高維球冠上的Yamabe問題①

賴晉秋，胡玉琪，姚純青

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 重慶 400715

文獻[1]提出了Yamabe問題： 在每個m(≥3)維緊致無邊黎曼流形(M，g)上， 是否存在一個與g共形且具有常數(shù)量曲率的度量? 經(jīng)過文獻[1-4]的研究， Yamabe問題得到了徹底的解決， 并由此帶來幾何分析中一系列新的進展[5]．

長期以來， Yamabe問題的研究主要圍繞著不帶邊界的緊致黎曼流形進行[6-7]， 得到了令人滿意的結(jié)果． 對于帶非空邊界的緊黎曼流形， 是否也有相應(yīng)的Yamabe問題呢? 文獻[8]研究了緊致帶邊流形上的Yamabe問題． 文獻[9]通過構(gòu)造局部測試函數(shù)， 給出了在帶邊流形上的Yamabe問題的一個存在定理． 文獻[10-11]也討論了具有正Ricc曲率和凸邊界的緊黎曼流形的相關(guān)問題．

本文研究球冠上的Yamabe問題， 利用局部嵌入以及兩次球極投影[12]， 將標準球面上的度量誘導(dǎo)到球冠邊界上， 得到球冠邊界的度量[13]； 提出了球冠上的一類帶邊界條件的Yamabe方程， 并且得到了該方程的一組解．

1 預(yù)備知識

(1)

在球極投影下， 球面上的標準度量表示為

其中ξE是歐氏空間上的標準度量． 在歐氏空間Rn的笛卡爾坐標系下，ξE=δαβduα?duβ， 從而

(2)

(3)

球面的標準度量h是一個Einstein度量， 任何與h共形且具有常數(shù)量曲率的度量也是Einstein度量． 由于這個度量的Weyl曲率是0， 因此它具有常截面曲率． 所以這個度量與標準度量是等距的． 我們利用標準球面Sn上的球極投影， 以及Rn上的伸縮、 平移、 旋轉(zhuǎn)變換， 構(gòu)造出球面Sn上的共形變換， 從而得到以下結(jié)果：

(4)

該方程在λ=n(n-1)時具有標準解

(5)

其中β>1，x0是球面上的一點[14]．

2 主要定理及其證明

圖1 球冠及其邊界上的球極投影

(6)

(7)

(8)

則

計算得到

(9)

由于g=φ*h， 所以

引理1得證．

(10)

這個方程在h是球面標準度量的情況下是有標準解的． 由引理1可知， 在給出h的共形度量下， 球冠邊界也誘導(dǎo)出相應(yīng)的共形度量

所以在邊界(?M，g)上， Yamabe方程為

(11)

定理1對于球冠M(n=dimM≥4)， 帶邊界條件的Yamabe方程

(12)

證由球冠邊界的度量， 我們很容易得到球冠邊界(?M，g)(n=dimM≥4)的數(shù)量曲率Sg． 由(1)式與引理1可知

令

從而可得

(13)

由(3)式得到球冠邊界的數(shù)量曲率

(14)

我們知道， 標準球面Sn上的Yamabe方程具有標準解

其中β>1，x0是與球面上北極點相關(guān)的點，x是球面上任意一點． 那么這個解同樣適用于球冠(Mn，h)上， 即滿足

其中λ=n(n-1)．

當這個共形變換只由伸縮、 旋轉(zhuǎn)生成時， 易知x0為北極點N或南極點S， 此時φ0是旋轉(zhuǎn)對稱的． 當限制在球冠邊界?M上時，φ0為常數(shù)， 記為Λ， 從而

(15)

由(14)式可知

即在球冠邊界?M上， 滿足

其中

我們將流形內(nèi)部的幾何性質(zhì)與邊界的幾何性質(zhì)相聯(lián)系， 提出了球冠上的Yamabe方程的一類邊界條件， 利用球面Yamabe方程的解， 構(gòu)造出球冠上相應(yīng)邊值問題的解． 這樣的結(jié)果能否推廣到一般的帶邊界流形以及如何推廣， 還有待進一步研究．