專題復習課：讓復習更“專”
——以“圓周角與圓心角的關系”專題復習新授課為例

?湖北省武漢市六中位育中學 魯志松

近日，在一次市級專題復習課教學研討活動中，有幸聆聽到“圓周角與圓心角的關系”專題復習新授課，受益匪淺.本文中簡單呈現執教教師的教學設計，并就新授專題復習課給出個人的初步思考，不當之處，敬請指正.

1 教學設計

1.1 做一做，畫一畫

(1)畫一個⊙O；

(2)在⊙O內作一個圓心角∠AOB；

(3)在⊙O內作一個圓周角∠ACB.

1.2 圓周角定理及其推論

定理：圓周角的度數等于上的圓心角度數的一半.

推論1：圓周角的度數等于的度數的一半.

推論2：所對的圓周角相等.

推論3：直徑所對的圓周角是；90°的圓周角所對的弦是.

1.3 圓周角與圓心角相結合

設計意圖：一是復習鞏固圓心角、圓周角和弧之間的關系，二是提醒學生注意弦所對的圓心角的度數是一個，但是所對的圓周角的度數有兩個.

圖1 圖2

設計意圖：學生在做圓的題目時，總是會忘記半徑都相等的條件，例2提醒學生注意與等腰三角形相結合.

變式如圖2所示，點A，B，C在⊙O上，若∠C=40°，則∠OBA的度數為.

1.4 圓周角、圓心角與垂徑定理相結合

垂徑定理：垂直于弦的直徑這條弦，并且平分弦所對的.

推論：平分弦的直徑這條弦，并且平分弦所對的.

例3(2018·襄陽)如圖3所示，點A，B，C，D都在半徑為2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，則弦BC的長為.

設計意圖：通過垂徑定理得到弧相等，從而和圓心角、圓周角聯系起來.

圖3

1.5 圓周角、圓心角與平行相結合

圖4

圖5

設計意圖：例4由課本中的隨堂練習引出，運用兩種不同的證明方法，復習了垂徑定理和圓周角定理.也得出了“兩平行弦所夾的弧相等”這個常用結論，讓學生建立起平行與弧相等的聯系.

變式1如圖5，已知點A，B，C，D，E都在⊙O上，且AC=DE，DE∥BA，求證：AD平分∠BAC.

變式2如圖5，已知A，B，C，D，E都在⊙O上，且AD平分∠BAC，AC=DE，求證：DE∥BA.

1.6 圓周角、圓心角與相似相結合

相似三角形的判定：

的兩個三角形相似；

的兩個三角形相似；

的兩個三角形相似.

例5如圖6所示，點A，B，C，D在⊙O上，且AB=AC，AD交BC于點E.

圖6

(1)你能在圖中找出一對相似三角形嗎？并說明理由.

(2)若AE=2，ED=4，求AB的長.

設計意圖：通過例5建立起圓中相似的基本圖形，讓學生能夠快速地找到相似圖形.如碰到圓中求線段長度的問題，就可以與相似聯系起來.

2 幾點思考

2.1 學生主體與教師主導

數學課堂教學中突出學生的主體地位，放手讓學生討論、自主思考，有利于發揮學生的主體能動性.但是，筆者認為，作為數學教師，應該把握好課堂教學中“學生主體”和“教師主導”的平衡點，實現課堂教學的“雙主體”，進而達到“雙贏”.

對于學生能夠自主解決的簡單問題，教師應該放手給學生，讓學生獨立解決，可以讓學生走上講臺，講解個人的解題思路，提出個人的初步見解；對于稍有難度的問題，教師應該為學生搭建好“腳手架”，讓學生“跳一跳，摘桃子”，讓學生在“兵教兵”的氛圍中解決問題，實現知識認知的升華；對于難度很大的問題，這個時候必須充分發揮教師的主導作用，凸顯教師的地位和作用，在教師講解之后，引導學生課下梳理和回顧，在下節課中再讓學生走上講臺，分享問題整理過程中的感悟和體會，實現問題解決的再提升.

2.2 一題多變與一題多解

一題多解是數學習題課、復習課教學中經常采用的一種方式.上述課例中，執教教師針對同一個問題，引導學生從不同的角度思考，對同一個問題給出了不同的解法.難能可貴的是，執教教師能夠在給出不同的解法后引導學生體會不同解法之間的區別和聯系，不同解法之間的難易，哪種解法更適合自己，等等，將學生的思維引向深處，實現課堂教學的有效性.

一題多變是在實現一題多解后對習題課、復習課教學的進一步要求.比如，上述課例中，執教教師通過強化條件、弱化條件、交換條件和結論、改變圖形等多種方式實現對同一個問題的不同變式，使學生的視野更加開闊，架起不同問題之間的橋梁，加深學生的認識，實現多角度、多層次看待問題，進而實現學生解題素養的提升.

2.3 以題帶點與以點聚題

復習課教學中，針對知識復習的常見方法有以題帶點和以點聚題兩種.

以題帶點是指在復習課的教學中通過相關題目的復習，總結出解題過程中所用的知識點，實現對知識的復習和總結；以點聚題則是先復習相關知識點，然后出示典型練習引導學生進行鞏固和梳理，進而實現對知識的復習和總結.

上述課例中，執教教師選擇了以點聚題的方式，首先回顧每個考點對應的知識點，然后針對每個知識點給出典型的練習，最后引導學生進行回顧和梳理，在專題復習新授課中收到了良好的效果.但是，筆者認為，以點聚題多見于專題復習新授課，而以題帶點則更多地見于中考復習課，可見兩種復習方式針對的是兩種不同的復習課的課型，應該引起一線教師的思考.

2.4 基本題型與基本圖形

數學教學離不開解題，在教學中，教師應該引導學生對基本題型進行歸納和總結，上述課例中，執教教師以考點的形式進行呈現；幾何教學離不開基本圖形的“抽離”和總結，比如，上述課例中出現的“垂徑定理”的基本圖形等，教師應該引導學生發現和梳理，進而提高解題效率，體現解題教學的高效.