一次同課異構教研活動的思考
——“等比數列的前n項和”教學點評

四川宜賓市敘州區第二中學校（644600） 康中君

一、課例呈現

第一位教師的教學簡況：

1.復習回顧

（1）等比數列的定義；

（2）等比數列的通項公式。

2.情境引入

引入有關古印度舍罕王與宰相西薩·班·達依爾的國際象棋故事。

引導學生分析問題，發現問題：

由于棋盤每一格的麥粒數都是前一格的2 倍，共有64 格，則每一格所放的麥粒數依次為1,2,22,…,263，S64=1+2+22+…+263。這個算式的結果是多少呢？

3.知識講解

探究等比數列的前n項和公式。

4.典例精講

［例1］（1）求下列等比數列的前8項和。

（2）欣賞詩詞，解答問題。

遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，

共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？

（3）求1+a+a2+…+an（a≠0）。

5.小結

等比數列的前n項和公式。

方法：錯位相減法。

第一步，等式兩邊同乘公比。

第二步，錯位、作差。

第三步，化簡得結論。

6.作業布置

已知Sn是等比數列{an}的前n項和，S4=5S2，求的值。

第二位教師的教學簡況：

1.新課引入

（文字敘述同樣的國際象棋故事）

問題1：國王能實現他的諾言嗎？

追問：上述問題本質上是屬于數列中的什么問題？（數列求和，等比數列的前n項和）

2.概念形成

問題2：在解決等差數列的前n項和問題時，通過什么方法來實現運算方式的轉化？最后運算簡化到什么程度？

問題3：求等比數列的前n項和時，你希望通過運算方式的轉化后把運算簡化到什么程度呢？

簡化到只要給出首項a1，末項an或者公比q，以及項數n，即可求和。

問題4：求等比數列的前n項和時，你能否找到一種方法來轉化運算方式，從而簡化運算？

追問1：等式右邊求和運算困難的原因是什么？（省略號的存在，項太多）

追問2：等式右邊的項太多，怎樣才能使其變少？（轉化運算方式，消項）

追問3：觀察等式右邊，任意相鄰兩項之間有什么關系？（前一項乘以q得后一項）

追問4：只要找到相同的項作差就能消項，怎樣才能找到相同的項？

3.概念深化

問題5：在消項的過程中，等式兩邊必須乘以公比q嗎？（可同乘以

問題6：等比數列前n項和Sn與前n-1 項和Sn-1有什么關系？

等比數列的前n項和公式：

問題7：你能通過等比數列的前n項和公式求出國王應該賞賜的麥粒數嗎？

注意：

（1）q=1與q≠1兩種情況；

（2）公式Sn=有4個量；

（3）n是項數而非指數。

4.應用探索

［例1］同第一位教師應用的例1。

［例2］某商場今年銷售計算機5000 臺。如果平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10%，那么從今年起，大約幾年可使總銷售量達到30 000臺？（結果保留到個位）

［例3］如圖1，為了估計函數y=9-x2在第一象限的圖像與x軸，y軸圍成的區域的面積X，把x軸上的區域[ ]0,3 分成n等分，從各分點作y軸的平行線與函數圖像相交，再從各交點向左作x軸的平行線，構成（n-1）個矩形，下面的程序用來計算這（n-1）個矩形的面積的和S。

圖1

（1）程序中的AN，SUM 分別表示什么？為什么？

（AN 表示第k個矩形的面積；SUM 表示前k個矩形的面積的和。）

（2）請根據程序分別計算當n=6,11,16 時，各個矩形的面積的和。

5.小結

問題8：這節課主要學習了什么內容？

（1）“錯位相減法”在簡化運算時的操作方法；

（2）用“錯位相減法”推導出等比數列的前n項和公式；

（3）等比數列的前n項和公式的兩種形式；

（4）計算機循環結構可用于數列描述，也可用于數列求和；

（5）數學方程思想，無限逼近的思想。

二、課例對比

（一）課堂結構相同

兩位教師都是采用“情境引入課題、推導公式、應用知識、課堂小結、布置作業”這樣的教學流程。作為常規課例展示，這樣的安排沒有特別出彩，中規中矩。學生能在情境中抽象出數學概念，積累從具體到抽象的活動經驗。情境引入后的問題分析，可以認為是發現問題，S64=1+2+22+…+263這個算式的結果是多少？是提出問題，推導結果的過程是分析問題，得到求和公式再回歸問題本身是解決問題。這里展示了“四能”要求，對學生的數學學習是一種示范。用故事引入，可能是很多教師的首選。但是，從“能運用等差數列、等比數列解決簡單的實際問題和數學問題，感受數學模型的現實意義與應用”來看，也可以選擇如儲蓄方面的例子。

