例談圓錐曲線中存在性問題的解法

?西華師范大學 潘小琴 馮長煥

1 問題提出

圓錐曲線作為高考的必考內容，題型豐富多變.從近幾年的高考試題中可看出，該類題型在考查圓錐曲線基礎知識的同時，對學生的邏輯推理能力和數學運算能力也有了更加明確的要求，其中存在性問題正是圓錐曲線的經典考試題型之一.作為一種開放式的數學問題，通過這類題目的專題講解，有助于培養學生的數學核心素養.但在實際的測試中，由于時間的限制和知識的掌握不足，導致學生在這類題目中表現出“看似套路滿滿，實則內容空洞”的局面.筆者曾咨詢過不少學生，大多認為圓錐曲線的題目難以看懂，或者是對題目所給出的條件難以有效轉化，或是計算量過大，故而產生放棄這類題目的想法，由此造成學生看不懂、不想算、得分率低或者不得分的普遍現狀.本研究基于圓錐曲線存在性問題的特征和學生在此類題目中存在的疑難，以例題為依托，探究圓錐曲線中存在性問題的解法，并在強化通性通法的同時，試圖尋求圓錐曲線存在性問題的最佳解題策略.

2 圓錐曲線中存在性問題的類型及對策

通過對高考試題及模擬題的分析發現，圓錐曲線中常見的存在性問題有四類：存在點問題、存在直線問題、存在參數問題、存在圖形問題.但是無論哪類問題，均可通過特定元素(點、直線、參數、圖形)的存在情況來說明試題的結論成立與否.

2.1 存在性問題的解題策略

2.1.1 假設結論驗條件