一題多解玩轉(zhuǎn)二次根式證明題

?重慶市永川北山中學(xué)校 吳治新

我們將根號(hào)下含有字母的代數(shù)式叫作無理式，對(duì)于無理式的證明題，單靠二次根式的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算很難奏效，還需注意分析題意，根據(jù)題目特點(diǎn)結(jié)合適當(dāng)?shù)姆椒ㄅc技巧.下面以一道二次根式證明題為例作簡(jiǎn)要分析.

方法一：改寫并化簡(jiǎn)等式，從輪換式特點(diǎn)去整體相加.

①

同理，得

②

①+②，得

整理，得a+b=-(a+b).

所以a+b=0得證.

點(diǎn)評(píng)：從倒數(shù)的意義入手，根據(jù)等式的性質(zhì)改寫已知等式，成為幾個(gè)式子和的形式，再利用輪換式特點(diǎn)，將改寫后的式子整體相加，則隱含關(guān)系明了，問題獲解.

方法二：改寫并化簡(jiǎn)等式，兩邊平方.

證明：由已知，得

兩邊再平方，得(a2+1)(b2+1)=1-2ab+a2b2.

整理，得(a+b)2=0.

所以a+b=0得證.

點(diǎn)評(píng)：利用倒數(shù)性質(zhì)改寫已知等式，再兩次平方，并運(yùn)用乘法公式運(yùn)算，將無理式轉(zhuǎn)化為整式.根據(jù)等式的性質(zhì)，兩邊平方，將無理式化為有理式，也是解決無理式問題的常見策略.

方法三：將等式兩邊同乘有理化因式.

③

④

③+④,得a+b=-a-b.

則2(a+b)=0.

所以a+b=0.

點(diǎn)評(píng)：將已知等式乘有理式因式，就可以將二次根式的積轉(zhuǎn)化為二次根式和的形式.在證明二次根式一般過程中，由因?qū)Ч瑥幕?jiǎn)條件入手，恒等變形的基本方法往往是有理化.

分析4：換元法是解數(shù)學(xué)題的一種重要方法，用某一字母代換已知等式中較長(zhǎng)的式子或結(jié)構(gòu)復(fù)雜的式子，使條件簡(jiǎn)明，將問題化繁為簡(jiǎn).

方法四：換元 + 平方.

兩邊同時(shí)平方，得

(m-a)2=a2+1，(n-b)2=b2+1.

又mn=1，所以

m2-2am+a2=a2+mn，

n2-2bn+b2=b2+mn.

即

m-2a-n=0

⑤

n-2b-m=0

⑥

⑤+⑥，得a+b=0.

點(diǎn)評(píng)：用換元法建立兩個(gè)等式，并將等式平方，去掉根號(hào)，得到與a，b有關(guān)的有理式，再運(yùn)用輪換式的特點(diǎn)，進(jìn)行整式運(yùn)算，問題得以解決.

方法五：換元+分式化簡(jiǎn).

a2+1=x2+a2-2ax.

又xy=1，所以a+b=0.

點(diǎn)評(píng)：用換元法將原問題增設(shè)兩個(gè)變量，兩邊平方后，將無理式問題轉(zhuǎn)化為有理分式問題，運(yùn)用有理式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算求解.

方法六：換元+取倒.

點(diǎn)評(píng)：設(shè)元使原問題增加了兩個(gè)變量，通過“求倒”得到與a或b有關(guān)的兩個(gè)式子，且這兩個(gè)式子互為相反數(shù)從而快速求解.

方法四～六用換元法解題，其目標(biāo)是將無理式問題轉(zhuǎn)化為有理式問題，通過換元得到兩個(gè)等式，并進(jìn)行恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，達(dá)到轉(zhuǎn)化求解的目的.

將上面例題改編，得到一組題目，讓我們一顯身手吧.

創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力，是現(xiàn)代教育的出發(fā)點(diǎn)和歸宿.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維，是時(shí)代的要求，也是課程標(biāo)準(zhǔn)提出的要求，更是學(xué)生發(fā)展的需求.如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維？“一題多解”是最平常，也是力所能及的的課堂教學(xué)手段.例如，本文中的例題，是一道二次根式的證明題，在平時(shí)學(xué)習(xí)中較少碰到，利用一般的方法無從破解，但若從題目已知條件的特征及結(jié)果形式分析，發(fā)現(xiàn)與“倒數(shù)”及“輪換式”等知識(shí)點(diǎn)有關(guān)，可結(jié)合二次根式、整式、分式的運(yùn)算法則及性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算推理，得出答案.方法一，從輪換式特點(diǎn)去整體求解；方法二，從倒數(shù)性質(zhì)入手，運(yùn)用平方法去根號(hào)，運(yùn)用乘法公式求解；方法三，結(jié)合二次根式特點(diǎn)，兩邊乘有理化因式，達(dá)到轉(zhuǎn)化目的；方法四～六利用換元法，增加變量，利用完全平方式、分式化簡(jiǎn)進(jìn)行恒等變形.以上幾種證法，貫穿了二次根式化簡(jiǎn)的常用方法，較好地發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)新思維，有利于啟迪學(xué)生思維，開闊學(xué)生視野，為學(xué)生熟練掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，訓(xùn)練數(shù)學(xué)基本技能，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想方法，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，切實(shí)提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).Z