不同邊界條件下的懸鏈線確定方法

蔣旭 李鄉安

摘要：在工程設計中使用直接法對懸鏈線問題進行數值求解時，往往需要推導特定邊界條件下的補充方程，這對一般設計工程師來說存在極大的困難。針對懸鏈線各種邊界問題所對應的補充方程缺乏系統總結的現狀，首先推導懸鏈線的四種工程上常見邊界條件下的補充方程，然后分別使用Matlab和Ansys通過四個不同類型算例驗證了所推導補充方程的正確性。

關鍵詞：邊界條件;懸鏈線;補充方程;數值法;有限元法

中圖分類號：TP39收稿日期：2022-01-14

DOI： 10.19999/j.cnki.1004-0226.2022.04.008

l 懸鏈線定義和介紹

著名的懸鏈曲線問題，即一根兩端固定繩子，依靠白身重量下垂所形成曲線形狀。伽利略就曾推測過懸鏈曲線是一條拋物線，該問題曾經一直困擾著15～17世紀歐洲數學家。直到1691年，才由雅各布·伯努利利用微積分的方法解決了這一難題。

在現實生活中能找到大量的懸鏈線應用實例，例如：兩電線桿之間的輸電線、懸索橋上的懸索、曬衣服的繩索、皮帶輪上的皮帶、白行車的鏈條、液壓軟管、起重機臂架上的鋼絲繩等懸索結構的下垂[1]。這些繩索結構下垂的變形形狀都可用經典的懸鏈線方程來描述（圖1）。通過對懸索結構所形成懸鏈線形狀的研究，可以得到實際工程中懸索結構的張緊力、下垂量、弦距等重要參數，為懸索結構空間布置、張緊力控制、強度校核、十涉評估等設計工作提供重要參考[2]。

將一般懸索結構抽象為滿足以下兩個假設條件的力學模型：懸索質量、剛度分布均勻，軸向剛度無窮人;懸索只能承受軸向拉伸作用不承受壓縮、剪切、彎曲作用。為了描述方便，首先建立如圖1所示的坐標系，將坐標系y軸固定在懸鏈線的對稱軸線上且數直向上，x軸垂直于y軸且平行于水平面，從懸鏈線的左端點指向右端點。根據高等數學知識[3]，懸鏈線的方程為：

（1）

（2）式中，a為懸鏈線最低點的y坐標，m;FH為懸鏈線對稱軸線處所受到的水平拉力，N;p為懸鏈線的線密度，kg/m;g為重力加速度，取9.81 m/s2。

如圖1所示，懸鏈弧線上的動點離左、右端點連線所構成弦線的最人距離d.稱為該懸鏈線的弦距;懸鏈弧線上的左、右端點中的較低點與懸鏈線上的最低點的y坐標差d2稱為下垂量。

在實際工程問題中，懸索結構左、右端點一般相對固定，即它們x、y方向坐標差是確定的，設左、右端點Y、y方向的坐標差分別為

，

;由懸鏈曲線的左右對稱性，同樣不妨設

>O和

≥O，即假設右端點始終不低于左端點，左端點的x坐標為x0;由式（1）得到了懸鏈線左、右兩端點高度差關系式（3）。式（3）包含左端點的x坐標x0和懸鏈線最低點的y坐標a這兩個未知數，欲唯一確定一條懸鏈曲線，就需要根據不同邊界條件來補充一個方程。

（3）式中，x0為懸鏈線左端點x坐標，m;

為懸鏈線左、右端點x坐標的坐標差值，m;

為懸鏈線左、右端點y坐標的坐標差值，m。

2 懸鏈結構計算技術現狀和擬開展工作

由于懸鏈線方程是一組關于x0和a非線性超越方程組，不存在固定的解析解。目前，求解懸鏈線問題的主流方法有間接法和直接法[4-5]。

間接法主要利用非線性有限單元法，將懸鏈線看成只能承受壓力的桿單元，其在自重載荷和兩端約束作用下的白然變形就是對應的懸鏈線方程。求解過程可應用成熟的有限元軟件來完成。通過不斷地修改材料的彈性模量和單元內初始的初始應力，找到一組適當彈性模量參數和內應力參數，滿足懸索邊界條件（如水平張緊力、弦距、弧長、下垂量等要求）的最終形狀。

