數(shù)學(xué)抽象視角 核心素養(yǎng)引領(lǐng)

?安徽省合肥一六八中學(xué) 張 禹

1 引言

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)新課標(biāo)中創(chuàng)新性指出的六大核心素養(yǎng)之一，是指舍去數(shù)學(xué)問題的一切外在的物理屬性，進(jìn)而揭示數(shù)學(xué)問題本質(zhì)與數(shù)學(xué)研究對象的一種基本素養(yǎng).數(shù)學(xué)抽象是借助多個(gè)層面的視角，綜合問題情境抽象出問題的一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)等，應(yīng)用數(shù)學(xué)語言予以表征，為數(shù)學(xué)問題的解決提供條件，是貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的一條隱形、思維性的鏈條.下面結(jié)合2021年高考數(shù)學(xué)真題，從多個(gè)視角層面，合理抽象出數(shù)學(xué)的概念、命題、方法和體系，闡述數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)與滲透方法，引領(lǐng)與指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)，拋磚引玉.

2 借助創(chuàng)新定義進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象

例1(2021年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第12題)(多選題)設(shè)正整數(shù)n=a0·20+a1·21+……+ak-1·2k-1+ak·2k，其中ai∈{0，1}，記ω(n)=a0+a1+……+ak，則( ).

A.ω(2n)=ω(n)

B.ω(2n+3)=ω(n)+1

C.ω(8n+5)=ω(4n+3)

D.ω(2n-1)=n

分析：根據(jù)創(chuàng)新定義進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，借助相應(yīng)的創(chuàng)新公式，結(jié)合各選項(xiàng)中的取值情況合理分析.

解析：由于2n=a0·21+a1·22+……+ak-1·2k+ak·2k+1，則有ω(2n)=ω(n)=a0+a1+……+ak，故選項(xiàng)A正確；

當(dāng)n=2時(shí)，2n+3=7=1·20+1·21+1·22，可得ω(7)=3，而2=0·20+1·21，則有ω(2)=0+1=1，所以ω(7)≠ω(2)+1，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

由于8n+5=a0·23+a1·24+……+ak·2k+3+5=1·20+1·22+a0·23+a1·24+……+ak·2k+3，可得ω(8n+5)=a0+a1+……+ak+2，

而4n+3=a0·22+a1·23+……+ak·2k+2+3=1·20+1·21+a0·22+a1·23+……+ak·2k+2，

所以ω(4n+3)=a0+a1+……+ak+2=ω(8n+5)，故選項(xiàng)C正確；

由于2n-1=1·20+1·21+……+1·2n-1，可得ω(2n-1)=n，故選項(xiàng)D正確.

故選擇答案：ACD.

點(diǎn)評：信息創(chuàng)新的多選題，往往借助創(chuàng)新信息給出合理創(chuàng)設(shè)，解決此類問題的關(guān)鍵是合理分析與理解相關(guān)題目條件中的創(chuàng)新信息，理解與掌握“新信息”的實(shí)質(zhì)，借助數(shù)學(xué)抽象得出新概念、新公式、新運(yùn)算、新方法、新對應(yīng)法則等創(chuàng)新元素，用合適的數(shù)學(xué)思維與方法去理解與應(yīng)用“新信息”要素，挖掘隱含其中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、思想方法和基本技能等，合理轉(zhuǎn)化，巧妙應(yīng)用.

3 借助數(shù)學(xué)公式進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象

分析：合理借助題目條件中的奇函數(shù)的性質(zhì)以及抽象函數(shù)的關(guān)系式f(1+x)=f(-x)，加以數(shù)學(xué)抽象，通過邏輯推理與轉(zhuǎn)化，確定函數(shù)的周期性，再結(jié)合所求函數(shù)值加以變形與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得以邏輯推理與化歸.

解析：由于f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則有f(-x)=-f(x).

結(jié)合f(1+x)=f(-x)，可得f(1+x)=-f(x).

所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x)，即函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù).

故選擇答案：C.

點(diǎn)評：借助奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合抽象函數(shù)奇偶性的定義，并利用抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式加以數(shù)學(xué)抽象，進(jìn)而有效合理轉(zhuǎn)化與變形，確定抽象函數(shù)的周期是破解的關(guān)鍵一環(huán)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行合理變形，巧妙求值.

4 借助性質(zhì)特征進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象

例3(2021年高考數(shù)學(xué)上海卷第12題)已知ai∈N*(i=1，2，……，9)，對ak=ak-1+1或ak=ak+1-1(2≤k≤8)中有且僅有一個(gè)成立，且a1=6，a9=9，則a1+a2+……+a9的最小值為________.

