復合材料圓筒中的應力波和破壞

楊宇宙，徐亞棟，陳龍淼

(南京理工大學 機械工程學院，江蘇 南京 210094)

當一個幅值足夠大的應力波通過結構體時，有可能導致結構的破壞或加速結構中起始裂紋的擴展。動態載荷導致的破壞機理不同于靜載，這是因為：應力波的速度一般遠大于裂紋的擴展速度，隨著應力波的快速通過，裂紋不會及時擴展；瞬時載荷條件下結構的變形具有時間相關性；加載速度的大小對材料韌性破壞和強度的測量影響很大，對于韌性材料，如增強聚合物復合材料，得到的結果可能偏向脆性，所以靜載條件下得到的破壞韌性和強度[1-2]不適用于動態情況。

當壓力的移動接近臨界傳播速度時，圓筒中就會產生共振現象。共振導致圓筒中壓力前緣處的應變具有非常高的幅值和頻率。Donadon等[3]和McCartney[4]研究了移動壓力載荷作用下圓筒的共振效應。最近Abdewi等[5]研究了炮管中彎曲波的動態響應。Tzeng[6]將研究擴展到帶金屬內襯的纖維增強復合材料圓筒的動態應變的影響。以上研究成果適用于設計炮管和高壓管道系統，及其減重設計。

考慮應力波的影響對于設計高性能、質量輕的復合圓筒是十分重要的。壓力前緣沿著圓筒移動時出現的壓力不連續會引起薄壁圓筒結構的局部彎曲[7]，而質量的減輕會降低動載作用下結構的剛度和慣性[8]，因此在某種程度上減重設計會放大或縮小壓力波造成的動態響應。彎曲變形會引起很高的軸向和橫向切應力，其幅值的大小十分關鍵，因為復合材料的剪切強度要低于金屬的剪切強度[9]。

從設計安全的方面考慮，動態響應的分析很重要，尤其是復合材料層和金屬內襯之間界面處的響應分析，因為動態條件下的應力應變水平高于靜態條件下的數倍，且層合結構和不同材料界面間結合處的剛強度最為薄弱，其剪切屬性和拉脫強度相對較低，常導致該處的起始脫粘分層。另外，動態周期應變會加快復合材料中裂紋的擴展，導致復合圓筒的最終破壞。因此，筆者仿真分析了帶金屬內襯復合材料圓筒在移動內壓載荷作用下的動態響應，及不同的彈丸初速對結構動態響應的影響，用于研究應力波傳播對復合圓筒造成的損傷行為。

1 復合圓筒的動態響應

考慮一個半徑為R的正交各向異性薄壁圓筒受到軸對稱徑向壓力載荷作用。其幾何結構、坐標系和邊界條件如圖1所示。

移動內壓載荷作用下該模型的控制方程可用Heaviside階梯函數表示為

P[1-H(x-vt)],

(1)

式中：w為徑向位移，取決于時間t和軸向坐標x；m為質量；ρ為殼的材料密度；h為殼的厚度；P為內壓；假設壓力前緣的速度v為常數；μxθ和μθx分別為復合材料的軸向和周向泊松比。

結構的軸向和周向彎曲剛度表達式分別為

(2)

(3)

式中,Ex和Eθ為有效彈性模量。

對于正交層合結構的復合材料圓筒，沿軸向和周向的殼彎曲剛度是不同的，可通過軸向層到周向層的比例得到。式(1)中的加載函數P[1-H(x-vt)]表示內壓前緣以不變的速度v沿著軸向方向移動，H(x-vt)為Heaviside階梯函數。因此有

(4)

Tzeng[6]給出了正交各向異性復合圓筒的臨界速度的表達式：

(5)

式(5)表明移動壓載作用下正交異性圓筒臨界速度與筒幾何特征、密度、泊松比和彈性模量有關。從設計的角度講，動載條件作用下圓筒的構建應選擇高剛度、質量輕的材料，但是式(5)表明在其他參數不變的情況下，壓力波的速度越大，需要結構的壁厚越大。同時，也顯示出軸向和周向的彈性模量都會對臨界速度產生影響。因此可以通過改變復合材料圓筒中各層板的參數進行設計優化。

對于各向同性區域，式(1)～(5)可以得到很大的簡化，因為軸向和周向的材料屬性均相同。此時的臨界速度可表示為

(6)

