中位線在解決平行四邊形問題中的應用

文／孫海鋒

三角形的中位線定理是平行四邊形章節的“壓軸”內容，集中體現了兩條線段之間的數量關系、位置關系。下面，老師結合平行四邊形與中位線的綜合題進行分析，探究解決這類問題的一般方法，供同學們參考。

一、根據概念，聯系性質

例1如圖1，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，點E是邊AD的中點，連接OE。若OA=1，△AOE的周長等于5，則平行四邊形ABCD的周長等于 。

圖1

【解析】根據平行四邊形的對角線互相平分，可知點O是對角線AC、BD的中點。結合條件“點E是邊AD的中點”，可得OE是△ACD的中位線。結合中位線的性質，得△ACD的周長為10。由條件“OA=1”，可將△ACD的周長轉化為兩邊AD、CD的和，從而求出平行四邊形ABCD的周長為16。

【點評】依據平行四邊形的性質和已知條件發現OE是△ACD的中位線是解決問題的關鍵。

二、結合條件，構造圖形

例2如圖2，平行四邊形ABCD的頂點C在等邊△BEF的邊BF上，點E在AB的延長線上，點G為DE的中點，連接CG。若AD=3，AB=CF=2，則CG的長為 。

圖2

【解析】如圖3，延長DC交EF于點M。根據平行四邊形與等邊三角形的性質，可證△CFM是等邊三角形，EF=BF=BC+CF=5，而CM=MF=CF=2，可得C、G是DM、DE的中點。根據中位線的性質，可得出CG=

圖3

【點評】本題考查了平行四邊形的性質、等邊三角形的性質、中位線等知識點。延長DC交EF于點M，利用平行四邊形、等邊三角形性質求出相應的線段長，證出CG是△DEM的中位線是解題的關鍵。

平行四邊形的性質比較豐富，其邊、角、對角線等都具有一定的數量關系或位置關系。在解決問題時，首先分析條件是指向邊、角，還是指向對角線，然后結合該元素具有的特征嘗試解決問題。如果條件中給出的中點不止一個，解題時應有意識地尋找是否存在中位線；若條件中只有一個中點，可以嘗試依據圖形特征構造中位線解決問題。