讓學生在游戲中感悟概率的內涵

徐亞艷

[摘 要]在課堂中，教師作為探究活動的策劃者、引導者，應從動手實踐和體驗認知環節切入，引導學生對活動結果進行猜想、驗證、總結，并提煉出數學規律，掌握知識的概念，讓學生的數學活動能力和歸納能力得到提高，學習目標得以實現。

[關鍵詞]概率;抓球;可能性

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）05-0075-03

教師出示圖1并用中秋節話題引入：“中秋節快到了，某商場舉行‘迎中秋抽大獎’活動，購物金額達200元的消費者有機會參與轉圓盤抽獎活動。指針落在矩形區域，就能獲得月餅一盒。預測一下中獎的概率。”學生竊竊私語，片刻之后接連舉手。一個學生說：“不可能中獎，因為指針只能落在圓盤中，無法落在矩形中。”

興趣是最好的老師。一開始，教師就用有意思的“轉圓盤”游戲吸引學生的注意，借助生活情境讓學生用“可能、不可能”來表述事件發生的概率，鼓勵學生大膽發言，說出自己的第一想法，為后續學習打好基礎。

一、合作探究

師（出示圖2）：探究一下另一種抽獎方案，用這樣的圓盤抽獎，參與抽獎的消費者會有機會得到月餅嗎？指針有可能落在哪個區域？

生1：有2種可能，可能落在藍色區域或黃色區域。

師：指針落在哪個區域的概率大？落在哪個區域的概率小？

生2：指針落在藍色區域的概率大，落在黃色區域的概率小。

師：你能說明理由嗎？

生2：因為藍色區域面積大，黃色區域面積小，指針落在藍色區域的概率就比較大。

教師板書：（1）結果有2種可能;（2）指針落在藍色區域的概率大，落在黃色區域的概率小。

師：你觀察得真細致，分析得頭頭是道。（板書：概率）

師（出示圖3、圖4、圖5）：還有三種抽獎方案，同學們分別說一說在這些方案中，指針落在哪個區域的概率大？落在哪個區域的概率小？解釋一下原因。? ? ?

（學生以小組為單位自主探究，并派代表發言）

生3：圖3中藍色、黃色區域面積各占一半，這樣指針落在藍色區域和落在黃色區域的概率相等。

生4：圖4中藍色區域的面積比黃色區域的面積大，這樣指針落在藍色區域的概率大一些。

生5：圖5中藍色區域面積最小，指針落在藍色區域的概率最小。

師：如果你是消費者，你認為用哪個圓盤抽獎對你最有利？（指針落在藍色區域即為中獎）

生（齊）：選圓盤4（圖4）。

師：概率大小與面積大小有什么關系？

生6：哪種顏色區域的面積大，指針落在那個區域的概率就大。

師：是的，在轉圓盤抽獎活動中，哪種顏色區域的面積大（板書：面積大），指針落在那個區域的概率就大（板書：概率大）;哪種顏色區域的面積小（板書：面積小），指針落在那個區域的概率就小（板書：概率小）;面積相同，顏色不同的區域，指針落在哪個區域的概率都相等（板書：相等）。

師：下面我們就一起來通過抓乒乓球的游戲來檢驗一下上述結論是不是具有普遍性。

【評析】

上述環節，學生借助已有經驗，經過簡單的分析、推測就概括出了一般規律，關鍵是能夠說出心中所想。

這種依據面積來判斷概率大小的問題就是概率論中的“古典概型”問題。指針落點的所有可能情況都無法統計清楚，也無法用具體數字表示，也就是這個事件不是由若干個可計數的基本獨立事件組成。這種“古典概型”問題符合直觀判斷和合理猜想的教學需要。學生剛開始學習“可能性”時，不懂得獨立重復事件的數量以及事件總和與概率的數量關系，而且這種關系也很隱蔽，必須通過大量獨立重復實驗，統計出各事件發生次數與實驗總數的比才能求出，實驗次數越多，得出的結果越準確。如將一枚硬幣向上拋，落下后正面朝上和反面朝上的可能性都是[12]，[12]這個數據需要重復多次實驗才能歸納推知。若拋100次硬幣，統計發現正面朝上和反面朝上的情況幾乎各占一半（也許存在些微誤差，但是基本情況不會變），這是因為拋一枚硬幣只有正面朝上、反面朝上兩個平等的獨立事件，事件總和為2，而其中一類事件數量為1，因此某一事件發生的概率為[12]。然而這個理論對學生來說很難理解，所以教師先用無法計算獨立事件數量的“古典概型”問題導入“可能性”，不但降低了授課難度，還讓學生通過觀察、推理發現概率的計算與各類事件體量的大小有關，為后來的“可能性”定量分析打下基礎。

二、抓取乒乓球游戲

師：把5個黃色乒乓球放入黑色布袋，然后任意抓取一個，猜猜它的顏色。

生1：必然是黃色。

師：是嗎？將它放回后再抓取一個呢？會抓出白色乒乓球嗎？

生2：不可能。

師：憑什么斷言抓取到的是黃色乒乓球呢？

生3：因為袋子里只有黃色乒乓球。

師（出示圖6）：這里有5個黑色布袋，各黑色布袋里放乒乓球的情況如下。

師：大家猜測一下，若從每個黑色布袋里任取一個乒乓球，各乒乓球可能是什么顏色？請記錄自己猜測的結果。

（學生猜測）

師：我發現大家都有自己的判斷。想不想證實一下自己的猜想？

生（齊）：想。

師：現在，各小組按圖擺出5個黑色布袋，各組組員輪流抓取乒乓球，一次只能抓取一個。抓乒乓球前先搖勻，取出乒乓球查看后再放回布袋，下一位同學繼續抓取。請小組長記錄各組員抓取乒乓球的情況。