分析：基于對題目條件的直觀理解，結(jié)合任意相鄰三項(xiàng)中僅有兩項(xiàng)是相鄰正整數(shù)，從數(shù)列中相關(guān)項(xiàng)的性質(zhì)特征視角切入，結(jié)合數(shù)列從前到后(或從后到前)的不同情況分類討論，逐一確定數(shù)列中各項(xiàng)的取值情況與相互數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而加以求和處理，通過各項(xiàng)的取值條件確定對應(yīng)的和式的最小值，比較兩者不同情況下所得的最小值，即可得所求的答案.

解析：由題可知，任意相鄰三項(xiàng)中僅有兩項(xiàng)是相鄰正整數(shù).

(1)若a2=a1+1=7，則a3≠8，a4=a3+1，a5≠a3+2，a6=a5+1，a7≠a5+2，a8=a7+1.

所以a1+a2+……+a9=6+7+a3+(a3+1)+a5+(a5+1)+a7+(a7+1)+9=25+2(a3+a5+a7)≥25+2(1+1+1)=31,此時(shí)a3=a5=a7=1，a4=a6=a8=2時(shí)取等號.

(2)若a8=a9-1=8，則a7≠7，a6=a7-1，a5≠a7-2，a4=a5-1，a3≠a5-2，a2=a3-1.

所以a1+a2+……+a9=6+(a3-1)+a3+(a5-1)+a5+(a7-1)+a7+8+9=20+2(a3+a5+a7)≥20+2(2+2+2)=32，此時(shí)a3=a5=a7=2，a4=a6=a8=1時(shí)取等號.

綜上所述，a1+a2+……+a9的最小值應(yīng)該是31.故填答案：31.

點(diǎn)評：通過數(shù)列中相關(guān)項(xiàng)的性質(zhì)特征分析處理，充分領(lǐng)會題目創(chuàng)新定義的實(shí)質(zhì)，抓住數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)之間的關(guān)系建立關(guān)系式.正確分析題意，抽象出問題的性質(zhì)特征，這是破解此類問題的關(guān)鍵所在.

5 借助圖形直觀進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象

例4(2021年高考數(shù)學(xué)全國甲卷文、理科第2題)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖，根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是( ).

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

分析：利用頻率分布直方圖中頻率的求解方法，通過直觀圖形加以數(shù)學(xué)抽象，進(jìn)而求解頻率即可判斷選項(xiàng)A，B，D，利用平均值的計(jì)算方法，即可判斷選項(xiàng)C.

解析：對于選項(xiàng)A，該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率約為(0.02+0.04)×1×100%=6%，故選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)B，該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率約為(0.04+0.02×3)×1×100%=10%，故選項(xiàng)B正確；

對于選項(xiàng)C，估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68>6.5，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)D，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的頻率約為(0.1+0.14+0.2+0.2)×1=0.64>0.5，故估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間，故選項(xiàng)D正確.

綜上分析，故選擇答案：C.

點(diǎn)評：該題以我國脫貧攻堅(jiān)工作取得全面勝利和農(nóng)村振興為背景，通過圖表給出了某地農(nóng)戶家庭收入情況的抽樣調(diào)查結(jié)果，以此設(shè)計(jì)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，以及分析問題的能力與數(shù)據(jù)處理能力，解題的關(guān)鍵是掌握頻率分布直方圖中頻率的求解方法以及平均數(shù)的計(jì)算方法.

6 借助方法歸納進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象

分析：合理分析題目情境，抓住實(shí)質(zhì)進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，通過三角函數(shù)問題的逆向思維，利用三角函數(shù)圖象的平移變換的逆向操作過程來分析與處理，進(jìn)而得以確定原三角函數(shù)的解析式.

故選擇答案：B.

點(diǎn)評：根據(jù)題目條件進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，采用逆向思維，結(jié)合三角函數(shù)的圖象平移變換規(guī)律加以分析，分步處理，一步一步到位，合理化簡，思路自然，解法常規(guī).方法技巧合理科學(xué)，思維方法簡捷.

借助高考真題實(shí)例多視角層面展示，在數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)抽象能合理有效抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念、公式、命題、性質(zhì)、圖形、方法和思維體系等，養(yǎng)成分析問題、思考問題、探究問題等的一般性習(xí)慣，進(jìn)一步歸納總結(jié)，有效把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)屬性，全面抽象概括、以簡馭繁，進(jìn)而有效借助數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)與思維方式來思考、分析與解決問題，優(yōu)化思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)能力.