優化活動設計 增加思維含量
——蘇科版數學九（上）“弧長和扇形的面積”教學設計及改進

■陳燕軍

教學設計的著力點應放在活動設計上，以此來引發學生深度思考。筆者以蘇科版數學九年級上冊“弧長和扇形的面積”教學設計的修正前后比較為例，淺談自己的一些思考。

一、原教學設計簡述

環節1：生活引學。

在200米短跑比賽中，每位運動員的起跑位置相同嗎？每位運動員的實際運動距離相同嗎？

環節2：探索弧長計算公式。

已知⊙O的半徑為2，則圓的周長為___。

180°圓心角所對的弧占整個周角的___，因此，它所對的弧長是圓周長的___，弧長是___。

提煉總結：在半徑為R的圓中，弧長l與所對的圓心角度數n之間的關系是___。

環節3：試探索扇形面積計算公式。

已知⊙O的半徑為2，則圓的面積為___。180°圓心角的扇形面積占整個圓的面積的___，因此該扇形面積是___；

提煉總結：在半徑為R的圓中，扇形面積S扇與所對的圓心角度數n之間的關系是___。

環節4：教師助學。

環節5：例題展示（略）。

二、優化后的教學設計

【活動1】激活舊知，引入課題。

師：我們學過了圓和扇形，知道扇形是圓的一部分。圓的周長公式和面積公式各是什么？

［設計意圖］激活舊知，做好知識鋪墊。

師：扇子（如圖1）是一個扇形，試指出該扇形的半徑、圓心角、弧。扇形的面積和弧長分別是指什么？

圖1

［設計意圖］強化關鍵，明確弧是一段曲線，是圓周的一部分，弧長是這段曲線的展直長度。

師：將閉合的扇子徐徐打開，圓心角逐漸變大，扇形弧長和扇形的面積如何隨著圓心角的變化而變化？它們之間有怎樣的關系呢？

［設計意圖］自然引入課題，為后面的函數視角埋下伏筆。

【活動2】探索弧長計算公式。

如圖2，扇形的半徑為R，圓心角度數為n，試求該扇形的弧長lAB。

圖2

師：當圓心角度數n為多少度時，扇形的弧長最容易求？請舉例，并說明理由。

［設計意圖］研究一個問題，常常是從最簡單或者最特殊的情形入手。例如，引導學生從圓心角為180°、90°、45°等簡單情形入手。

師：上述例子中我們是根據什么來求弧長的？請說明理由。

［設計意圖］引導學生感悟局部與整體的關系。例如，弧長占整個圓周的幾分之幾，圓心角是周角的幾分之幾。

師：當圓心角度數為n時，我們該如何求該扇形的弧長？請寫出推導過程。

［設計意圖］從1°的弧長到n度的弧長，學生自主推導，得到公式l

師：觀察公式，當半徑R為定值時，弧長與圓心角是什么函數關系？當圓心角度數n為定值時，弧長與半徑又是什么函數關系？弧長、半徑、圓心角三個量中，知道其中的任意幾個量，就可以求出其他量？

［設計意圖］公式的再認識和強化，呼應前面的“徐徐打開”，滲透函數觀點和方程觀點。

【活動3】探索扇形面積計算公式。

師：經歷弧長公式的探究，你能否設計一個探究扇形面積公式的方案？

［設計意圖］引導學生利用類比思想，自主設計方案，討論交流，展示結論，得到公式S扇=，進一步擴大思維空間。

師：從前面扇子徐徐打開的過程可以知道，扇形的面積同樣隨著弧長的變大而變大。你能否用一個扇形的半徑R和弧長l來表示該扇形的面積？試寫出推導過程。

［設計意圖］讓學生自主推導，得到公式S扇=。然后將該公式與三角形的面積公式對比，發現其結構上的相似性，培養學生對含字母式子推理的能力。

師：用函數觀點和方程觀點看扇形面積的兩個公式，你可以得出什么結論？

［設計意圖］進一步滲透函數觀點和方程觀點。

【活動4】小題練學。

1.已知圓心角為30°、半徑為4的扇形，求弧長l=___，S扇=___。

設計意圖：公式的及時應用，加深印象，進一步感悟“知二求三”的方程觀點。

【活動5】例題精練（略）。

三、教學思考

結合實際教學效果，對比兩次教學設計，筆者認為修正后的教學設計有三點成功之處。

1.直達本質，減少認知負荷。

原設計以短跑場景引出弧長，該情境不直觀。其實，學生已經會求一些特殊扇形（如四分之一圓）的面積，知道扇形是圓的一部分，關鍵是激活舊知，為新課探究做好知識鋪墊，同時引導學生利用局部與整體的關系，探索弧長和扇形的面積公式，為學生提供方法上的引導。

修正后的教學設計以學生熟悉的扇子引入新課，激活舊知，突出重點，直達本質，減少不必要的認知負荷，把更多的時間放在公式的探索和應用上。

2.問題驅動，增加思維含量。

原設計探索弧長和扇形面積公式都以教師設計的教案為路徑展開，整個探究過程看似以學生為主體，以教師為主導，但都是偽探索、偽自主、偽思考，學生被教案牽著鼻子走，按照教師意圖完成任務。教師將自己的“高見”灌輸給學生，試圖施加“外力”讓學生掌握函數觀點和方程觀點，學生被迫接受，沒有思維空間。

修正后的設計采用“問題驅動”，以問題串驅動目標達成，每個問題都有明確目標指向，有一定思維空間，尤其關注“得出結論難易”與“思維空間大小”之間的平衡點。如：“當圓心角度數n為多少度時，扇形的弧長最容易求？”“上述例子中我們是根據什么來求弧長的？”問題起點低，但直指目標，有數學思維，學生通過特殊到一般、局部與整體的關系得到弧長公式最后，學生類比弧長的探究，自主設計探索扇形的面積方案，進一步擴大思維空間。

學生在課堂中積累的發現問題、思考問題、提出問題、設計方案、解決問題等經驗，將成為他今后探究和解決數學問題的寶貴經驗和方法，這樣的課堂才具有學習動力。