基于圓管層流模型的無損流動條件分析

楊成斌

（武警海警學(xué)院 機電管理系，浙江 寧波 315000）

在現(xiàn)實中常見的流體運動，不管流動是處于低雷諾數(shù)的層流狀態(tài)，還是高雷諾數(shù)下的湍流狀態(tài)，都必然伴隨著能量損失。造成這種不可避免的能量損失的罪魁禍?zhǔn)?，則是流體與約束壁面之間的摩擦力，以及流體內(nèi)部的內(nèi)摩擦力。如何降低流動損失，提高流體輸送過程的能量利用效率，顯然是一個值得關(guān)注的問題。而現(xiàn)有的研究往往從工程實用性出發(fā)，認(rèn)為管道與流體之間的摩擦是不可避免的，因而沒有對絕對光滑壁面的理想情況及其對流體能量損失的影響進行詳盡地分析，如文獻[1-2]。另外，如果能從理論上明確產(chǎn)生無損流動的條件，從而認(rèn)為創(chuàng)造出某種無損流動的環(huán)境，即使這種環(huán)境條件的創(chuàng)造十分復(fù)雜，對于研究超高速條件下的流體問題，也是十分有益的。本文以牛頓內(nèi)摩擦定律為依據(jù)，建立流管中的層流模型，對低速層流狀態(tài)下的流體運動狀態(tài)進行理論分析，并進一步討論理想光滑壁面對流動狀態(tài)以及流動能力損失的影響。

1 圓管中的層流模型

流體普遍具有粘滯性，而流體的流動通常需要受到呈一定幾何形狀的流道約束，如圓管、管渠等，這導(dǎo)致流體在流動過程中需要不斷克服流道壁面阻力和流體內(nèi)部阻力做功，因而持續(xù)產(chǎn)生能量損失，也稱流動損失[3]。流動損失分為沿程損失和局部損失，沿程損失是由流體與壁面，以及具有不同流速的流層之間的摩擦力引起的。在不考慮局部損失的層流狀態(tài)下，造成流動損失的因素就是摩擦力，包括邊界層與壁面之間的摩擦力，以及不同流層之間的內(nèi)摩擦力。根據(jù)牛頓內(nèi)摩擦定律，層流狀態(tài)的流體流動時，其流層間的內(nèi)摩擦力與速度梯度、流體粘度、接觸面積以及流體壓力之間的關(guān)系如下：

（1）內(nèi)摩擦力與流層間的速度梯度du/dy成正比；

（2）內(nèi)摩擦力與流體的動力粘度μ成正比；

（3）內(nèi)摩擦力與流層的接觸面積A的大小成正比；

（4）內(nèi)摩擦力與流體的壓力大小無關(guān)。

根據(jù)以上關(guān)系，流體內(nèi)摩擦力F的數(shù)學(xué)表達式可以寫成

對于表面積為A的流層，作用在單位面積上的內(nèi)摩擦力，也即作用在微元流體上的切應(yīng)力為

考慮一段在圓管中做層流運動的高壓低速流體，假設(shè)流體的壓力足夠大，可以忽略重力對流線分布的影響，因而其中縱剖面上的速度分布如圖1所示。

圖1 圓管中的層流速度分布

2 層流微元的受力情況和運動分析

從圖1可以看出，隨著流層逐漸向管壁靠近，流體的流動速度u越來越小，而緊貼管壁的邊界層的流速則降為0。不妨以某一流層中的流體微元δ為研究對象，分析其受力與運動情況。流體微元在其所處流層中以速度uδ做勻速流動，因而該流體微元處于受力平衡狀態(tài)。由于緊貼δ且更靠近管道中心的下方流層流速更高，在流體粘滯性的作用下，下方流層對微元δ所在流層會產(chǎn)生與流動方向相同的內(nèi)摩擦力，該內(nèi)摩擦力作用在微元δ上的切應(yīng)力τ為

方向如圖1所示，該切應(yīng)力為驅(qū)使流體微元δ前進的動力。而緊貼流體微元δ且更靠近管壁一側(cè)的上方流層流速更低，對微元δ所在流層產(chǎn)生與流動方向相反的內(nèi)摩擦力，該內(nèi)摩擦力作用在微元δ上的切應(yīng)力τ′為

切應(yīng)力τ′的方向與流動方向相反，因而是阻礙流體微元δ前進的阻力。

對于邊界層中的流體微元，其運動速度為0，因而也處于受力平衡狀態(tài)，此時流體微元所收到的驅(qū)動切應(yīng)力τ0仍然來自緊貼邊界層且更靠近中心的下方流層，但阻礙切應(yīng)力τ0′則來自粗糙管壁所產(chǎn)生的靜摩擦力，如圖2所示。

