巧同構(gòu) 妙分離
——一道不等式恒成立題的破解

福建省莆田第一中學(xué)（351100） 林 敏

含參不等式恒成立問題是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一大重點(diǎn)，它往往綜合函數(shù)、不等式、方程等相關(guān)知識(shí)，注重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)，以及函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等。其以覆蓋知識(shí)點(diǎn)多、綜合性強(qiáng)、解法靈活等特點(diǎn)而備受命題者青睞。含參不等式恒成立問題切入點(diǎn)不明顯，讓人無從下手，破解的實(shí)質(zhì)是結(jié)合題目條件對(duì)恒成立不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，合理轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式、函數(shù)或方程問題后，根據(jù)相應(yīng)的不等式、函數(shù)或方程問題來分析與處理。

一、題目呈現(xiàn)

【題目】（清華大學(xué)2020年1月中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測(cè)試文科數(shù)學(xué)試卷第12 題）已知不等式x+alnx+≥xa對(duì)x∈(1,+∞)恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（ ）。

二、題目解析

此題涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪混合型函數(shù)所對(duì)應(yīng)的不等式恒成立，在此條件下確定對(duì)應(yīng)參數(shù)的取值范圍問題。知識(shí)融合度大，能力要求多，題目難度大，對(duì)考生的數(shù)學(xué)基本知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力等各方面的要求比較高。

該題背景創(chuàng)新，設(shè)計(jì)新穎，把指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)這三類基本初等函數(shù)加以巧妙融合，綜合不等式恒成立這一個(gè)熱點(diǎn)加以合理構(gòu)造，把函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)有機(jī)交匯，借助代數(shù)運(yùn)算、不等式性質(zhì)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等相關(guān)方法來轉(zhuǎn)化與處理，充分體現(xiàn)高考在知識(shí)交匯處命題的指導(dǎo)思想。

在具體破解題目時(shí)，可以結(jié)合參數(shù)的不同取值情況進(jìn)行分類討論，也可以利用同構(gòu)函數(shù)或重要結(jié)論，運(yùn)用分離參數(shù)法分析與處理。合理化歸與轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)相應(yīng)函數(shù)最值問題的確定，進(jìn)而得以求解相關(guān)參數(shù)的取值問題。

三、問題破解

方法1：分類討論法

解析：由x+alnx+≥xa，可 得x+e-x≥xaalnx，即e-x-ln e-x≥xa-lnxa，

設(shè)函數(shù)f(t)=t-lnt，t∈(0,+∞)，

所以e-x-ln e-x≥xa-lnxa等價(jià)于f(e-x)≥f(xa)，x∈(1,+∞)，

而f′(t)=1-，由f′(t)=0可得t=1，

則知函數(shù)f(t)在（0，1）上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

所以f(t)min=f(1)=1，

而x∈(1,+∞)，則有0 ＜e-x＜e-1=

（1）當(dāng)a=0 時(shí)，xa=1，不等式f(e-x)≥f(xa)恒成立，因而a的最小值小于等于0；

（2）當(dāng)a＜0時(shí)，0 ＜xa＜1，

而0 ＜e-x＜1，f(t)在（0，1）上單調(diào)遞減，

由f(e-x)≥f(xa)，可得e-x≤xa，整理可得-x≤alnx，則有a≥

設(shè)函數(shù)g(x)=，x∈(1,+∞)，求導(dǎo)有g(shù)′(x)=，由g′(x)=0可得x=e，

當(dāng)x∈(1,e) 時(shí)，g′(x) ＞0，g(x) 單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí)，g′(x) ＜0，g(x)單調(diào)遞減；

所以g(x)max=g(e)=-e，即a≥-e，亦即實(shí)數(shù)a的最小值為-e，故選C。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)題目中恒成立的不等式加以等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)f(t)=t-lnt，通過求導(dǎo)并分析函數(shù)單調(diào)性與確定最值，再對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論以及深入分析函數(shù)的單調(diào)性，得到不等式-x≤alnx恒成立，進(jìn)而通過分離參數(shù)，并結(jié)合函數(shù)的構(gòu)造，以及函數(shù)的單調(diào)性與最值的求解來確定參數(shù)的取值范圍。這里分離參數(shù)的方式多樣，還可以分離為≥-a或等不同形式，都能達(dá)到目的。

方法2：同構(gòu)+分離參數(shù)法

解析：由x+alnx+≥xa，可得x+e-x≥xa-alnx，即x+e-x≥xa+lnx-a，

設(shè)函數(shù)f(x)=x+e-x，x∈(1,+∞)，則f(lnx-a)=lnx-a+e-lnx-a=lnx-a+xa，

所以x+e-x≥xa+lnx-a等價(jià)于f(x) ≥f(lnx-a)，

而f′(x)=1-e-x＞0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，

所以x≥lnx-a=-alnx，分離參數(shù)可得a≥

設(shè)函數(shù)g(x)=，x∈(1,+∞)，則g′(x)=

令g′(x)=0，解得x=e，

當(dāng)x∈(1,e) 時(shí)，g′(x) ＞0，g(x) 單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí)，g′(x) ＜0，g(x)單調(diào)遞減；

