學(xué)科融合 數(shù)學(xué)建模

?甘肅省民樂(lè)縣第一中學(xué) 陳國(guó)輝

1 引言

在創(chuàng)新新情境數(shù)學(xué)試題中，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的融合問(wèn)題是其中最亮麗的一道風(fēng)景線，巧妙把物理、化學(xué)、生物、地理、歷史等其他學(xué)科中的相關(guān)知識(shí)與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，合理數(shù)學(xué)建模，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的基礎(chǔ)性與應(yīng)用性，以及相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法作為其他學(xué)科研究的思想與方法，備受各方關(guān)注.

2 數(shù)學(xué)與物理

例1在線段A1A2的兩端點(diǎn)各置一個(gè)光源，已知A1，A2光源的發(fā)光強(qiáng)度之比為1∶2，則該線段上光照度最小的一點(diǎn)到A1，A2的距離之比為_(kāi)_____.(光學(xué)定律：P點(diǎn)的光照度與P到光源的距離的平方成反比，與光源的發(fā)光強(qiáng)度成正比.)

分析：設(shè)線段A1A2的長(zhǎng)度為l，A1，A2光源的發(fā)光強(qiáng)度分別為k，2k，并設(shè)出線段A1A2上光照度最小的一點(diǎn)P到兩端點(diǎn)的距離分別為x，l-x，建立點(diǎn)P處的光照度H的函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)，求H的最小值，進(jìn)而確定兩對(duì)應(yīng)距離的比值即可.

點(diǎn)評(píng)：合理巧妙借助物理知識(shí)與數(shù)學(xué)知識(shí)加以融合交匯，以生活實(shí)際為問(wèn)題背景，通過(guò)數(shù)學(xué)建模，借助數(shù)學(xué)中的相關(guān)知識(shí)來(lái)考查數(shù)學(xué)中的最值問(wèn)題.問(wèn)題極具創(chuàng)新意識(shí)與應(yīng)用意識(shí)，有效聯(lián)系知識(shí)與實(shí)際.

3 數(shù)學(xué)與化學(xué)

例2如圖1，C60是一種由60個(gè)碳原子構(gòu)成的碳原子簇，其結(jié)構(gòu)是以正五邊形和正六邊形組成的凸32面體，它形似足球，因此又名足球烯，則C60結(jié)構(gòu)中正六邊形個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.

圖1

分析：結(jié)合C60的結(jié)構(gòu)圖確定其對(duì)應(yīng)的每個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)在3個(gè)面內(nèi)，則知正五邊形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)與正六邊形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為60個(gè)頂點(diǎn)的3倍，設(shè)出兩種正多邊形的面的個(gè)數(shù)，建立方程組來(lái)分析與處理即可.

故填答案：20.

點(diǎn)評(píng)：合理巧妙借助化學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)知識(shí)加以融合交匯.以化學(xué)中特殊的C60的結(jié)構(gòu)圖與生活實(shí)際中的足球加以聯(lián)系，通過(guò)數(shù)學(xué)建模，結(jié)合空間幾何體中頂點(diǎn)與面的關(guān)系，利用方程組的求解來(lái)解決立體幾何中的相關(guān)數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.

4 數(shù)學(xué)與生物

例3面對(duì)秋冬季新冠肺炎疫情反彈風(fēng)險(xiǎn)，某地防疫防控部門決定進(jìn)行全面入戶排查，過(guò)程中排查到一戶5口之家被確認(rèn)為新冠肺炎密切接觸者，按要求進(jìn)一步對(duì)該5名成員逐一進(jìn)行核酸檢測(cè).若任一成員出現(xiàn)陽(yáng)性，則該家庭定義為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性相互獨(dú)立，且概率均為p(0

分析：設(shè)出相應(yīng)的事件A與B.根據(jù)相互獨(dú)立來(lái)確定各自的概率，進(jìn)而建立概率函數(shù)關(guān)系式f(p)，通過(guò)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的變形與轉(zhuǎn)化，利用條件中當(dāng)p=p0時(shí)，f(p)最大，進(jìn)而來(lái)確定p0的值.