圖2 邊界層流體微元的受力情況

3 無損流動條件分析

3.1 圓管中的無損流動條件分析

接下來我們在上述模型的基礎(chǔ)上分析，當(dāng)管壁摩擦系數(shù)為0的絕對光滑壁面時，流體微元的運動情況將會如何變化。

假設(shè)在上述層流模型中，圓管內(nèi)壁突然從粗糙避免突然變?yōu)槟Σ料禂?shù)為0的無限光滑壁面。仍以邊界層中流體微元為分析對象，由于此時管壁的摩擦系數(shù)突然降低為0，原來作用于流體微元的阻礙切應(yīng)力τ′瞬間消失，而下方流層所產(chǎn)生的驅(qū)動切應(yīng)力τ0并沒有發(fā)生變化。因此，該流體微元的受力情況不再平衡，從而在驅(qū)動力的作用下加速流動。顯然，隨著邊界層流速逐漸提高，其與相鄰流層之間的速度差du逐漸縮小。當(dāng)du降低為0，也即邊界層與下方流層的速度達到一致時，驅(qū)動切應(yīng)力τ0變?yōu)?，流體微元將停止加速，開始勻速流動。此時，原先的靜止邊界層將成為流動邊界層，其流速則與其相鄰流層一致。

當(dāng)流動邊界層的流速與下方的相鄰流層達到一致后，對于緊鄰邊界層的下方流層，由于其與邊界層之間的速度差du不復(fù)存在，導(dǎo)致該下方流層中的流體微元受力也不再平衡，情況與邊界層流體微元的受力情況類似，也就是會在流速更高的更下方流層產(chǎn)生的驅(qū)動切應(yīng)力作用下進行加速流動，直到流層間速度梯度消失為止。與此同時，下方流層的速度提高后，又會重新使得上方的流動邊界層受力不平衡，從而使流動邊界層的速度進一步提高，直到邊界層、緊鄰下方流層、更下方流層這3個流層速度達到一致。

上述由流體微元受力不平衡引起的流層加速過程將自邊界層向流束中心依次傳遞，反復(fù)進行，使所有流層的流速趨于均勻化，直到所有流層的流速達到一致為止，此時其流速分布將如圖3所示。

圖3 光滑管壁條件下的流速分布

3.2 對無損流動條件的擴展

當(dāng)約束流體的管壁從粗糙狀態(tài)逐漸向絕對光滑狀態(tài)趨近時，圓管內(nèi)流體的流速分布情況將從圖1所示的分布情況逐漸過渡到圖3所示的分布情況。在這一變化過程中，隨著流速分布的逐漸均勻化，相鄰流層之間的速度梯度越來越小，層流的沿程能量損失也將逐漸減小，當(dāng)圓管的管壁變成絕對光滑理想壁面時，層流的沿程能量損失將降低為0，所有流層的速度均勻一致，以至于流體的流動狀態(tài)在事實上已不再是“分層”的流動。此時，圓管中的流體將處于不分層的無損流動狀態(tài)。

以上分析雖然是以圓管中的層流模型為基礎(chǔ)的，但可以擴展到任意截面形狀的約束管壁。因為根據(jù)分析可知，導(dǎo)致層流體的能量產(chǎn)生沿程阻力損失的根本原因，是依附于粗糙管壁而形成的流速為0的靜止邊界層。正是因為靜止邊界層的存在使得流體在流動過程中出現(xiàn)了“分層”流動。在分層狀態(tài)下，由于流體固有的粘滯性，相鄰流層之間產(chǎn)生的速度梯度就激勵出了流體的內(nèi)摩擦阻力，從而產(chǎn)生了沿程阻力損失。沿程阻力損失的發(fā)生與否，并不取決于約束流體流動的管壁的截面幾何形狀，而是取決于約束壁面的摩擦系數(shù)是否為0，因此對于任意截面形狀的管道，只要其與流體相接觸的內(nèi)表面滿足絕對光滑的條件，就可以產(chǎn)生無損流動。

根據(jù)上述分析，可以得到如下結(jié)論：

（1）當(dāng)流體處于低速層流狀態(tài)時，隨著約束壁面摩擦系數(shù)的減小，層流的流速分布將逐漸趨于均勻。

（2）當(dāng)約束流體的管壁達到絕對光滑的理想壁面條件時，流體的流動狀態(tài)將由“分層”的有損流動轉(zhuǎn)變?yōu)椴环謱拥臒o損流動。

（3）在低速流動（不產(chǎn)生漩渦）狀態(tài)下，是否可以產(chǎn)生無損流動與約束流體的管道截面幾何形狀無關(guān)，絕對光滑（摩擦系數(shù)為0）的流體約束壁面是實現(xiàn)無損流動的充分條件。