（小組探究）

師：各組觀察實驗記錄單，概括規律。

生4：我從第一袋里抓取到的乒乓球必定是黃色乒乓球。

生5：我從第二袋里抓取到的乒乓球必定是白色乒乓球。

生6：我推測從第三、四、五袋里抓取乒乓球，黃、白兩種顏色的乒乓球都有可能被抓到。

師：那么，在第三、四、五袋中，從哪個布袋里抓取到白色乒乓球的概率最大？

生7：第五袋，因為在第五袋中，白色乒乓球的數量遠多于黃色乒乓球的數量。

師：白色乒乓球的數量多就表明抓取到白色乒乓球的概率——

生（齊）：大！

師：概率的大小與什么有關？

生8：我認為概率的大小與探究對象數量的多少有關。

師：當黑色布袋里只有一種顏色的乒乓球時，抓取到的一定是這種顏色的乒乓球，不可能是其他顏色的乒乓球。當黑色布袋里既有黃色乒乓球又有白色乒乓球時，抓取到的可能是黃色乒乓球，也可能是白色乒乓球。如果白色乒乓球的數量比較多，那么抓取到白色乒乓球的概率大（板書：概率大）。如果白色乒乓球的數量比較少，那么抓取到白色乒乓球的概率就小（板書：概率小）。

【評析】

本環節教師設計了“猜想”“抓取”的活動，首先調動學生猜想的熱情，喚起學生的知識記憶，激發他們的學習興趣;然后通過小組合作，使學生認識到親自抓取乒乓球才能驗證猜想，這時的操作活動就成為學生的需求，學生會帶著目的和疑問去探究。

第一階段用“古典概型”問題完成“可能性”教學的鋪墊后，學生對“可能性”有了初步認識，并且發現概率大小與各類事件本身的體量（面積）有關。第二階段升入到一般概率計算，此時，探究對象不再是不可計數的面積，而是可以計數的乒乓球，學生對各種顏色的球數有了一個清晰的認識，甚至可以數出各種顏色的球到底有幾個，誰多誰少，一目了然。這樣教學沒有采用重復實驗統計法（抓球后將球放回，多次實驗，統計抓到各種顏色的球的次數和實驗總次數，再算出二者的比值）。因為統計是小學五年級才出現的內容（條形統計圖和折線統計圖），學生的思維里還沒有形成統計的科學概念，更別提運用統計結論來分析問題。因此，采用保守教法，讓學生直接憑經驗和常理推測來達到合理估測“可能性”的目的，綜合了感性和理性認知，也達到了教學目的。

三、試一試，融合試驗

師：如果我將8個白色乒乓球、4個黃色乒乓球、2個紅色乒乓球放入一個黑色布袋里，搖勻后，抓取的結果可能有幾種情況？

生1：抓取到白色乒乓球的概率最大。

生2：抓取到紅色乒乓球的概率最小。

生3：抓取到黃色乒乓球的概率比抓取到白色乒乓球的概率小，但比抓取到紅色乒乓球的概率大。

師：真棒！你們的說法反復印證了一個道理——有些事情的結果是不確定的，例如從有黃色和白色乒乓球的黑色布袋里抓取乒乓球時，你就無法確定抓取出來的乒乓球是黃色的還是白色的。通過驗證猜想，我們搞清楚了抓取不同顏色的乒乓球的概率是有大有小的。

【評析】

這個時候，學生的認識就上升到了理性認識，原本的定性分析也會上升到定量分析。前面只有2種顏色的球，這次增加到3種顏色，這絕不是簡簡單單的量變，而是量變引起的質變，從3種顏色分析抓取概率，那就不僅是比多比少的問題（數量多的抓到的概率大一些，數量少的抓到的概率小一些）。放入3種顏色的乒乓球，那么概率多與少之間不再那么模糊，而是變得相當具體，幾乎可以量化，如一個盒子里裝有5個白球、4個紅球、6個藍球，那么抓到藍球的概率大于抓到白球的概率，也大于抓到紅球的概率，而且大多少，也能具體算出。其實，這種推斷已經接近概率的精確計算，只要再進一步就能得出抓到每種顏色的球的精確概率。通過大量獨立重復實驗可以統計出，抓到藍球的概率是[615]，抓到紅球的概率是[415]，抓到白球的概率是[515]，這些都是可以從球的總數上推知的，各種顏色的球數與總球數的比值就是摸到該種顏色的球的精確概率，這與概率學上的“設基本獨立事件的總數為m，某類事件獨立出現的次數為n，那么該類事件發生的概率是[nm]”的原理是一致的，只不過說法不同。

概率問題可以復雜，也可以簡單;可以直觀，也可以形象。教師需要拿捏好火候，學生需要把握好分寸。對于小學中的“可能性”，學生不需要計算出精確的概率值，但是要學會比較概率大小，而比較概率大小要從某類事件出現的次數的多少中判斷，因為分母都是一樣的，只需要比較分子。

學生經過自主探究、小組合作，認識了什么是概率大小，然后通過“試一試”的提升試驗，將概率比較從不同空間轉移到同一空間，進行混合區分，大大拓寬了思維，深化對概率大小的認識，有利于自身從生活現象中看透數學規律，進一步領會到“數學源于生活”的真諦，有助于建構新知體系。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 張建發.聚焦核心素養，彰顯數據分析觀念：小學“統計與概率”領域教學思考[J].華夏教師，2020（04）.

[2] 曹培英.小學數學統計與概率教學研究（五）[J].小學數學教育，2020（Z1）.

[3] 林榕.小學數學統計與概率的“真”[J].新教師，2019（05）.

（責編 黃 露）