在數學建模中培養學生的創新思維

?新疆石河子第一中學 傅祖勇

1 引言

創新思維能力的發展，推動了人類社會的進步.當今社會、科學技術日新月異，靠的就是創新型人才.高中數學教學雖然屬于基礎教育，但同樣肩負著培養創新型人才的重任.那么，高中數學教學創造性思維能力的培養的落腳點在何處呢？筆者認為，教學中，教師應引導學生做到以下三點：一是發揮想象能力，培養直覺思維；二是構建建模意識，培養轉換能力；三是以“構造”為載體，培養創新能力.下面談談具體做法，不當之處，敬請斧正.

2 發揮想象能力，培養直覺思維

追溯數學的發展歷程，我們可以發現，不勝枚舉的數學發現往往來自于數學家的直覺思維.史上有名的有笛卡兒坐標系、費爾馬大定理、歌德巴赫猜想以及歐拉定理等，這些非凡的“發現”不是數學家通過邏輯思維得到的，而是他們經過細致觀察、反復對比、深刻參悟最終數學靈感勃然而出的.在數學建模教學中，教師應引導學生進行直覺思維和直觀想象，讓學生提出獨特的見解，通過建立數學模型來快捷地解決問題，從而實現溝通數學知識內在的聯系，激發學生創新思維，提升學生數學能力的目的.

例1除錯位相減法之外，你能求S=1+2x+3x2+4x3+……+nxn-1(x≠0且x≠1)嗎？

學生直覺：可以將S=1+2x+3x2+4x3+……+nxn-1(x≠0且x≠1)看作某函數的導函數，于是想到構造一個新的函數，借助導數巧妙地解決問題.

由于本題解答要求避開“錯位相減法”，所以學生解答時必須另辟蹊徑.學生借助直覺思維，根據所求代數式的特點，想到通過構造函數并妙用導數來解決，可謂新穎自然，巧奪天工，毫無斧鑿之跡，怎不令人拍案叫絕！反映出學生善于觀察又積極想象的思維品質.試想，假如教師在日常教學中沒有一定量的建模訓練，他們能“創造”出如此“高大上”的優美證明嗎？大數學家泰勒曾經說過，豐富的知識和經驗是產生新的聯想和獨創見解的源泉.

高中數學內容豐富，思想與方法也千姿百態.從一個問題出發，聯想到另一個問題，并建立新的數學模型，這種創造性思維的形成往往離不開直覺思維.因此，在數學建模的教學中，教師應重視稍縱即逝的直覺思維的培養.

3 構建建模意識，培養轉換能力

恩格斯說過，數學形式的相互轉化，不是一種無聊的游戲，而是體現了數學中的平衡關系，如同物理中的“杠桿原理”.一旦離開這個原理，數學就會“擱淺”.而數學建模從本質上看，就是實現實際問題與數學問題之間的轉化，因此在數學教學中，我們要注重這種轉化，并用好這根“杠桿”，這對培養學生的創新思維意義非凡，同時從應試角度看，對提高學生的解題速度也大有益處.

在函數模型的教學中，筆者給學生舉了一個“洗衣問題”的例子：現在有一桶水，需要洗一件衣服，是直接將衣服放入一桶水中洗呢，還是將一桶水一分為二，洗滌兩次？哪種洗法的效果好？答案自然是不言而喻的，你能從數學角度來分析并解決這個問題嗎？

例2衣服洗滌甩干后需要多次漂洗，如果每次漂洗后衣服上的殘留物都是均勻分布的，而且每次漂洗并甩干后衣服中含有的水分和殘留物的重量也相同，也就是說每次漂洗前后的衣服上的殘留物的含量百分比一致.現有一臺全自動小天鵝洗衣機，假定漂洗的用水總量為a，漂洗并甩干的次數定為3.為了讓漂洗后衣服中殘留物最少，請同學們想一想，如何確定每次漂洗的用水量？

生1：設每次漂洗并甩干后衣服中的殘留水分(含殘留物)的重量為m，洗滌并甩干后(漂洗前)衣服中殘留物(不含水分)為n0.3次漂洗并甩干后衣服中的殘留物(不含水分)分別為y1，y2，y3，3次用水量分別為x1，x2，x3(以上各量單位相同)，則由每次漂洗前后殘留物的重量百分比濃度相等可知：

師：本問題的關鍵是利用每次漂洗前后殘留物重量的百分比濃度相等來建立關系式，請同學們思考這是為什么？

通過大家的集思廣益，得到了本題的推廣結論：

通過實際問題轉化為數學問題，利用數學手段，問題似乎已經解決.從理論上講，定量的水漂洗次數越多，殘留物就越少.但全自動洗衣機通常設定為3次漂洗，這是為什么？這又是一個日常生活中的問題，再次激發出學生探究數學的熱情，顯然這個問題是剛解決的問題的進一步深化，筆者讓學生課后進一步研究，于是把學生數學轉化能力向更高的層次推進.

4 以“構造”為載體，培養創新能力

所謂“建模”，顧名思義就是構造模型，說來簡單，但模型如何構造并非一蹴而就的容易事，這需要學生有足夠強的構造能力.而這種能力同樣離不開教師在課堂教學中的著力培養，教師應該精選教學素材，以“構造”為載體，培養學生的創新能力.

足球運動深受高中生喜愛，于是筆者提出了如下關于足球的問題：

例3如圖1所示，甲方球員A把球傳給甲方球員B，乙方的球員C出擊阻斷該球.球員C斷球是否成功，主要由以下因素確定：△ABC的形狀、傳球的速度、傳球的軌跡，還有球員奔跑的速度、球員C的出擊角度、球員們反應的時間、比賽時的天氣等.我們為了簡化問題，提出如下幾個假設：首先不考慮客觀因素；其次把球員反應時間當成零，并且球員奔跑速度都相等，且他們與球在同一個平面上作勻速直線運動.在這樣的假設下，球員C可否成功斷球的主要因素，一受△ABC的大小與形狀的影響；二受該球員奔跑速度的制約；三還得看傳球速度；最后還要看球員C出擊的角度.于是，我們可以把球員斷球問題，通過數學建模，轉化為純粹的數學問題：

圖1 圖2

問題1：如圖2所示，甲方球員A把球傳給本隊同伴B，而乙方球員C想搶斷傳球，在∠A與θ(θ=∠ACD)滿足何種條件的時候，球員C才可能實現斷球目的？假設A=28°，B=40°，球的速度是16 m/s，球員C的速度是8 m/s，試求球員C出擊的方向.

問題2：若依然假設∠A=28°，∠B=40°，球的速度是16 m/s，球員的奔跑速度是8 m/s，試問：

(1)假如球員B積極回搶，那么他能否成功反斷球？

(2)球員C由哪個方向出擊，他肯定能成功阻斷球？

本問題完全數學化后，就是一個解三角形和平面幾何問題.由此可見，要把一個實際問題轉化為數學問題，首先應該從題目的實際出發，確定選擇何種數學模型，依據刪繁就簡原則，通過主觀“構造”，讓其顯出數學的本質.我們還可以改變假設的條件，如本例中球員對球作出反應的時間，讓球員們奔跑的速度各不相同，由于受空氣阻力的影響，還可以將球的速度變為減速運動等，于是球員成功斷球的條件就變得異常復雜了，這樣對學生的創新思維提出了更高的要求.但只有循序漸進，學生的創新性思維能力才能提高.

以上幾個例子告訴我們，觀察能力的培養與思維能力的培養，在數學建模教學中同樣重要.教師只有在數學建模中引導學生眼、手、腦三者聯動，創新思維的培養才能落地生根.