全面思考 深度理解

文／胡永強

矩形、菱形、正方形是特殊的平行四邊形，是平面幾何的精華，屬于中考重點考查對象，會與三角形等知識相互融合，設計涵蓋線段、角度及面積等在內的計算類問題和推理證明類問題。解決這類問題通常需要用到分類討論、數形結合、轉化等數學思想方法。

一、沒有分類，造成漏解

例1以正方形ABCD的邊AD為邊長作等邊△ADE，則∠BEC的度數是________。

【錯解】30°。

【錯因分析】分類是無圖問題的關鍵考點。在解答過程中，如果忽略分類討論，很容易造成漏解，從而出錯。

【正解】如圖1，當等邊△ADE在正方形ABCD外部時，∠BEC＝30°；如圖2，當等邊△ADE在正方形ABCD內部時，∠BEC＝150°。故答案為30°或150°。

圖1

圖2

二、混用知識，造成錯解

例2如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，D是AB上一點，DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F，連接EF，則EF的最小值為 cm。

圖3

【錯解】2.5。

【錯因分析】有的同學誤用了中位線定理，以為當EF為△ABC的中位線時，其長度最短。

【正解】如圖4，連接CD。

圖4

三、判斷不到位，造成結論不準確

例3如圖5，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC，交BE的延長線于點F，連接CF。

圖5

（1）求證：△AEF≌△DEB；

（2）判斷四邊形ADCF的形狀，并說明理由。

【錯解】第（1）問出錯很少，但第（2）問不少同學認為四邊形ADCF是平行四邊形。

【錯因分析】由第（1）問容易得出AF=BD，再結合“D是BC的中點”這一條件可以得出AF=DC。此刻，許多同學結合AF∥BC這一條件，利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”這條判定定理，就判斷四邊形ADCF是平行四邊形，忽略了直角三角形這個重要條件，造成判斷不到位、結論不準確。

【正解】證明：（1）略。

（2）四邊形ADCF是菱形。理由如下：

由△AEF≌△DEB，得AF=DB。