利用扭擺實驗探究簡諧運動規律

周子棟，邵明珍，王才林，曾孝奇，張 歡

(南方科技大學 物理系，廣東 深圳 518055)

簡諧運動是一種常見的運動形式，廣泛存在于諸多物理系統之中. 在大學物理實驗課堂上，學生多基于單擺[1]或彈簧振子[2]實驗驗證簡諧運動規律，實驗類型有限. 為了拓展學生視野，達到融會貫通的教學目標，依據力學相似性[3]設計了一種新型扭擺實驗. 與常見的扭擺實驗[4-5]相比，本實驗新增了智能手機和視頻軟件的運用，能夠測量扭擺轉角、角速度、角加速度和能量的時間演化曲線，進而驗證簡諧運動中的規律. 教學實踐表明，本實驗兼具趣味性和挑戰性，有助于加深學生對簡諧運動規律和力學相似性的理解，并提高學生數據分析、處理能力. 另外，本實驗也豐富了物理實驗與智能手機相結合的研究[6-10].

1 實驗裝置

本實驗的扭擺裝置主要包括鐵架臺、鋼絲、剛體和智能手機，智能手機置于剛體下方，用來錄制標記點轉動視頻，錄像幀率為30 fps，如圖1(a)所示. 鐵架臺的橫桿中裝有鉆頭夾，用來鎖緊鋼絲上端，如圖1(b)所示. 剛體由懸架和若干個鐵環組成，鐵環放置在懸架上面. 懸架上的鉆夾頭用來鎖緊鋼絲下端,如圖1(c)所示. 上下2個鉆夾頭之間所夾鋼絲的直徑和長度分別為(0.495±0.001) mm和(40.00±0.01) cm. 單個鐵環的質量為(415.50±0.26) g，內徑和外徑分別為(80.10±0.06) mm和(109.98±0.10) mm，轉動慣量為(961.4±1.4) kg·mm2.

圖1 實驗裝置圖

懸架的底部貼有輕薄紙片，紙片上有2個黑色標記點A和B，均位于懸架的軸線上,如圖1(d)所示. 運用2個標記點連線的斜率來推算剛體轉角.

2 實驗原理

如圖1(a)所示扭擺裝置，上下鉆夾頭之間所夾鋼絲的扭轉系數為D，懸架上鐵環的數目為n,

鐵環的總轉動慣量為In，懸架的轉動慣量為Ix.當剛體轉離平衡位置的轉角為θ時，鋼絲因扭轉形變而產生恢復力矩，其大小為Dθ，方向與剛體轉動方向相反.當阻尼作用可忽略不計時，剛體僅受恢復力矩作用，其轉動方程為[4-5]

(1)

θ=Qsin (ωt+φ),

(2)

(3)

(4)

其中,Q和φ分別表示剛體轉動的幅度和初始相位.ω表示轉動角頻率，依賴于鋼絲的扭轉系數和剛體的轉動慣量，函數關系為

(5)

在式(1)等號兩側對轉角積分，可得

Ek=-Ep+E,

(6)

其中Ek,Ep和E分別稱為扭擺的動能、勢能和機械能.由式(6)可知，扭擺在轉動過程中機械能守恒.Ep和Ek分別為

(7)

(8)

將式(2)和式(3)分別代入式(7)和式(8)，并結合式(5)，可得

(9)

(10)

由此可見，當勢能達到極小值時，動能達到極大值；反之，當勢能達到極大值時，動能達到極小值.另外，勢能和動能的演化頻率是2ω，是轉角演化頻率的2倍.

3 實驗方法

探究上述實驗原理中的的簡諧運動規律，關鍵在于追蹤剛體轉角的時間演化.為此，可在懸架的軸線上制作2個標記點A和B，如圖1(d)所示，然后根據兩點連線斜率推算出轉角為

(11)

其中，(xA,yA)和(xB,yB)分別為標記點A和B的坐標.由于剛體在轉動的同時存在小幅度擺動，為了減小其擺動幅度，應該待剛體靜止后再旋轉上方鉆夾頭來扭轉鋼絲帶動剛體轉動.另外，上述算法能夠使2個標記點的擺動成分相抵消減小實驗誤差.