2 破壞和能量密度積分

假設結構中復合材料層和金屬內襯層界面處存在一個裂紋，如圖2所示。

接近裂紋尖端的應變場很難定義，尤其是在這種含各向異性復合材料的雙材料系統中。假設界面處的裂紋是軸對稱的，可通過建立二維模型對裂紋和遠場進行分析。文獻[10]提出一種近似方法，被稱為J積分，回避了求解邊值問題的復雜性。圍繞裂紋尖端的路徑J的積分可定義為

(7)

式中：T沿路徑的拉矢量；ds為沿Γ的單元弧長；u代表位移矢量；ω為應變能密度，可定義為

(8)

忽略該時刻與材料內部運動有關的動能，但是其影響在式(7)中表現出來。Rice指出，J積分在彈性條件下很明顯等同于應變能釋放率，可以表示為

(9)

式中：Q代表彈性體的勢能；a為裂紋長度；G為源于3種破壞模式的總應變能釋放率，應變能釋放率同應力強度的關系式為

(10)

式中，KⅠ、KⅡ和KⅢ分別為與3種破壞模式有關的應力強度因子。

通過在有限元積分過程中導入應變能，可詳細模擬出含微裂紋復合圓筒的破壞狀態。圍繞裂紋尖端的應力應變場可以通過瞬態分析計算獲得，沿著指定路徑，可逐單元計算出應變能密度及其積分值。結果同實驗值進行對比，并被用作設計和制造參數。

3 有限元模擬動態響應

3.1 建模求解

本文研究的結構有限元模型包括復合材料圓筒和金屬彈丸兩部分，如圖3所示，圓筒結構內徑r0為61 mm，外徑rN為84 mm，軸向長度為1 m，由4層等厚度碳纖維增強樹脂基復合材料層和金屬內襯層組成，復合材料層每層厚度為1 mm，沿徑向堆積，各層堆積順序由內而外依次為0°，53°，-53°和90°。

網格劃分方案為，金屬內襯部分采用六面體實體單元，復合材料部分采用四邊形殼單元。彈丸最大外徑為62 mm。由于主要研究對象為復合圓筒，因此對于次要部分金屬彈丸，采用精度稍低的四面體單元進行劃分網格。

結構中，金屬材料采用Ni3鋼，復合材料采用T300/Epoxy，金屬材料和復合材料的基本材料參數如表1、2所示[6]。

表1 材料強度特性表

表2 材料物理特性表

3.2 載荷邊界條件

對復合圓筒的左端面施加軸向位移邊界約束，在復合厚壁圓筒的內表面施加沖擊壓力載荷，該載荷由彈丸的擠進產生，在彈丸底部施加一個隨時間變化的均布載荷，如圖4所示。當時間達到2.724 74 ms時，載荷達到最大值388.110 61 MPa。

分別賦予彈丸兩種不同的平均速度，分別為230 m/s和430 m/s，對動態響應結果進行對比分析。兩種情況下彈丸通過圓筒的時間分別為3.2 ms和2.4 ms。為了精確獲得圓筒的動態響應，計算執行時選取時間增量為1 μs，因此每次分析大約需要3 500～4 000個時間步。該時間間隔允許壓力沿著滑塊移動后的單元表面緩慢爬升至最大值。這意味著壓力邊界條件突然作用于單元表面所引起的人為數值應力振蕩能夠最小化，這樣，這些數值振蕩不至于反過來影響結果。

3.3 結果分析

在兩種不同初速情況下，彈丸移動2.16 ms時結構的應力云圖如圖5、6所示。

從圖中可清晰地看到圓筒壁中的變形情況和應力振蕩。最大應力和位移出現在壓力前緣、彈丸同圓筒擠壓接觸的位置，并從壓力前緣沿著軸向兩邊減小。結構變形圖的數據顯示方法能夠直觀地顯示出位移、應力和應變場的空間變化。但是該方法與觀察視角有關，且不能詳細描述結構內具體某一節點或單元隨時間的動態響應狀態。這就需要在復合圓筒上選一固定點，觀察位移、應力隨著壓力前緣接近和通過該點時的變化。

