“變換”視角下的例題探析

文／孫 凱

初中數學教材上的例題有著非常重要的學習價值。但在平時的學習中，受到課堂時間的限制，我們可能只解決了例題中提出的問題，對于例題背后蘊涵的價值挖掘不夠，造成了寶貴資源的浪費。因此，同學們可以從“變換”的視角對例題進行進一步探析。

一、改變某個條件

改變某個條件是指將例題中的某個關鍵條件變更為另一個條件，在新的條件下探析結論是否成立，以實現對知識的橫向關聯，加深對所學知識的理解。

例1（蘇科版數學教材八年級下冊第68頁例2）已知：如圖1，在?ABCD中，點E、F分別在AD、BC上，且AE=CF。求證：四邊形BFDE是平行四邊形。

圖1

【分析】例題中給出的條件是——四邊形ABCD是平行四邊形和AE=CF，根據平行四邊形的性質我們可以獲得更多的條件，那么哪些條件可以用來判定四邊形BFDE是平行四邊形呢？這就涉及判斷的依據問題。思路1：由?ABCD、AE=CF，證明DE=BF，DE∥BF，根據“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”實現證明的目的（證明過程見教材）；思路2：證明△ABE≌△CDF，從而證得BE=DF，易證DE=BF，根據“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”從而證得結論。

【變換】已知：如圖2，在?ABCD中，BE、DF分別平分∠ABC、∠ADC，與AD、BC分別交于點E、F。求證：四邊形BFDE是平行四邊形。

圖2

【評析】將例題中的條件“AE=CF”變換為“BE、DF分別平分∠ABC、∠ADC”，生成了一個新的問題。根據題目中的條件，有不同的思路證明四邊形BFDE是平行四邊形，其中根據定義“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”實現證明的方法比較簡捷。

二、條件結論互換

條件結論互換是指將例題中的條件與結論互相替換，由此生成一個新的問題情境，新問題與原問題之間是一種“互逆”的邏輯關系。

例2（蘇科版數學教材八年級下冊第69頁例3）已知：如圖3，在?ABCD中，點E、F分別在AC上，且AE=CF。求證：四邊形EBFD是平行四邊形。

圖3

【分析】例題中給出的條件是——四邊形ABCD是平行四邊形和AE=CF，由此我們聯想到對角線互相平分可以判定平行四邊形，即連接BD，根據“平行四邊形的對角線互相平分”，由AE=CF，易證四邊形EBFD的對角線互相平分，實現證明的目的（證明過程見教材）。

【變換】已知：如圖3，在四邊形ABCD中，E、F是AC上兩個不同的點，四邊形EBFD是平行四邊形，且AE=CF。求證：四邊形ABCD是平行四邊形。

【評析】將例題中的條件與結論互換，形成新的問題情境。新問題和例題是一種互逆的關系，解題思路基本一致，都是通過構造“對角線互相平分”來實現證明。這種變換處理實現了正向和逆向的雙向探究，有利于更深入地理解平行四邊形的判定。

三、強化或弱化條件

強化或弱化條件是指在例題原有條件基礎上增加或減少一個條件，以豐富例題內涵的一種變換探究的方法。

例3（蘇科版數學教材八年級下冊第87頁例題）已知：如圖4，在四邊形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點。求證：四邊形EFGH是菱形。

圖4

【分析】例題主要研究的是四邊形的四邊中點依次連接所形成四邊形（簡稱“中點四邊形”）的形狀，根據三角形中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半”，可證四邊形EFGH為平行四邊形，再由AC=BD，證得四邊形EFGH為菱形（證明過程見教材）。

【變換1】已知：如圖5，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。

圖5

【變換2】已知：如圖6，在四邊形ABCD中，AC=BD且AC⊥BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點。求證：四邊形EFGH是正方形。

圖6

【評析】變換1是對例題中的條件進行弱化，減少條件“AC=BD”，探究任意四邊形的中點四邊形的形狀特征；變換2是對例題中的條件進行強化，增加了條件“AC⊥BD”，探究特殊四邊形（對角線互相垂直且相等）的中點四邊形的形狀特征，最終形成完整的探究結論。