平行四邊形的中考新動向

文／康海芯

綜觀2021年全國各地的中考數學試卷，背景鮮活、形式新穎的平行四邊形試題成了一道亮麗的風景線。為幫助同學們了解平行四邊形的考查方式和基本解題思路，現從2021年中考卷中選取幾例加以分析，供大家學習時參考。

一、學具拼接型

例1（2021·湖北荊門）如圖1，將一副三角板在平行四邊形ABCD中作如下擺放，設∠1=30°，那么∠2=（ ）。

圖1

A.55° B.65°

C.75° D.85°

【分析】依據平行四邊形的性質可知CD∥AB。要求∠2的度數，可以考慮延長等腰直角三角形的斜邊EH交AB于點N，如圖2，然后求出∠ENB的度數即可。根據等腰直角三角形的性質得∠FHE=45°，又因為∠NHB=∠FHE=45°，再根據三角形內角和定理求出∠HNB，問題得以解決。

解：如圖2，延長EH交AB于N，

圖2

∵△EFH是等腰直角三角形，

∴∠FHE=45°，

∴∠NHB=∠FHE=45°。

∵∠1=30°，

∴∠HNB=180°-∠1-∠NHB=105°。

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD∥AB，

∴∠2+∠HNB=180°，

∴∠2=75°。

故選C。

【點評】本題是一道平行四邊形與三角形學具拼接的問題，設計新穎，巧妙地將特殊三角形與平行四邊形進行結合，考查平行四邊形的性質、等腰直角三角形的性質。解決本題的關鍵是能根據平行四邊形的性質得出CD∥AB，再利用平行線的性質求解。

二、辨析正誤型

例2（2021·河北）如圖3，?ABCD中，AD＞AB，∠ABC為銳角。要在對角線BD上找點N、M，使四邊形ANCM為平行四邊形，現有圖4中的甲、乙、丙三種方案，則正確的方案（ ）。

圖3

圖4

A.甲、乙、丙都是

B.只有甲、乙才是

C.只有甲、丙才是

D.只有乙、丙才是

【分析】方案甲，連接AC，可以利用“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”來證明；方案乙，先用“AAS”證明△ABN與△CDM全等，然后可利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來證明；方案丙，先用“ASA”證明△ABN與△CDM全等，然后可利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來證明。

解：方案甲，連接AC，如圖5所示。

圖5

∵四邊形ABCD是平行四邊形，O為BD的中點，

∴OB=OD，OA=OC。

∵BN=NO，OM=MD，

∴NO=OM，

∴四邊形ANCM為平行四邊形。

方案甲正確。

方案乙，∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABN=∠CDM。

∵AN⊥BD，CM⊥BD，

∴∠ANB=∠CMD。

在△ABN和△CDM中，

∴△ABN≌△CDM（AAS），

∴AN=CM。

又∵AN∥CM，

∴四邊形ANCM為平行四邊形。

方案乙正確。

方案丙，∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠BAD=∠BCD，AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABN=∠CDM。

∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，

∴∠BAN=∠DCM。

在△ABN和△CDM中，

∴△ABN≌△CDM（ASA），

∴AN=CM，∠ANB=∠CMD，

∴∠ANM=∠CMN，

∴AN∥CM，

∴四邊形ANCM為平行四邊形。

方案丙正確。故應選A。

【點評】本題是一道平行四邊形方案設計問題，圖文并茂，直觀形象，利于理解，通過辨別三個方案是否正確，較好地考查了綜合運用全等三角形、平行四邊形的性質和判定來解決問題的能力。

三、條件選擇型

例3（2021·江蘇宿遷）在①AE=CF；②OE=OF；③BE∥DF這三個條件中任選一個補充在下面橫線上，并完成證明過程。

已知，如圖6，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD相交于點O，點E、F在AC上，_______（填寫序號）。

圖6

求證：BE=DF。

【分析】因為四邊形ABCD是平行四邊形，可知AC與BD互相平分。要證明BE=DF，可以考慮利用平行四邊形BEDF的性質來證明。而要證明四邊形BEDF是平行四邊形，方法不唯一，可以考慮加上條件OE=OF，問題即可得解。

解：選②。如圖7，連接BF、DE。

圖7

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BO=DO。

∵OE=OF，

∴四邊形BEDF為平行四邊形，

∴BE=DF。

【點評】本題是一道平行四邊形條件開放性問題，答案不唯一，解題門檻低，較好地考查了靈活選擇判定方法的能力。解決本題的關鍵是依據題中已知條件正確選擇最恰當的證明方法。