學好概念 提升能力
——以初中數學“合并同類項”教學為例

■劉昌典

概念教學是中學數學教學中的一個重要環節。學好概念是學好數學比較重要的一個過程。不少學生覺得學習數學很困難，概念不清往往是重要原因之一。對概念不重視、不發掘、不思考，就不能熟練地對數學概念進行理解、應用和轉化。數學的知識點是連貫的，一些法則的使用，往往緊密地與概念融合在一起。

一、教材分析

這是在學習了用字母表示數、單項式、多項式、有理數之后，設計的對合并同類項概念探索、理解、應用的一節課。合并同類項是本章的一個重點，其法則的應用是整式加減的基礎，也是后期學習解方程、解不等式的基礎。同時，這節課與前面所學的知識有著密切的聯系，在數的運算、多項式的定義的基礎上，才延伸出合并同類項的法則。在合并同類項的過程中，要不斷運用數的運算，即合并同類項是有理數運算的延伸與拓展，是代數式運算的常用方法之一，對于解決一些實際問題和進一步學習有著深遠意義。

二、學情分析

新知識的學習、理解、掌握應建立在已有知識的基礎上。因此，從學生已有的生活知識經驗出發，通過觀察、思考、分析、討論、對比，引出同類項這個概念并且找出滿足同類項的條件。合并同類項法則是在生活常識基礎上的延伸和應用，合并同類項是式的運算，可類比生活中同物質數量計算來學習，讓學生體會數學來源于生活，又作用于生活，從而激發學生學習數學的興趣。

三、教學重難點

同類項的概念、合并同類項法則的形成過程、理解及應用。

四、教學設計

1.創設情境，激發興趣。

【活動1】圖1是某校的規劃圖（長方形），請你用不同的方法求出學校面積。

圖1

利用區域顏色的不同，引導學生從局部和整體兩種角度思考問題。學生寫出不同的答案：①100a+200a+240b+60b；②（100+200）a+（240+60）b；③（100+200）（a+b）。

［設計意圖］從不同角度解決同一問題，可得到幾種不同表達結果，為后續的學習提供可用的算式。多角度解決問題，能激發學生的學習熱情，讓學生覺得數學有趣，有挑戰性。

2.概念構建，探尋本質。

【活動2】下列各組中的單項式有什么特點？

（1）110a與200a（2）2x2y與5x2y

（3）mn3與-mn3 （4）-ab與-13ba

教師為了把概念的理解彈性化，故設計問題串一一認識概念的特點，便于學生理解掌握。

師：每組單項式中，相同點是什么？

生：相同的是字母。

師：僅僅是字母相同嗎？

生：還有指數！

師：能準確地描述嗎？

生：相同的字母指數也相同！

師：不同點是什么？

生：單項式的系數不同。

師：我們是否可以把每一組的項，看作一類？你的理由是什么？

生：可以，與生活歸類類似。

師：既然可以歸為一類，在數學中稱為“同類項”。你能不能說一下具備什么條件就可以稱為“同類項”了？

生：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫作同類項。

師：既然同類項定義如此，那么再請同學們概括出主要條件！

生：①字母相同；②相同字母的指數相同。簡稱“兩同”。

［變式訓練1］下列各式具有上述特征嗎？它們是不是同類項？

（1）10b與20b；（2）-9a2y3和5a2y3；

（3）4m2n和-4nm2；（4）4abc與4ac；

（5）mn與-mn；（6）23與42。

學生思考解決后，教師提出問題：你有什么特別要提醒大家的地方嗎？

生：①同類項與字母順序無關；②同類項與系數無關；③單獨的數是同類項。

［變式訓練2］如果3amy2與4ayn是同類項，則m=___，n=___。

設計問題：你從哪個角度來思考的？依據是什么？

［設計意圖］在形成同類項概念之前，教師給出了幾組代數式讓學生去對比分析，通過小組內辨析，總結出同類項的兩條標準。教師起一個引導的作用，適時架構一些引導性的問題，幫助學生思考、解決問題。為了進一步準確掌握同類項的定義及應用，安排兩個過渡性的練習，加入一些適當的問題，進一步強化同類項的特征，加深學生對同類項概念的理解。辨別同類項是本節課的關鍵，是重點內容之一，也是合并同類項的基礎和需要。

