扭曲乘積形式的2維雙曲Yamabe方程①

胡玉琪，賴晉秋，姚純青

西南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 重慶 400715

緊致黎曼流形上的Yamabe問題最早由文獻[1]提出并證明， 但文獻[1]的證明存在一定缺陷， 后由文獻[2-3]進一步完善， 最后由文獻[4]完全解決．

對于完備非緊致的流形， 文獻[5]通過偏微分方程研究了預定曲率問題； 文獻[6]研究了與雙曲圓盤共形的完備度量的曲率； 文獻[7]研究了圓盤上具有非正曲率的完備度量； 文獻[8]研究了洛倫茲流形上的Yamabe問題； 文獻[9]通過劉維爾方程給出了2維雙曲Yamabe問題的一般解， 但解的形式比較復雜．

扭曲乘積度量是微分幾何中研究黎曼流形和偽黎曼流形的一種重要的度量形式， 文獻[10]利用Yamabe方程給出了扭曲乘積流形M×fN的數(shù)量曲率和兩個因子流形M，N的數(shù)量曲率之間的關(guān)系； 文獻[11]證明了在某些非緊乘積流形的共形類中， 無窮多個具有常數(shù)量曲率的完備度量的存在性； 文獻[12]運用分叉定理和譜定理研究了扭曲乘積流形上Yamabe方程解的多重性．

1 預備知識

定義1如果乘積流形M=B×F上的度量g滿足

g(X，Y)=gB(ρ*X，ρ*Y)+φ2(ρ(·))gF(η*X，η*Y)

其中X，Y是乘積流形上任意一對向量場， 則稱g為扭曲乘積度量， 函數(shù)φ是B上正的光滑函數(shù)， 稱為扭曲函數(shù)． 我們將此度量簡記為g=gB+φ2gF， 將具有此度量的乘積流形稱為扭曲乘積流形， 記為B×φF．

特別地， 當B是R+上的開區(qū)間I，F(xiàn)是Rn中標準單位球面Sn-1時， 扭曲乘積流形I×φSn-1上的度量

稱為旋轉(zhuǎn)對稱度量．

設(shè)φ=snk(t)是方程組

當k=0時，snk(t)=t， 流形R+×tSn-1與歐氏空間(Rn，ξ)等距， 其中ξ為標準歐氏度量．

當k=1時，snk(t)=sint， 考慮映射

可以驗證G是一個等距映射， 因此流形R+×sintSn-1與標準單位球面(Sn，h)等距， 其中h是球面Sn上的標準度量[13]．

當k=-1時，snk(t)=sinht， 可以證明流形R+×sinhtSn-1與雙曲空間(Hn，h1)等距， 其中h1為雙曲空間上的標準度量(引理1)．

流形(Mn，g) 上的拉普拉斯算子定義為

Δ=δg°d=-tr(°d)

對任意的函數(shù)f∈C∞(M)， 在局部坐標圖下， 有

(1)

(2)

(3)

取球面上的北極點N(0， …， 0， 1) 為投影中心， 通過球極投影

球面上標準度量h表示為[14]

設(shè)φ是(Sn，h)到它自身的共形微分同胚， 則ψ=π°φ°π-1是(Rn，ξ)上的共形微分同胚， 從而可寫為

ψ=A°B°C

其中A∈O(n)，B是平移變換， 記B(x)=π(x)+a，C是伸縮變換， 記C(x)=λπ(x)，λ≠0． 通過計算可得

因此得球面上的共形變換[3]

(4)

我們知道， 標準雙曲空間(Hn，can)有3個常用的模型， 分別為雙曲面模型(Hn，h1)、 龐加萊球模型(Bn，h2)和龐加萊半空間模型(Un，h3)． 取Rn+1中雙葉雙曲面下半支的頂點S(0， …， 0， -1)為投影中心， 通過雙曲球極投影

雙曲空間Hn上的度量h1表示為[14]

2 主要結(jié)果

取(Hn，h1)作為我們所用的模型， 它是在坐標(τ，ξ1， …，ξn)中由方程τ2-|ξ|2=1定義的Rn+1中的雙葉雙曲面的上半支， 具有度量

h1=ι*m

引理1映射

是一個等距映射．

z1dz1+z2dz2+…+zndzn=0

從而

引理1得證．

下面我們要寫出扭曲乘積流形上的Yamabe方程， 為此， 先給出扭曲乘積形式下的拉普拉斯算子．

(5)

證首先， 黎曼度量g在局部坐標圖下可表示為

其中

(gt)ij=φ2(t)hiji，j=2，…，n

再由

可得

因為?iφ=0， 則

整理即得

引理2得證．

(6)

(7)

根據(jù)(2)，(6)，(7)式， 扭曲乘積流形R+×φS1上的Yamabe方程可寫為

(8)

其中μ為常數(shù)．

我們知道， (R2，ξ)上的共形變換即為相似變換， 共形因子為常值函數(shù)， 而常值函數(shù)恰好是我們所給方程的一組解．

當k=1時， 扭曲乘積流形R+×sintS1是與標準單位球面S2等距的．

定理1扭曲乘積流形R+×sintS1上的Yamabe方程為

該方程在μ=2時具有如下形式的解：

其中λ∈R+，a∈R2，z∈S1．

考慮等距映射

令z=(cosθ， sinθ)表示單位圓周S1上的任意一點． 那么x=(sintcosθ， sintsinθ， cost)表示S2上的任意一點， 由(4)式可得共形因子

eu=4λ2[1+λ2+|a|2-(1-λ2+|a|2)cost+2λsint(a1cosθ+a2sinθ)]-2

即

它是我們所給的Yamabe方程的解， 定理1得證．

定理2扭曲乘積流形R+×sinhtS1上的Yamabe方程為

該方程在μ=-2時具有如下形式的解：

其中λ∈R+，a∈R2，λ2+|a|2<1，z∈S1．

仿照標準單位球面上的共形變換(4)， 我們構(gòu)造雙曲空間上的共形變換為

(9)

考慮等距映射

令z=(cosθ， sinθ)表示單位圓周S1上的任意一點． 那么x=(sinhtcosθ， sinhtsinθ， cosht)表示H2上的任意一點， 由(9)式可得共形因子

eu=4λ2[1+λ2-|a|2+(1-λ2-|a|2)cosht-2λsinht(a1cosθ+a2sinθ)]-2

即

可以驗證它是我們所給方程的一組解， 定理2得證．

我們利用扭曲乘積流形研究了2維雙曲Yamabe方程及其特解， 但要推廣到更高維的雙曲空間， 甚至更一般的扭曲乘積流形還需要進一步地開展研究．