利用有限元法求解懸鏈線問題可摒棄多種假設，可考慮更多復雜因素，如懸索的不均勻性、懸索上可加額外的載荷、繩索可抗彎、抗剪切，呈現出的計算結果也非常直觀。工程實踐中有限元法唯一的缺點就是效率低下，在計算過程中需不斷調整材料的彈性模量和單元初始的應力或應變。

直接法利用數值求解方法，根據各種給定的邊界條件，編制非線性求解程序，對懸鏈線方程組進行直接求解。主流求解方法有牛頓法、梯度法、共軛方向法、BFGS法、單純形法，市場上許多成熟數學軟件如Matlab、Mathematica、Maple、MathCAD都內置這些數值求解方法，極大降低了求解這類非線性問題的門檻。數值法具有直接、輸入參數少、求解速度快等優點，缺點是懸鏈線的邊界條件發生變化方程組的形式也相應發生變化，需找到不同邊界條件下所對應的補充方程，而目前各種文獻和工程軟件對懸鏈線各種邊界問題所對應的補充方程缺乏系統的總結和歸納。

本文擬開展下面工作：首先系統推導四類常見邊界條件下所對應的補充方程，便于使用直接法求解不同邊界條件下所對應的懸鏈線方程，提高工程師設計效率;然后分別使用直接法和間接法對所推導的補充方程的正確性進行驗證。

3 懸鏈線常見的幾類邊界條件問題

在實際懸索結構設計工作中，經常遇到以下四類邊界條件問題。

第一類問題，當懸索結構左右端點的坐標差確定，需將懸索強度或平均應力控制在一定范圍內，避免懸索結構繃得太緊而斷裂和過于松弛，即懸索的水平拉力FH大小已知時，來確定該狀態下懸鏈線曲線具體形狀。

第二類問題，在空間布置非常緊湊部件內部，懸索結構左、右端點水平布置且坐標差確定，需將懸索結構的下垂量d2控制在一定安全范圍內（圖2a），避免懸索結構與其它運動部件發生干涉現象，避免產生不必要磨損和異響。

第三類問題，在第二類問題的基礎上，將整個懸索結構沿懸索結構所在平面旋轉一定角度后，懸索結構所形成懸鏈線在重力作用下會發生變化（圖2b，，且水平拉力FH人小也會相應發生變化，這時需將懸索結構的弦距d.控制在一定安全范圍內。FDB12A2B-77C8-4C0C-8E5C-661A959BDDB8

第四類問題，當懸索結構左、右端點的坐標差確定，且懸索結構的總長度為定值L0，研究所形成懸鏈線的水平拉力FH、弦距d1、下垂量d2。

綜上所述，當左右端點的坐標差確定時，存在如下幾類常見邊界條件下求懸鏈線方程問題[6-7]：

a.繩索的水平拉力Fu大小已知，求懸鏈線方程。

b.繩索下垂量d2人小已知，求懸鏈線方程。

c，繩索弦距d1.大小已知，求懸鏈線方程。

d.繩索左右端點弧長已知，求懸鏈線方程。

4 各類邊界條件下補充方程

4.1 懸鏈線導數及弧長方程

對式（1）求導數可得到懸鏈線上任意一點x處的斜率方程g（x）;利用弧長公式可求得到左、右端點AB間的弧長公式（5）。為了方便實際編程，令h（x）等于式（6），將式（5）改寫為式（7）。各公式如下：

（4）

（5）

h（x）=

（6）

SAB=h

（7）

4.2

a類問題補充方程

當繩索的水平拉力FH大小已知時，根據式（2）可求得a，最后聯合方程式（3）可求得到懸鏈線方程左端點坐標x0。

4.3 b 類問題補充方程

當繩索下垂量d2大小已知時，即已知左端的與最低點自坐標差等于d1，可使用式（8）來描述。聯合式（3）和式（8）可求得a和x0。其中，x0需滿足小于零的條件。

f（x0）-f（0）=d1

（8）

4.4 c 類問題補充方程

當繩索弦距d1大小已知時，根據解析幾何知識，曲線上離弦距離最遠點XM即為曲線上切線斜率等于弦斜率的點。根據式（9）可得到最遠點的x坐標xM的方程;當知道最遠點坐標后，可利用點到直線的距離公式，建立弦距d1有關方程式（10）。聯合式（3）、式（9）、式（10）可求得a、x0和XM0 XM需滿足在左、右端點之間的條件，即x0