目前，有多款視頻軟件可以提取標記點的坐標數據，如Tracker[11-12]，Capstone[13]和Matlab[14]等. 以Tracker為例，簡述坐標演化數據的提取方法. Tracker界面如圖2所示，其操作步驟為打開視頻文件、剪輯設定、定標、坐標軸設定、軌跡創建和自動追蹤等. 在Tracker提取出坐標演化數據后，將數據拷貝到Origin軟件，運用反正切函數計算轉角θ. 由于Origin軟件中的反正切函數值域是(-90°,90°)，為了便于數據處理，建議在錄像時控制扭擺轉動幅度并調整手機位置，使標記點運動限于Tracker界面中的第一、四象限或第二、三象限.

圖2 Tracker界面

得到轉角后，通過差分法估算角速度

(12)

其中，θ(t)和θ(t′)分別為t時刻和t′(t′>t)時刻的轉角.式(12)等號右邊分式具有平均角速度的含義，在t′-t極小時用于估算(t+t′)/2時刻的瞬時角速度.同理，可運用差分法估算角加速度

(13)

4 實驗結果

剛體轉角θ隨時間的演化曲線，以及鐵環數目n對曲線的影響，如圖3所示.轉角演化具有周期特征，轉動幅度在約30 s的時間窗口內衰減較小，而且轉動頻率隨著鐵環數目的增加而減小. 圖3中藍色實線表示擬合曲線，目標函數為式(2)，擬合結果見表1.

(a)n=0

(b)n=1

(c)n=2

(d)n=3圖3 不同鐵環數目下剛體轉角的時間演化散點圖

擬合結果說明，實驗數據和擬合曲線符合得較好，可近似認為剛體在做簡諧運動. 需要指出的是，由于實驗數據的時間分辨率約為33.3 ms，為了使數據點容易辨認，圖中僅顯示了25%的數據.

表1 不同鐵環數目下剛體轉角演化數據的擬合結果

基于表1中的擬合結果，可以探索剛體轉動角頻率ω和鐵環總轉動慣量In之間的關系，實驗結果如圖4所示.圖4中藍色實線表示擬合曲線，擬合目標函數采用式(5).從圖4中可以看出，實驗數據同理論曲線符合得較好，進一步驗證了簡諧運動規律.另外，經過擬合得到了鋼絲的扭轉系數和懸架的轉動慣量，結果分別為D=(1.007 9±0.001 4)×10-3J和Ix=(0.506 2±0.000 8)×10-3kg·m2.

最后，基于轉角演化數據，并采用差分法，可以得到角速度和角加速度隨時間的演化曲線. 然后，將轉角和角速度分別帶入式(7)和式(8)，并結合D和Ix的擬合結果，可以得到勢能和動能的演化曲線. 圖5展示了鐵環數目n=1時，扭擺轉角、角速度、角加速度、勢能、動能和機械能的時間演化散點圖. 轉角與角速度之間的演化相位差約為π/2,而與角加速度之間的演化相位差約為π；勢能和動能的演化呈現出此消彼長的關系，而且演化速度較快；在此過程中機械能基本保持不變. 上述特征驗證了理論預期. 另外，由于轉角測量存在誤差，而在運用差分法計算角速度時該誤差會放大，所以圖5(b)中出現了明顯的噪音. 該噪音在圖5(c)中更加明顯，因為角加速度的計算涉及了2次差分.

圖4 轉動角頻率和鐵環總轉動慣量的關系圖

(a)

(b)

(c)

(d)圖5 扭擺各物理量隨時間演化散點圖

5 結束語

設計了扭擺實驗用來引導學生從扭擺的角度探究簡諧運動的基本規律. 通過運用智能手機和視頻軟件，學生可以測量扭擺中多個物理量隨時間的演化曲線，進而驗證理論預期. 教學實踐表明，本實驗有助于拓展學生視野，加深學生對簡諧運動和力學相似性的理解，并鍛煉學生的數據分析及處理能力.