點(diǎn)評(píng)：合理巧妙借助生物知識(shí)與數(shù)學(xué)知識(shí)加以融合交匯，通過(guò)數(shù)學(xué)建模，結(jié)合概率中的相互獨(dú)立建立概率關(guān)系式，綜合導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用來(lái)確定相應(yīng)的最值問(wèn)題，進(jìn)而確定滿足條件中的參數(shù)值.

5 數(shù)學(xué)與地理

例4臺(tái)灣是中國(guó)不可分割的一部分，解放軍在臺(tái)海地區(qū)組織實(shí)兵演練，展現(xiàn)的是捍衛(wèi)國(guó)家主權(quán)和領(lǐng)土完整的決心和能力.如圖2為我空軍戰(zhàn)機(jī)在海面上空繞臺(tái)巡航.已知海面上的大氣壓強(qiáng)是760mmHg，大氣壓強(qiáng)p(單位：mmHg)和高度h(單位：m)之間的關(guān)系為p=760e-hk(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k是常數(shù))，根據(jù)實(shí)驗(yàn)知500m高空處的大氣壓強(qiáng)是700mmHg，則我戰(zhàn)機(jī)在1 000m高空處的大氣壓強(qiáng)約是(結(jié)果保留整數(shù))( ).

圖2

A.645mmHgB.646mmHg

C.647mmHgD.648mmHg

分析：通過(guò)閱讀理解題目條件，結(jié)合關(guān)系式p=760e-hk中相關(guān)參數(shù)的分析，通過(guò)特殊的一組數(shù)值代入，得到相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而再次代入對(duì)應(yīng)的數(shù)值，利用指數(shù)冪運(yùn)算加以轉(zhuǎn)化，從而確定對(duì)應(yīng)的大氣壓強(qiáng)值.

點(diǎn)評(píng)：合理巧妙借助地理知識(shí)與數(shù)學(xué)知識(shí)加以融合交匯，通過(guò)數(shù)學(xué)建模，綜合指數(shù)冪等代數(shù)運(yùn)算，巧妙處理實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

6 數(shù)學(xué)與歷史

例5在《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”問(wèn)題，原文如下：有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，問(wèn)物幾何？即一個(gè)整數(shù)除以三余二，除以五余三，求這個(gè)整數(shù).設(shè)這個(gè)整數(shù)為a，當(dāng)a∈[1，500]時(shí)，則符合條件的所有a的和為_(kāi)_____.

分析：根據(jù)題目中歷史問(wèn)題加以翻譯轉(zhuǎn)化，設(shè)整數(shù)a所表示的關(guān)系式a=3m+2=5n+3，m，n∈N*，通過(guò)新參數(shù)之間關(guān)系式的建立，結(jié)合分類討論確定兩參數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而合理數(shù)學(xué)建模，引入等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的求和來(lái)確定.

解析：由題目條件，可設(shè)a=3m+2=5n+3，m，n∈N，則有3m=5n+1.

當(dāng)m=5k，k∈Z時(shí)，n不存在；

當(dāng)m=5k+1，k∈Z時(shí)，n不存在；

當(dāng)m=5k+2，k∈Z時(shí)，n=3k+1，滿足題意；

當(dāng)m=5k+3，k∈Z時(shí)，n不存在；

當(dāng)m=5k+4，k∈Z時(shí)，n不存在；

所以k=0，1，2，3，……，32，共有33個(gè)數(shù)，且這些數(shù)組成以8為首項(xiàng)，15為公差的等差數(shù)列.

點(diǎn)評(píng)：合理巧妙借助歷史知識(shí)與數(shù)學(xué)知識(shí)加以融合交匯，通過(guò)數(shù)學(xué)建模，把歷史中數(shù)學(xué)著作問(wèn)題與實(shí)際數(shù)學(xué)相結(jié)合，通過(guò)條件的轉(zhuǎn)化確定相應(yīng)的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.

7 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)與其他學(xué)科相融合的創(chuàng)新新情境數(shù)學(xué)試題，往往緊密聯(lián)系生活實(shí)際，滲透物理、化學(xué)、生物、地理、歷史等其他學(xué)科中的相關(guān)知識(shí)，數(shù)學(xué)建模，巧妙轉(zhuǎn)化，以考查考生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力為主線，注重?cái)?shù)學(xué)的基礎(chǔ)性、綜合性和應(yīng)用性，強(qiáng)調(diào)以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，突出考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，深受命題專家的青睞.