（9）

（10）式中，xM為懸鏈線弧上離AB弦距離最遠點的x坐標，m。

4.5 d類問題補充方程

當繩索左右端點的弧長L0大小已知時，根據式（7）可得到AB兩點間的弧長公式（II）。聯合式（3）、式（II）可求得a，YO。

h（xo+

x） - h（xo）= Lo

（II）式中，L0為懸鏈線弧AB總長度，m。

5 正確性驗證

為了驗證以上推導的四類邊界條件補充方程的正確性，設計了如表1所列4個不同邊界條件類型的算例，住所有算例中，假設懸索結構的兩端分別固定在A、B兩點，它們之間的坐標差

、

見表1，懸索結構的等效線密度為4.6 kg/m，試求懸索結構在各類邊界條件下的水平拉力Fu大小。

首先，分析列出各算例在指定邊界條件下的補充方程;其次，利用數學軟件Matlab中fsolve函數對式（3）和對應的補充方程所組成的非線性方程組進行數值求解，得到懸鏈線曲線（圖3）對應的最低點y坐標a、左端點Y坐標x。、水平拉力Fu;然后，將所得到的懸鏈曲線分隔成50 mm長的小段（在有限元軟件中長度單位設置為mm），導入到有限元軟件Ansys中，設置懸索結構等效密度，選擇link180單元模擬懸索結構，設置該單元只能承受拉力，加一定大小的初始預應力，打開人變形開關，約束兩端點處節點的所有平動自由度，對模型進行非線性求解（圖4），提取水平拉力Fu值;最后，將兩種方法計算結果進行對比（表1）。

從表1可以看出，利用本文所推導的補充方程計算出的結果與有限元軟件的結果相對誤差在水平拉力0.5%以內。同時從圖4也可以看出，在四個算例中，有限元計算出的懸鏈線與直接法所得到的曲線上對應取樣點的最大相對誤差只有1.52 mm，充分證明了本文所推導四類邊界條件所對應補充方程的正確性。

使用所推導四類邊界條件補充方程，可一次性快速求解這四類問題懸索結構形成的懸鏈線，避免有限元軟件繁瑣的操作和多次試算，極人提高了設計效率。

若使用有限元軟件求解變截面、局部受載、剛度變化的懸索結構求懸鏈線問題，也可使用這四類邊界條件補充方程求出懸鏈線的初始構形，將所得到初始構形導入到有限元軟件，可人幅降低調試參數時間并提高收斂速度。

6 結語

本文分別推導了在懸索結構左、右端點固定下，水平拉力FH、下垂量d2、弦距d，、懸鏈線弧長均已知的四類邊界條件下懸鏈線的補充方程：通過設計了四個不同邊界條件類型的算例，對推導的四類邊界條件補充方程正確性進行驗證：通過使用Matlab對算例中指定邊界條件下的補充方程所組成的非線性方程組進行數值求解，將所得到懸鏈線導入到有限元軟件Ansys中進行驗證，兩種方法所計算的水平拉力FH相對誤差在0.5%以內，所得到懸鏈線的曲線上對應取樣點的最大相對誤差在1.52 mm以內，充分證明了所推導補充方程的正確性。

參考文獻：

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[2]邱為鋼懸鏈線的幾何特征[J]物理與工程，2015.25（4）：28-29+34.

[3]王丹，劉家新一般狀態下懸鏈線方程的應用[J]船海工程，2007（3）：26-28

[4]陳常松，陳政清，顏東煌懸索橋主纜初始位形的懸鏈線方程精細迭代分析法[J]工程力學，2006（8）：62-68.

[5]王建國，逢煥平，李雪峰懸索橋線形分析的懸鏈線單元法[J].應用力學學報，2008，25（4）：626-631+735.

[6]王長昌.基于懸鏈線方程的跨接電纜長度計算[J]鐵道車輛，2013，51（6）：4-6+33+1.

[7]邢富沖懸鏈線弛垂度的計算方法[J]數學的實踐與認識，2004（11）：98-101.

作者簡介：

蔣旭，男.1985年生，工程師，研究方向為消防車輛設計開發。

項目基金：長沙市2021年重點研發計劃、平臺和人才計劃項目“高米段大型舉高消防裝備關鍵技術研究及應用”（kh2201015）FDB12A2B-77C8-4C0C-8E5C-661A959BDDB8