3.生活情景，自主探尋。

【活動3】利用生活中計算蘋果數量的情景，讓學生填寫出蘋果的合計量。

填完后，讓學生分析，從左邊到右邊，什么發生變化了？什么沒變？從中學生能歸納出“蘋果”沒有改變，只是數量進行了合并。

教師把蘋果改成a，得到3a+2a=5a。此時，為了讓知識升華，故設計問題：對于3a、2a，用我們剛學習的知識來說，它們叫作什么？從而讓這一點指向合并同類項。讓學生用類比方法完成 填 空：12a2b-3a2b=___，-9x2y3+5x2y3=___，4xy+3xy-2xy=___。

教師指出，像這樣從左邊到右邊，把同類項合并成一項，叫作合并同類項。教師提出問題：同類項如何進行合并？

通過圖片的演示，幫助學生理解、總結合并同類項的法則。

在此過程中，為降低概括的難度，故設計問題串：（1）左邊有幾項？（2）各項系數分別是什么？（3）4+3-2分別是哪些數的和？（4）從左邊到右邊，哪些沒有變化？

［設計意圖］為了增加知識來源于生活又服務于生活的典型例子，筆者讓學生對比“蘋果”的計算，通過類比的方法轉化為合并同類項的概念；對過渡性的計算進行深度挖掘，設計出問題串。學生在獨立完成的基礎上，觀察、分組討論,通過類比、探究式的運算，進一步深化理解概念。一變：系數變（系數相加）；二不變：字母和字母指數不變。

4.知識拓展，能力提升。

【活動4】例題學習。

例1 分別指出下列各題中的同類項，并合并同類項：

（1）-3a+2y-5a-7y；

（2）4x3y-8xy2+7-4x3y+10xy2-4。

例2 如果兩個關于x、y的單項式2mxay2與-4nx3a-6y2是同類項（其中xy≠0）。

（1）求a的值；

（2）如果它們的和為0，求（m-2n-1）2021的值。

［設計意圖］在學習中，先讓學生自主探索，當學習出現困難時，適時安排學生進行討論，通過生生互動尋找解決問題的途徑，進而鞏固法則，理解概念。

教師通過對此類易錯問題的預設，使學生不再簡簡單單地停留在模仿層面，而是鼓勵他們去思考、討論，真正調動學生對法則的理解。學生積極參與才能提高學習效率，樹立自信心。

五、教學反思

本節課從實施角度來看，突破了本節的重點、難點，順利完成了兩個概念的教學，但存在的問題是學生依舊難以順利地應用合并同類項法則進行計算。問題主要出現在符號的處理上，如把a2-3a-3a2+a2+2a-7寫成（1-3+1）a2-（3+2）a-7。即使教師指出這樣的過程是錯誤時，學生也無法知道錯在哪里。學生為什么會寫出這樣的過程？調查發現，學生是將第二項理解為3a，這樣，系數就自然被認為是3，所以出現了錯誤的書寫。

學生為何會那樣理解呢？原來問題出在對多項式定義的理解不夠深入。在前面教學中，多項式的定義是由單項式定義一帶而過地出現在教材中，大多數教師往往也沒有太多地重視這個概念的教學，簡單地認為學生能夠理解其中的要點。因此，教師在教學時把精力大部分放在了單項式的定義教學上，以至于學生在合并同類項時，出現了錯誤，也造成不能正確應用合并同類項的現象出現。多項式的概念關鍵在于單項式的“和”上，在合并同類項時，依然也應該是通過“+”來連接前后不同類的同類項。

通過本節課的學習，學生進一步體會到數學來源于生活，又服務于生活。在學習過程中，學生自己經歷了探索與交流的過程，得到同類項的概念；經歷了“活動→探索→合作→交流”的過程，培養了團結協作能力和勇于探索的精神。在整節課的教學活動中，教師向學生提供參與數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能，培養學生動手、動口、動腦的能力和合作交流能力，充分體現了學生的主體性。教師在課堂上運用生活實例，引發學生探索問題的興趣，讓學生在活躍的課堂氣氛中探討出知識的規律，找到學習數學的樂趣。

總而言之，對于數學概念的教學，如果不進行深度挖掘，就很難讓學生正確地應用；如果僅通過強行記憶的方式去模擬，是難以提高學生的應用能力的。