復合圓筒中位移和應力分量最大值所處徑向位置如圖7所示。由于圓筒遭受內壓載荷作用，所以周向應力最大值發生在內襯層的內表面。當壓力前緣通過一個給定的軸向位置時，筒壁中將發生局部軸對稱彎曲。最大軸向應力將產生在內襯的內表面和復合材料層的最外層表面。與彎曲有關的最大剪應力位于橫截面的中軸處。相應的復合材料層板橫向臨界切應力產生于內襯和復合材料層界面的附近。

復合圓筒中復合材料層動能隨時間的演化曲線如圖8所示。

在彈丸接觸圓筒瞬間，圓筒受到沖擊，復合材料層開始產生動能。隨著彈丸的深入，動能不斷累加，直至彈丸從另一端沖出，動能迅速降到很小值，并在該值附近進行振蕩衰減。對比兩條曲線可發現：彈丸速度越大對圓筒所帶來的動態響應也越大，相應的各部分的動能峰值也越大；彈丸的速度越大通過圓筒的時間就越短，圓筒的響應時間也越短，能量轉化就更劇烈，對圓筒的安全使用造成不利影響。

復合材料最內層的徑向位移隨時間演化曲線如圖9所示，表明：彈丸速度不同，情況1(指彈丸沖擊平均速度為230 m/s)和情況2(指彈丸沖擊平均速度為430 m/s)中復合材料最內層的徑向位移峰值出現的時間有顯著不同，但是大小差別不大。在壓力前緣抵達之前，圓筒中這些觀測點基本上沒有什么變化，只產生一些細微振蕩和由壓力前緣移動所產生的代表性的應力振蕩。顯見，當壓力前緣通過的同時，徑向位移快速增加，但是，如果速度很低的話，產生的位移和應力就會接近于靜態壓力載荷作用下的結果。理論上對于線彈性行為，圓筒的振蕩響應會一直持續下去，事實上卻是不斷減弱，這是因為材料內部的衰減和屈服之后的變形起到了阻滯作用。當彈丸遠離該軸向位置時，徑向位移趨于穩定值，可通過對受壓載作用圓筒進行靜力分析得到。情況2中的速度高于臨界速度，此時徑向位移的峰值實際上小于將壓力前緣的速度從230 m/s增加到430 m/s時得到的峰值，盡管壓力前緣在某些軸向位置已經超過了臨界速度。這可能導致在這些位置處產生共振，同時徑向位移的峰值至少是靜力分析得到的1.2倍。

兩種速度情況下，復合材料最內層的切應力隨時間的變化關系如圖10所示，可以明顯看出彈丸到達觀測點之前，應力只在0附近輕微振蕩，在彈丸通過瞬間，應力迅速增大，隨后波動衰減。但是當速度較大時，應力波反而有增大趨勢，這是由于應力波振蕩頻率接近材料固有頻率時引起的共振所造成的。該應力將導致復合材料層和金屬內襯層界面的分層破壞。

復合材料最內層的周向應力如圖11所示。周向應力過大是造成復合材料層纖維斷裂和基體撕裂的主要因素。其與切應力有相同的變化趨勢，但是切應力有可能是負值，而周向應力只有正值。對比兩條曲線，情況2中的波峰出現時間更早，也更為陡峭；波長更短，說明頻率更高；衰減過程有輕微共振。

兩種速度情況下，復合材料最外層的軸向應力隨時間的演化曲線如圖12所示。

軸向應力的變化最能反應應力波的傳播情況。從圖12中可看出，其具有以上所有應力變化的特點，波長和振幅都相對均勻，情況2中的共振效應也更為明顯。在材料破壞之前，兩種速度情況下波峰的最大值變化不大，約為100 MPa。

4 結束語

應力波引起的動態響應具有潛在的破壞性，并縮短結構的疲勞壽命。筆者關于復合圓筒的動載分析揭示了當壓力前緣沿圓筒軸向移動時圓筒中應力應變幅值的發展規律，以及伴隨應力波傳播而生的共振效應。與應力波有關的損傷擴展對于質量較小的復合材料圓筒尤為致命，因為多重材料層合結構界面處的剪切和拉伸強度較低，高溫下材料屬性下降，且加載速率對復合材料屬性具有更大影響。筆者所做的動態分析極大地克服了以往對于復合身管和管道系統設計、尤其減重設計時所做靜態分析中的缺點。該動態響應分析和破壞原理為發展一個安全實用的設計方法具有重要理論參考和指導意義。