3.3 無損流動條件的創(chuàng)造

現(xiàn)實世界中的流體通常都是在有摩擦阻力的管道中流動的，因而流動損失似乎是無處不在的，而且只要其流動過程的能量損失可以被限定在一定范圍，即被認(rèn)為是可以接受的。此外，現(xiàn)實中的流體幾乎都是依托于有形的實物管渠流動的，要創(chuàng)造出一種絕對光滑的管道也是不可能的。那么，在客觀條件的制約下，我們將如何去創(chuàng)造出無損流動的條件呢？

由于有形的實體材料制成的管道不可能完全沒有摩擦阻力，因此，如果要創(chuàng)造滿足無損流動條件的流動環(huán)境，就必須擺脫對有形體的實物材料的依賴。另外，若有一段流體處于三面約束，一面向大氣敞開的流動狀態(tài)，也要考慮空氣的摩擦系數(shù)帶來的阻力影響?；谶@兩方面的考慮，為達到無損流動狀態(tài)，可以設(shè)想在真空環(huán)境中，以電磁場為約束力而形成的流動環(huán)境。

假設(shè)有這樣一段處于真空環(huán)境中的被充分磁化的流體，流體的流動方向一定。為了達到無損流動的條件，用一定強度的電流在其周圍空間激勵出足夠強度的磁場。這個磁場的分布，使得在磁場空間內(nèi)以一定初速度流動的流體受到約束，從而使流體在流動過程中，以某一不變的截面幾何形狀（比如圓形）被約束起來，就像以一定的壓力在有形的管道內(nèi)流動一樣。此時，一方面流體處于真空環(huán)境，因而流動過程不受空氣阻力的影響；另一方面，由于約束流體截面形狀并非有形的管道壁面，而是磁場，因而也沒有摩擦阻力。這樣，流體就相當(dāng)于在由磁場規(guī)定的無形“管道”中流動，且滿足無損流動條件。

3.4 無損流動的應(yīng)用分析

雖然現(xiàn)實中的有形管道都帶有摩擦阻力，而前述用于創(chuàng)造無損流動的真空磁場環(huán)境實現(xiàn)起來也十分復(fù)雜，但這并不妨礙探索無損流動條件的意義。在一些特定的應(yīng)用背景下，創(chuàng)造性地運用無損流動條件，可以實現(xiàn)一些特殊的需求。例如，當(dāng)一段流體在真空磁場環(huán)境中處于無損流動時，由于沒有因自身流動而產(chǎn)生的額外損失，其流動速度就是初始速度的完整延續(xù)和準(zhǔn)確反映。根據(jù)這一原理，可以反過來推算賦予該段流體初始動量的力的大小，這對于高精度地測量一些只產(chǎn)生瞬間短暫作用的沖擊力是很有幫助的。

此外，由于處在無損流動狀態(tài)的流體本身在加速過程中不會產(chǎn)生熱量，理論上可以通過電磁場將其不斷加速，甚至加速到接近光速，這對于研究近超高速條件下的流體問題是十分有意義的。

4 結(jié)束語

本文基于一個簡單的圓管層流模型，結(jié)合流體內(nèi)摩擦阻力產(chǎn)生的條件，從理論上分析了處于層流運動的流體要達到無損流動所需要的條件。根據(jù)分析可知，對于低速層流運動的流體，絕對光滑的理想壁面是實現(xiàn)無損流動的充分條件。當(dāng)所有流層的流速完全一致后，流層與流層之間已經(jīng)不存在內(nèi)摩擦力，而管壁與邊界層之間也不存在摩擦力，因而流體在流動過程中，將不再有沿程能量損失，從而進入一種無損流動狀態(tài)對于做層流運動的流束。理論上講，如果能將約束流體的管道壁面變成接近無限光滑的壁面，則可以大大降低其流動過程中的能量消耗，使其接近無損流動。然而，創(chuàng)造無損流動環(huán)境的意義遠不止于簡單的降低能耗。現(xiàn)實中常用的工業(yè)管道都是具有一定粗糙度的管子，不可能達到無限光滑的條件，而工程中的流體輸送一般也不要求將流動損失降到近乎為零，然而這并不妨礙無損流動條件分析的現(xiàn)實意義。但在一些特殊的場合，如高精度復(fù)雜儀器設(shè)備中，不排除需要創(chuàng)造無損流動條件的可能性。如何實現(xiàn)無損流動所需要的絕對光滑壁面無疑是一個難題，這樣的壁面或許難以通過改善管道材料的方法解決，但卻可以通過電磁場約束的方式創(chuàng)造出來。通過對流體進行磁化處理，使其能夠在圓管形的磁場約束力空間內(nèi)低速流動，就可以實現(xiàn)無損流動。本文提出的無損流動條件實際實現(xiàn)起來仍然是十分復(fù)雜的，但并非完全不可能的，而創(chuàng)造出支持無損流動的真空磁場環(huán)境，或近乎無損流動的環(huán)境，理論上可以實現(xiàn)對一段流體的無限加速，這對于研究超高速條件下的流體問題將是十分有意義的。