現在哪里”。】

七、4“立”——全景倍的關系和運算

學生作品3：24÷8=3，120÷3=40（元）。

師：她這個結果是40，奇怪，我們原來做的這些題算出了倍數后，不都是乘嗎，她怎么除了呢？你自己琢磨琢磨，小組間也可以商量商量。

最后，所有學生都明白了，并做了如下講解：

這道題知道的這個“幾”是多的，求的那個“幾”是少的。這里的3 倍，表示知道的這個錢是3 份，求的錢才是1 份。知道3 份是120，求1 份，用除法，不用乘法。（聽課教師自發鼓掌）

教師讓幾個小組把這個思路闡釋幾遍后，問：那先求倍數，再求“幾”的這種思路，什么時候用乘，什么時候用除，你們能總結一下其中的規律嗎？

生：把知道的那個“幾”和要求的那個“幾”比，如果知道的“幾”少，用乘法，如果知道的“幾”更多，用除法。

【此時，歸一應用題的“倍比”解法再次得到矯正、補充，倍比解法重新獲得平衡。】

八、4“破”——倍之路“徹底不通”

師：數學和世界上所有的事情一樣，總有出人意料的時候，3 支筆15 元，8 支筆多少錢？請問：知道什么，求什么？

師：請用你們探索出來的第二種方法解答。

生（議論紛紛）：這怎么求啊？8除以3除不盡啊！……

師：是的，現在你除不盡的，未來你才能解決。回頭再看你們總結的規律：知道“幾”是多少，求“幾”是多少的，先求倍數，再求“幾”，有不同意見的或者補充說明嗎？

生：補上“除得盡的，可以先求倍數，再求‘幾’；除不盡的只能先求‘1’，再求‘幾’”。

師：課上到這里，大家有什么感受？

生：用求倍的方法解題時，要看是否除得盡，看求的幾比知道的幾大還是小……

【學生看待問題、分析問題的角度更加全面和完整了。】

九、5“立”——柳暗花明又“兩村”

師：再思考，3 支筆15 元，8 支筆多少錢？除不盡是不是用“倍”解也有可能？是不是還有第三種、第四種解決路徑？

這時候，很多學生一臉驚呆了的表情，大呼：“什么！除不盡，還能？”

教師無比堅定地說：“能！絕對能！先獨立思考，實在行不通，合伙解決！”

【學生此前歷經了5 次的“行—不行—另辟蹊徑—又不行—……”過程，這些學習經驗會讓他們堅定地認為一定有第三種、第四種，甚至更多的方法，而這些未知的方法對全班而言都是“空白”。當人對某事物全部或部分屬性的認知處于空白時，會本能地想添加對此事物的屬性的認知，這種心理本能就是好奇心，而好奇心是“一種不依賴外在報償便能促成某種行為的強烈內在動機”，可以充分誘發學生自覺、積極、專注投入新屬性的探究，果然不出所料，學生們的創造之火接連迸發了……】

小組1反饋：是不是可以這樣求，8÷3=2倍……2支，先求2 倍的錢，15×2=30 元。再求剩下的2 支的錢，用15÷3 求1 支5 元，2×5=10 元。30+10=40 元。

教師組織學生配合作圖以充分理解這個小組的思考過程。

其他小組提出自己的看法：太麻煩了，你已經求出了1 支5 元，為什么不直接乘8 支呢？

教師引導和激勵：同學們，這種求法雖然麻煩，但是這個小組給我們提供了一種新的解決路徑和方法，這比什么都可貴！我們有A 想法，先求“1”；B 想法，先求倍。而這個小組……

生1：又求“1”，又求倍。

生2：它們的想法是A+B。

師：太牛了。把A、B 兩種方法結合起來，變成一種新的方法A+B，這就是整合、綜合，也是創新！掌聲鼓勵！

生3（受此啟發）：我還有一種方法！把8 支筆看成9 支……

學生反饋：

師：天哪，你們不僅發現了A+B,還進行了假設。所以第四種解決方案就是……

生：A+B+假設。

【至此，學生經歷了5 次突破和改變，經歷了從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗了解決問題方法的多樣性，掌握了多種分析問題和解決問題的基本方法，感受到了數學中更多的可能性，體會到了思維、創新和成功的快樂，達成了課前預設的“增強興趣、開闊視野、完善思維、學會思考、激發創新、開慧啟智”學習目標。】

十、全課盤點和總結

整堂課主要引導學生明確四種解決問題的方法和思考過程，感悟到每一道數學題都有很多解決的方法，感悟四種方法中蘊含的轉化、假設等思想。

十一、4“破”5“立”

師：第三種“A+B”和第四種“A+B+假設”的解決方案，都是因為8÷3 不能得到整倍數，我們進行了轉化和變通。其實，將來學了分數和小數之后，你們會有新的解答方法。比如，8÷3 就等于三分之八倍，這個不會沒關系，因為要到六年級才學。當然，感興趣的同學課后可以繼續研究。【學生目前暫時不懂筆者為什么還要“拎”出來，教給學生呢？筆者的目的是給學生打開一扇窗，讓他們再多“看見”另一種可能，為未來的學習（六年級）播下一粒認知的種子。這粒種子孕育于“破立”之間，終有一天，會在合適的季節發芽、破土、長大、開花、結果！筆者深信那一天一定會到來！】