對稱思想在初中數學教學中的應用
——以“代數中的對稱思想”為例

?山東省青島市嶗山區育才學校 張 珺

1 數與代數中的對稱

進入初中之后，學生所遇到的第一個門檻就是負數，負數不僅是后續知識的重要基礎，也是生活中的一個重要工具.對于“正負術”，世界上最早的記載在《九章算術》中，我國古代著名數學家劉徽說：“今兩算得失相反，要令正負以名之，正算赤，負算黑，否則以邪正為異.”可見對稱的思想在古代數學研究中就占據重要位置，這一對量，單看并沒有實際意義，正是有了“-”才有“+”一說.關于相反數和絕對值，《義務教育教學課程標準(2011年版)》中要求能夠借助數軸明確它們的概念及意義，結合對稱思想，讓學生更能直觀地感受到相反數是成對存在的.

從形式上看，平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，都具有簡潔美、和諧美，無論是等式的左邊還是右邊，形式也是對稱的.教材“讀一讀”中，引入了數學史——楊輝三角(如圖1)，鼓勵學生經歷探索公式的過程，激發學習數學的興趣.

圖1

楊輝三角就像金字塔一樣，可以看作一個等腰三角形，我們發現以等腰三角形底邊上的高為對稱軸，左、右側的數是對稱分布的.其實只要學生懂得原理和涵義，就可以直接根據楊輝三角得到(a+b)n(n是正整數)的二項展開式中的各項.

2 對稱思想的應用

圖2

例1課例“探尋神奇的幻方”，在圖2所示的三階幻方中，請思考：

(1)你發現了哪些相等的關系？各行、各列、各對角線上的數之和是多少？

(2)若是將和相等的每一組數連線，你有什么發現？

(3)你能變換數的位置，使新得到的九宮格仍然滿足上述你的發現嗎？

(4)幻方中，最核心位置是什么？有沒有“成對”的數？

2.1 觀察研究

如圖2所示，各行、各列、各對角線上的三個數之和都為15，5在中間，可以看作“對稱中心”，偶數在四個角中，并且每對數之和都為10，其余是奇數，也是成對存在且和為10.

2.2 創新構造

引導學生自己構造出三階幻方，并提問：

(1)幻方中，最核心位置是什么？有沒有“成對”的數？

(2)5為什么必須放到正中間？

(3)4個角上可以放奇數嗎？

(4)若設中間數為x，你能得到關于x的哪些式子？

(5)還有什么新發現嗎？

分析：要構造一個新的幻方，方法不是唯一的.經過上面一系列問題的鋪墊，我們已經發現5的位置是固定在最中間的，對于“為何必須5放中間”這一問題，要使每條線上三個數之和都為15，在1～9這九個數中，只有5沒有“對”，剩下的八個數都可以兩兩為一對，和為10，因此，核心位置只能填5.而剩下位置的填寫，只要讓八個數成對存在即可，1和9，2和8，3和7，4和6，只要確定其一，那么對稱的位置就是另一個數.此外，我們發現要構成新的幻方，四角處必須放偶數，這可以用奇偶性來解釋.奇數+奇數=偶數，奇數+偶數=奇數，偶數+偶數=偶數，而5又在中間，如果此時四個角上是奇數，剩余四格放偶數，那么第一、三行，第一、三列的和都是偶數，這與題意不符，如圖3-1所示.如果四個角上是一奇一偶，第一、三行的和一定是偶數，也不符合題意，如圖3-2所示.如果四個角上都填偶數呢？此時，九宮格中的每一橫行、每一豎行，還有兩條對角線上的數之和一定是奇數，保持了結果奇偶性的一致性，符合題意，如圖3-3所示.經過分析，不難發現，當數為1到9這九個數時，只有當九宮格的四個角處的數是偶數，5放在中間，其余各個奇數放到剩余位置時，才能滿足幻方的要求.

奇數偶數奇數偶數5偶數奇數偶數奇數

奇數奇數偶數偶數5偶數偶數奇數奇數

偶數奇數偶數奇數5奇數偶數奇數偶數

對于“成對”出現的數，可以引導學生利用對稱來構造幻方，先確定中間的數，其余各數根據對稱成對地分布，并根據橫行、豎列的奇偶性確定數的位置.通過美妙地變換，幫助學生在動手實踐的過程中，形成對幻方的感性認識，感受數學的對稱美.

無論是哪種幻方，它們都有共同的性質：各行、各列、各對角線的數之和都為同一常數；在同行、同列或同對角線上關于中心數對稱的兩個數之和，是中心數的兩倍；幻方中的每一個數同時加上或者同時乘一個常數，可以得到一個新的幻方；把以中心所在直線為對稱軸分布的兩行或兩列數交換，仍可得到一個幻方.

(1)求點A，B，D的坐標；

(2)連接CD，過點O作OE⊥CD，垂足為H，OE與拋物線的對稱軸交于點E，連接AE，AD，求證：∠AEO=∠ADC；

(3)在(2)的條件下，以點E為圓心，1為半徑畫圓，在對稱軸右側拋物線上有一動點P，過點P作⊙E的切線，切點為Q，當PQ的長為最小時，求點P的坐標，并寫出點Q的坐標.

圖4

(2)點E的坐標為(3，2).則AE2=6，AD2=3，DE2=9，則AE2+AD2=DE2，所以∠EAD=90°.設AE交CD于點M，又因為OE⊥CD，且∠CME=∠AMD，所以可得，∠AEO=∠ADC.

圖5

3 思考與建議

關于如何在課堂教學中滲透對稱思想，本研究認為教學過程中可以從以下角度改進.

3.1 了解對稱思想的背景知識

準確應用對稱思想的前提是了解對稱思想，只有清楚對稱思想的背景，才能正確把握對稱思想的涵義，這又為我們提供了發現數學規律的一把鑰匙，同時要求教師要有精準的專業學科知識，不斷擴充認知，常言道“要給學生一杯水，老師要有常流水”，這是其一；其二，要引導學生重視思想方法的背景，如洛書河圖就是一個很好的起點，通過歷史文化的力量增強學生學習的內在思想動機，從深層次理解對稱思想，而不是簡簡單單地將其劃分為軸對稱和中心對稱.這種關于數學思想的學習是有意義的學習，數學的發展并不是題目的完成是否正確，而是在數學思想的指導下創造、生長出新知識.

3.2 挖掘教材中的對稱思想

“對稱”既然被稱為“思想”，那它的本質是隱性的知識，這也決定了對稱思想的抽象性.例如，在幾何中，我們常會借助對稱思想研究矩形的性質，教師應當向學生強調這種思想的優越性，引起學生對對稱思想的重視，引導學生有意識地利用對稱思想進行幾何圖形的探究.對正方形、菱形等圖形的探究，可以不斷強化學生運用對稱思想研究圖形性質，幫助學生將抽象的數學思想內化成有力的探究工具，對對稱思想不斷形成更深刻的理解.

3.3 層層推進對稱思想

數學的學習是一個漫長的發展過程，在這個過程中，教師應當有計劃、有層次地推進思想教學.教師要遵循學生的身心發展規律，不能陵節而施，要做到循序漸進.當學生處于知識的形成階段時，教師可以從簡單的層次說明對稱思想，當學生處于知識的運用階段時，就可以像爬梯子一樣以更高的層次再次詮釋、補充對稱思想了.

總之，由于學生的認知特點，教師在教學過程中，應當遵循學生的認知規律，以螺旋式結構不斷提升學生對于對稱思想的認識、掌握及應用，為學生提供探索數學的機會，引導學生跨越最近發展區，最終實現學生數學素養的整體提升.F