（二）內容大同小異

兩位教師在教材內容選擇上基本相同，只是對例題的使用思考不同。第一位教師只選擇了例1，第二位教師選擇了例1，一句話帶過例2，重點探究例3。新課標要求“領會教材的編寫意圖及編寫特點，體悟教材的呈現方式、教學價值及評價功能，在此基礎上，根據不同的內容、學習任務和課型，結合自身特點和學生學習行為及現狀的差異性，對教材進行有必要的重構”。結合學生實際，本節課在推導公式之后，注重求和公式的應用，結合等比數列通項公式，扎實進行基本量的計算才是重點要做的工作。例3 對數列求和有體現，但并非等比數列求和；例3 的呈現包含了程序，這是學生沒有接觸過的內容，因此對例3的使用要有變化；例3展示了求曲邊三角形面積的一種思想——極限思想，高一學生理解有難度，需要教師想辦法展現數學知識、方法和思想與實踐應用的緊密聯系。根據新課標“在教學中要充分體現數學來源于實際、應用于實際，突出數學的綜合性和應用性”。如果不用例3，而用例2會更好。

（三）措施基本相同

兩位教師都使用課件，都有學生動手、師生互動。在公式的推導過程中，第一位教師使用了視頻，學生通過觀看視頻進行學習，有新奇性。為了直觀展示例3 中n的變化發現面積特點，第二位教師用了一個圖形程序。新課標強調，課堂要充分有效地運用圖表、模型等教具、學具，增加直觀性，根據學生的學習需要適度使用現代教育技術，提高課堂教學效率。在學法方面，引導學生主動思考、積極提問和實踐探究，促進學生思維發展，激發學生的創新意識，兩位教師都做得很好，都詳細講解了例1 的第②小題。筆者認為還是要求學生自己完成或合作完成比較好。

（四）教學過程有差別

兩位教師的課堂結構、教學內容選擇基本相同，教學過程有差別，主要反映在課堂推進方面，這里只對比公式的推導。第一位教師基本是教材的原裝呈現，在樹立“用教材教而不是教教材”觀念方面做得不夠。第二位教師通過問題2到問題6以及4 個追問使得概念的生成、公式的推導非常精彩。這樣顯然有利于促進學生善于觀察、大膽猜想、嚴密思考，形成良好的數學學習習慣，有利于提升學生的數學關鍵能力和數學素養。

要提升學生的數學關鍵能力和數學素養，教師就要在教材的基礎上，挖掘素材內涵，從多角度、多層次進行觀察、思考，無論是解決問題的多種方法展示，還是展示解決問題的思維方式，都要精心設計。設問、追問也是培養學生數學學習方法、思維方式和思維習慣的好方式，第二位教師在這些方面做得比較好。

（五）目標達成有異

《普通高中數學課程標準（2017 年版2020 年修訂）》對“等比數列”做了如下描述：

（1）通過生活實例，理解等比數列的概念和通項公式的意義。

（2）探索并掌握等比數列前n項和公式，理解等比數列的通項公式與前n項和公式的關系。

（3）能在具體的問題情境中發現數列的等比關系，并解決問題。

（4）體會等比數列與指數函數的關系。

從“探索并掌握等比數列前n項和公式”來看，兩位教師都探索了公式的推導，學生掌握等比數列前n項和公式的應用，也有例題、練習和作業支撐。第一位教師用了“燈塔”一例，既應用了等比數列前n項和公式，又是對中華文化的一次展示，可以培養學生的文化自信，非常不錯。但是第一位教師沒有深層次展示等比數列的通項公式與前n項和公式的關系，第二位教師在這方面就做得很好。數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現。第二位教師通過多種轉化推導出等比數列前n項和公式，很好地突破了本節的難點，增加了思維量，對學生理性思維的培養有極大的幫助。相比較而言，第一位教師在數學學科核心素養的培養方面稍顯不足。

三、教學反思

《普通高中數學課程標準（2017 年版2020 年修訂）》中指出，情境創設和問題設計要有利于發展數學學科核心素養；數學文化應融入數學教學活動；既要重視教，又要重視學，促進學生學會學習；重視信息技術的運用，實現信息技術與數學課程的深度融合。《四川省普通高中數學學科課堂教學基本要求》明確要求融入思想方法。要做到這些，教師要深入領悟課程標準，積極積累數學素材，采眾家之長為己所用。

認真備課是確保課堂教學成功的首要環節。備課要思考：預習什么內容？預習時做哪些題目？要達到什么預習效果？如何確定教學目標？采用什么樣的學法和教法？如何有效實現教學目標？引入情境如何有效提出問題？如何體現數學來源于實際生活？如何包含數學文化？如何體現數學的核心價值？要開展什么教學活動，這些活動如何體現學生自主學習？要培養哪些核心素養，如何落實這些核心素養？如何組織語言精練表達？教學內容的選擇怎樣符合學生實際？如何實現知識應用？如何體現數學思想方法？采用什么方式檢查學習效果？如何優化作業設計？如何進行學困生輔導？怎樣實施課堂評價與課后評價？

總之，在育人方式改革的浪潮中，我們還在路上。