從高考命題看統計與概率教學中的能力培養

?安徽省阜陽市紅旗中學 趙新玉 田 甜

1 引言

概率與統計，是高中數學的核心內容之一，由于其與現實生活有著密切的聯系，因而，也是高考的必考內容.從近幾年高考數學的命題看，對概率與統計的內容的考查變化中有創新，試題難度從中檔題向壓軸題轉化，進一步體現了學以致用的教育理念.從高考命題角度看，統計與概率教學中應著重培養學生的哪幾種能力呢？

2 讀圖與識圖能力

大數據時代，統計圖表隨處可見.統計學用數據和圖表說話，會看圖能讀懂圖表中的有關信息，并用其解決問題是學習統計的最終目的.在高考解答題中，題面中往往會出現統計圖表，如頻率分布直方圖、莖葉圖等，要求考生從這些圖表中獲取解題信息.因此，在教學中，教師應重視統計圖表的分析，教會學生如何合理地利用數據進行分析，并作出科學的決策.

例1為調查小白鼠體內甲、乙兩種離子的殘留情況，進行如下試驗：把200只小鼠隨機分成A組和B組，每組都是100只，甲離子溶液給A組小鼠服用，乙離子溶液給B組小鼠服用.每只小鼠所服溶液的體積和摩爾濃度全部相同.經過一段時間后，再用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比.由試驗數據，分別得到如圖1的直方圖：

甲離子殘留百分比直方圖 乙離子殘留百分比直方圖

把事件“乙離子殘留在體內的百分比不低于5.5”記為C，由上面的直方圖可得到P(C)的估計值是0.70.

(1)試求出乙離子殘留百分比直方圖中a與b的值；

(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表).

本題難度不大，容易求得答案：(1)a=0.35，b=0.10；(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值是4.05，乙離子殘留百分比的平均值的估計值為6.00.作為高考題，本題屬于中檔題，而有些考生卻對圖表中的數據無從下手，主要表現在對數據和圖表直觀感覺差，不會運用學過的統計知識來處理問題；沒有形成“用數據說話”的統計觀念；對統計數據的數字特征理解不到位.因此，在統計與概率的教學中，教師一定要加強學生讀圖與識圖能力的培養.

3 數據的處理與運算能力

統計與概率，就是讓數據說話，根據數據作出決策.而數據何來？通過實驗得到，通過運算獲得.數學運算是數學核心素養之一.統計與概率運算求解能力，主要是指能根據實際問題，設計一條合理簡捷而又切實可行的運算路徑，能按照實際問題提出的要求處理統計數據，并依據有關公式進行運算.而學生的薄弱點就是對統計數據不知所措，不知道如何找到既合理又簡捷的運算方法，不能根據要求對數據進行估計和近似計算.這一點在教學中應該加強.

例2設0

X0a1P131313

則當a在(0，1)內增大時( ).

A.D(X)變大B.D(X)變小

C.D(X)先變大后變小D.D(X)先變小后變大

本題只需研究方差隨a變化的增大或減小規律，將方差表示為a的二次函數，利用二次函數的圖象和性質就可獲解.

故選：D.

故選：D.

對于本題，考生容易出現兩個錯誤：一是因為對數學期望、方差以及二者之間的關系不熟悉而無從著手；二是計算能力差，不能正確得到二次函數表達式.無論是哪個錯誤都說明運算能力不到位.因此，在統計與概率教學中，大量數據和煩瑣的計算正是培養與提高學生運算能力的好時機.加強學生統計與概率的運算能力，是高考的要求，是素養教育的要求，更是學生終身發展的要求，因此，作為教師不可掉以輕心.教學中，應引導學生通過對公式的理解和數據的煩瑣運算，培養學生的細心、耐心，進而培養學生數據處理與運算能力.

4 概率模型的識別與應用能力

學習數學的目的在于應用數學解決實際問題，為人類的生活服務.因此，在統計與概率教學中，教師要特別加強概率模型的識別與應用能力的培養.在學生學習過程中，一定要提醒學生弄清題意，善于尋找題目中的關鍵詞語，正確判斷題目是哪種概率模型，尤其要提醒學生注意超幾何分布與二項分布的區別與聯系，這兩個概率模型學生經常混淆.其實它們的區別很明顯，二項分布是可放回的，各次試驗的結果都是獨立的，事件發生的概率都一樣；超幾何分布是不放回的抽樣，每做一次試驗，事件A發生的概率是不相同的.合理建模，也是培養學生數學核心素養的要求.

(1)“甲同學連續三天上學，其中在7：30之前進班的天數”用隨機變量X表示，試求X的分布列和數學期望；

(2)設M是事件“上學三天中，規定學生必須在在7：30之前進班，甲同學守紀的天數比乙同學守紀的天數恰好多2天”，求M發生的概率P(M).

故隨機變量X的分布列為：

X0123P1272949827

P(M)=P({X=3，Y=1}∪{X=2，Y=0})

=P(X=3，Y=1)+P(X=2，Y=0)

=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)

對于本題，雖然難度不大，但考生必須弄明白，此題主要考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，以及有關概率的計算公式，如互斥事件、獨立事件的概率計算.然后選擇合理的概率模型，運用二項分布的有關公式和相關的概率知識加以解決.

5 結語

當然，統計與概率作為高中數學最貼近生活的內容，要培養的學生的能力遠遠不止以上提及的三個，本文中只是從高考命題角度加以分析.其實從數學核心素養的六個方面看，這些內容都能體現.因此，從大處講，通過統計與概率的教學，不僅僅是培養學生的應試能力，更重要的是讓學生通過學習了解社會，科學地認識社會，改造世界，這才是教學的真正落腳點.