明考向 提素養(yǎng)
——基于2021年八省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷的分析與思考

?安徽省宣城中學(xué) 沈張軍

1 引言

隨著高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的進(jìn)一步推進(jìn)與全面實(shí)施，高考數(shù)學(xué)命題越來越回歸本質(zhì)，越來越注重對(duì)核心素養(yǎng)的考查.因此，只有全面聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成，才能從容應(yīng)對(duì)高考的變化.

2 數(shù)學(xué)抽象

例1(2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬演練(八省聯(lián)考)數(shù)學(xué)·15)寫出一個(gè)最小正周期為2的奇函數(shù)f(x)=______.

分析：滿足題目條件的函數(shù)是最小正周期為2的奇函數(shù)，合理聯(lián)想，數(shù)學(xué)抽象，可以考慮三角函數(shù)中的正弦型函數(shù)，再結(jié)合這兩個(gè)條件(最小正周期為2，奇函數(shù))分別確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，即可確定滿足條件的一個(gè)函數(shù)解析式.

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)抽象在高考數(shù)學(xué)命題中的具體表現(xiàn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)形成數(shù)學(xué)概念與規(guī)則；(2)形成數(shù)學(xué)命題與模型；(3)形成數(shù)學(xué)方法與思想；(4)形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系.

3 直觀想象

例2(2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬演練(八省聯(lián)考)數(shù)學(xué)·11)(多選題)圖1是一個(gè)正方體的平面展開圖，則在該正方體中( ).

圖1 圖2

A.AE∥CDB.CH∥BE

C.DG⊥BHD.BG⊥DE

分析：借助平面幾何圖形的折疊加以還原，由平面展開圖還原為正方體，結(jié)合直觀想象與空間想象，根據(jù)正方體的基本性質(zhì)加以分析與處理.

解析：由正方體的平面展開圖還原正方體的直觀圖ABCD-EFGH，如圖2所示，由圖形可知AE⊥CD，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

由HE∥BC，HE=BC，可得四邊形BCHE為平行四邊形，所以CH∥BE，故選項(xiàng)B正確；

因?yàn)镈G⊥HC，DG⊥BC，HC∩BC=C，所以DG⊥平面BHC，又BH?平面BHC，所以DG⊥BH，故選項(xiàng)C正確；

因?yàn)锽G∥AH，而DE⊥AH，所以BG⊥DE，故選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.

點(diǎn)評(píng)：直觀想象在高考數(shù)學(xué)命題中的具體表現(xiàn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)利用圖形描述數(shù)學(xué)問題；(2)利用圖形理解數(shù)學(xué)問題；(3)利用圖形探索和解決數(shù)學(xué)問題；(4)構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型.

4 邏輯推理

例3(2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬演練(八省聯(lián)考)數(shù)學(xué)·3)關(guān)于x的方程x2+ax+b=0，有下列四個(gè)命題：

甲：x=1是該方程的根；乙：x=3是該方程的根；

丙：該方程兩根之和為2；丁：該方程兩根異號(hào).

如果只有一個(gè)假命題，則該命題是( ).

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

分析：對(duì)于涉及方程的命題真假的判斷，破解的關(guān)鍵就是進(jìn)行合理的邏輯推理.對(duì)甲、乙、丙、丁分別假設(shè)是假命題進(jìn)行分類討論，結(jié)合已知條件求出方程的兩根，再結(jié)合各命題的真假進(jìn)行判斷.

解析：若甲是假命題，則乙、丙、丁是真命題，則關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的一根為3，由于兩根之和為2，則該方程的另一根為-1，兩根異號(hào)，合乎題意；

假若乙是假命題，則甲、丙、丁是真命題，則x=1是方程x2+ax+b=0的一根，由于兩根之和為2，則另一根也為1，兩根同號(hào)，不合乎題意；

假若丙是假命題，則甲、乙、丁是真命題，則關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的兩根為1和3，兩根同號(hào)，不合乎題意；

假若丁是假命題，則甲、乙、丙是真命題，則關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的兩根為1和3，兩根之和為4，不合乎題意.

綜上所述，甲命題為假命題.故選：A.

點(diǎn)評(píng)：邏輯推理在高考數(shù)學(xué)命題中的具體表現(xiàn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)發(fā)現(xiàn)和提出命題；(2)掌握推理的基本形式和規(guī)則；(3)探索和表述論證的過程；(4)構(gòu)建命題體系；(5)表達(dá)與交流.

5 數(shù)學(xué)運(yùn)算

例4(2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬演練(八省聯(lián)考)數(shù)學(xué)·17)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+2=2an+1+3an.

(1)證明：數(shù)列{an+an+1}為等比數(shù)列；

分析：第(1)問證明等比數(shù)列比較容易；而第(2)問求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以合理借助第(1)問的結(jié)果，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式的變形，從而破解相關(guān)問題.

解析：(1)由an+2=2an+1+3an，可得an+2+an+1=3an+1+3an=3(an+1+an).因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，則有a1+a2>0，所以數(shù)列{an+an+1}是以a1+a2為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列.

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算在高考數(shù)學(xué)命題中的具體表現(xiàn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)理解運(yùn)算對(duì)象；(2)掌握運(yùn)算法則；(3)探索運(yùn)算思想；(4)設(shè)計(jì)運(yùn)算程序.

6 數(shù)學(xué)建模

例5(2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬演練(八省聯(lián)考)數(shù)學(xué)·6)(1+x)2+(1+x)3+……+(1+x)9的展開式中x2的系數(shù)是( ).

A.60 B.80 C.84 D.120

分析：利用等比數(shù)列加以數(shù)學(xué)建模，通過轉(zhuǎn)化法破解本題的關(guān)鍵是巧妙借助二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式規(guī)律，結(jié)合等比數(shù)列的定義以及求和公式進(jìn)行求和處理，再結(jié)合和式的特征，通過確定相關(guān)二項(xiàng)展開式的系數(shù)來達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的.

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)建模在高考數(shù)學(xué)命題中的具體表現(xiàn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)發(fā)現(xiàn)和提出問題；(2)建立模型；(3)求解模型；(4)檢驗(yàn)結(jié)果和完善模型.

7 數(shù)據(jù)分析

點(diǎn)評(píng)：數(shù)據(jù)分析在高考數(shù)學(xué)命題中的具體表現(xiàn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)數(shù)據(jù)獲取；(2)數(shù)據(jù)分析；(3)知識(shí)構(gòu)建.

8 結(jié)語

明確高考新動(dòng)向，全面提升核心素養(yǎng)，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，切實(shí)融入數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育，重視閱讀能力的培養(yǎng)，學(xué)會(huì)思考，進(jìn)行有效數(shù)學(xué)建模.在問題思考中進(jìn)行有效數(shù)學(xué)抽象，充分主動(dòng)獲取相關(guān)知識(shí)，進(jìn)行合理邏輯推理，提高邏輯推理與論證能力，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程與變化規(guī)律.通過直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算或數(shù)據(jù)分析等方式，有效理解和掌握相關(guān)知識(shí).真正有利于學(xué)生的各方面發(fā)展，充分培養(yǎng)核心素養(yǎng)，提升能力.