所以g(x)max=g(e)=-e，即a≥-e，亦即實(shí)數(shù)a的最小值為-e，故選C。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)題目中恒成立的不等式加以等價(jià)變形，使得不等號(hào)兩邊呈現(xiàn)出形式完全一樣的函數(shù)結(jié)構(gòu)，利用函數(shù)f(x)=x+e-x進(jìn)行同構(gòu)處理，并深入分析函數(shù)的單調(diào)性，得到不等式x≥-alnx恒成立，進(jìn)而通過分離參數(shù)，并結(jié)合函數(shù)的構(gòu)造，以及函數(shù)的單調(diào)性與最值的求解來確定參數(shù)的取值范圍。

方法3：結(jié)論+分離參數(shù)法

解析：由x+alnx+≥xa，可 得x+alnx+≥elnxa，即x·ex+a·exlnx+1 ≥ex·elnxa，

整理可得x·ex+a·exlnx+1 ≥ex+alnx，

根據(jù)重要結(jié)論“ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立”，可得ex+alnx≥x+alnx+1，當(dāng)且僅當(dāng)x+alnx=0時(shí)等號(hào)成立，

則有x·ex+a·exlnx+1 ≥ex+alnx≥x+alnx+1，整理可得alnx(ex-1) ≥x(1-ex)，

而x∈(1,+∞)，則有ex-1 ＞0，lnx＞0，

則有alnx≥-x，分離參數(shù)可得a≥

設(shè)函數(shù)g(x)=，x∈(1,+∞)，則g′(x)=

令g′(x)=0，解得x=e，

當(dāng)x∈(1,e) 時(shí)，g′(x) ＞0，g(x) 單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí)，g′(x) ＜0，g(x)單調(diào)遞減；

所以g(x)max=g(e)=-e，即a≥-e，亦即實(shí)數(shù)a的最小值為-e，故選C。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)題目中恒成立的不等式加以等價(jià)變形，根據(jù)重要結(jié)論“ex≥x+1”加以過渡與轉(zhuǎn)化，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)加以變形與分析，得到不等式x≥-alnx恒成立，進(jìn)而通過分離參數(shù)，并結(jié)合函數(shù)的構(gòu)造，以及函數(shù)的單調(diào)性與最值的求解來確定參數(shù)的取值范圍。

四、變式拓展

探究1：保留題目所有條件，改變問題的設(shè)問方式，改原來確定“實(shí)數(shù)a的最小值”為確定“實(shí)數(shù)a的取值范圍”，從另一個(gè)角度來合理設(shè)問，得到以下對(duì)應(yīng)的變式問題。

變式1：已知不等式x+alnx+≥xa對(duì)x∈(1,+∞)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）。

答案：C。該問題的具體解析過程與原問題的解析過程一致，這里就不多加以敘述。

探究2：保留題目的創(chuàng)新情境，改變條件中恒成立的不等式的給出方式，以類似的不等式形式來加以變式與拓展，得到以下相應(yīng)的變式問題。考查的知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)以及試題難度基本相當(dāng)。

變式2：已知不等式eax+lnx≥(a+1)x對(duì)x∈(1,+∞)恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為（ ）。

解析：函數(shù)y=ex-x在(0,+∞)上為增函數(shù)，而原不等式即為eax-ax≥x-lnx=elnx-lnx，則知ax≥lnx，即a≥

令函數(shù)h(x)=，則h′(x)=

令h′(x) ＞0，解得0 ＜x＜e；令h′(x) ＜0，解得x＞e，

故函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,e)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(e,+∞)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)h(x)的最大值是h(e)=，即a≥故選A。

探究3：保留題目的創(chuàng)新情境，從另一個(gè)層面改變恒成立的不等式的給出方式，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍，得到以下對(duì)應(yīng)的變式問題。考查的知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)以及試題難度基本相當(dāng)。

變式3：已知關(guān)于x的不等式-x-alnx≥1對(duì)于任意x∈(1,+∞)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）。

A.(-∞,1-e] B.(-∞,-3]

C.(-∞,-2] D.(-∞,2-e2]

解析：由題意可知，分離參數(shù)a≤令函數(shù)f(x)=

由題意可知a≤f(x)min，由于f(x)=

又因?yàn)橹匾坏仁絜x-1 ≥x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，

所以f(x)=當(dāng)且僅當(dāng)x-3lnx=0時(shí)等號(hào)成立，

所以函數(shù)h(x)的最大值是h(e)=方程有解，a≤-3，故選B。

五、解后反思

解決含參不等式恒成立問題，經(jīng)常要對(duì)恒成立的不等式加以移項(xiàng)、恒等變換等等價(jià)變形，借助不等式左右兩邊呈現(xiàn)出形式、函數(shù)類型完全一樣的狀態(tài)，進(jìn)而構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)，結(jié)合求導(dǎo)等方法來判定對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性后再分析與解決，這就是處理此類問題的同構(gòu)思維。運(yùn)用同構(gòu)思維法破解含參不等式恒成立問題時(shí)，關(guān)鍵在于突破命題者巧妙設(shè)置的原先形式明顯、規(guī)劃整齊的式子，而在題目條件中所顯示的是打亂后重新排列的看似雜亂無章的式子，這也是問題的切入點(diǎn)所在，可以很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力。當(dāng)然也可以借助其他思維方式來破解此類問題，無論采用哪種破解策略、何種解題方法來處理，都離不開函數(shù)與方程思想的運(yùn)用，都離不開邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算，同時(shí)還需借助函數(shù)、不等式、方程之間的相互轉(zhuǎn)化與應(yīng)用等。