數形結合，攻破易混點

文／閆 燕

圓是中考考查的熱點，但這部分知識概念雜、公式多，同學們在學習時容易前后混淆。下面，老師將常見的易混點進行舉例分析，希望對同學們的學習有所幫助。

一、找不準點與圓的位置關系

例1已知一個點到圓上的點的最大距離是5，最小距離是1，則這個圓的半徑是________。

【解析】本題要分兩種情況考慮。如圖1，點C在圓外。因為AC=1，BC=5，所以AB=4，所以AO=2。如圖2，點C在圓內。因為AC=1，BC=5，所以AB=6，所以AO=3。綜上所述，這個圓的半徑是2或3。

圖1

圖2

【點評】解決本題最常見的錯誤是沒有找準這個點與圓的位置關系。如果這個點在圓上，那么點與圓上的點的最小距離是0；如果點不在圓上，那么就要注意考慮點在圓外或圓內兩種情況。

二、混淆2倍弧和2倍弦的關系

例2在同圓中，弧AB、弧CD都是劣弧，且弧AB等于2倍弧CD，則AB與2CD的大小關系是 _____。

【解析】如圖3，取弧AB的中點E，連接AE和BE。因為E是弧AB的中點，所以。又因為弧AB等于2倍弧CD，所以，所以CD=AE=BE。在△AEB中，因為AE+BE＞AB，所以2CD＞AB。

圖3

【點評】很多同學認為弧是2倍關系，那么弦也是2倍關系。解決這道題的關鍵是找到弧AB的中點，構造與弧CD相等的弧。

三、忽略兩平行弦的位置

例3設AB、CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD。若⊙O的半徑為5，AB=8，CD=6，則AB與CD之間的距離為________。

【解析】如圖4，過點O作OF⊥AB于點F，延長FO交CD于點E，連接OC、OA。因為OF⊥AB，AB∥CD，所以OE⊥CD，所以，所以AF=4，CE=3。在Rt△AFO中，因為OA=5，AF=4，所以OF=3；在 Rt△CEO中，因為OC=5，CE=3，所以OE=4。所以EF=OE+OF=7。

圖4

如圖5，過點O作OE⊥CD于點E，交AB于點F，連接OC、OA。所以EF=OE-OF=1。

圖5

綜上所述，AB與CD之間的距離為7或1。

【點評】兩條平行弦的位置可能在圓心同側，也可能在圓心異側。

四、忽略了對外心位置的討論

例4如果點O為△ABC的外心，∠BOC=70°，那么∠BAC等于________。

【解析】當外心O和點A在BC同側時，如圖 6、圖 7。因為所以∠BAC=35°。

圖6

圖7

當外心O和點A在BC異側時，如圖8。在BC所對的優弧上取點D，連接BD和CD。

圖8

因為∠BDC=∠BOC，∠BOC=70°，所以∠BDC=35°，所以∠BAC=180°-35°=145°。

綜上所述，∠BAC=35°或145°。

【點評】很多同學在解決本題時忽視外心的位置，只考慮外心O在三角形內部這一種情況。