一道極限題的十一種解法

曾 亮，高德超

（廣東理工學(xué)院 基礎(chǔ)課教學(xué)研究部，廣東 肇慶 526100）

極限理論是微積分學(xué)的理論基礎(chǔ)，極限方法是微積分學(xué)的基本分析方法[1]，掌握好極限方法對學(xué)好微積分具有重要的意義。由于極限方法的多樣性和分散性，尤其是0/0型極限，很多學(xué)生在初學(xué)時感覺不好掌握，所以教師在教學(xué)的某個階段，有必要對該類型極限的常用方法做個總結(jié)。筆者在復(fù)習(xí)和總結(jié)0/0型極限的常用方法時，以一道簡單極限題為例，給出了十一種解法，串聯(lián)了所學(xué)極限的常用方法，并對使用各種方法的關(guān)鍵點(diǎn)和注意事項(xiàng)做了說明，不僅激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)極限的興趣，達(dá)到梳理鞏固所學(xué)知識點(diǎn)的目的，還鍛煉了學(xué)生的發(fā)散思維能力[2]。

下面，先給出一個本文將要用到的結(jié)論。

注使用兩邊夾準(zhǔn)則之前，可以通過繪圖、取特殊值等方法預(yù)先估計所求極限的結(jié)果，然后再重點(diǎn)研究放縮技巧。需避免過度放縮，以保證不等式兩端的極限值相等。

解法2（利用極限的四則運(yùn)算法則和第一個重要極限）：

注若將所求極限看作為兩函數(shù)之和（或差）的極限，則根據(jù)極限的四則運(yùn)算法則，必須要求兩函數(shù)的極限都存在。

解法3（提取公因式和利用等價無窮小代換）：

注由于等價無窮小代換一般只能對乘積的因子代換，所以對于函數(shù)和差形式可考慮將其化為乘積形式，其中比較常用的方法就是提取公因式。對于此題，除了提取公因式sinx，還可以提取公因式sin2x。

解法4（利用和差化積公式和等價無窮小代換）：

注對于正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的和差形式，若不方便使用提取公因式化乘積形式的方法，還可以利用和差化積公式化為乘積形式。

解法5（利用等價無窮小代換）：

注對于無窮小的和差形式，除了化為乘積形式之外，還可以考慮是否滿足引理1的條件。若滿足，則可以做整體代換。

解法6（利用泰勒公式）：

注當(dāng)函數(shù)和差形式不能直接利用或不方便利用等價無窮小代換時，可以考慮利用泰勒公式展開，階數(shù)的展開應(yīng)遵循“上下同階”原則和“冪次最低”原則[4]。

解法7（利用導(dǎo)數(shù)的定義）：

注當(dāng)極限表達(dá)式容易變形為某函數(shù)的增量與自變量的增量的比值時，則可以考慮利用導(dǎo)數(shù)的定義計算所求極限。

解法8（利用洛必達(dá)法則）：

注利用洛必達(dá)法則之前，必須判別所求極限是否滿足洛必達(dá)法則的使用條件。

解法9（利用拉格朗日中值定理）：

令f(t)=sint，顯然f(t)在閉區(qū)間[x,2x]（或[2x,x]）上連續(xù)，在開區(qū)間(x,2x)（或(2x,x)）內(nèi)可導(dǎo)，且計算有f′(t)=cost.由拉格朗日中值定理得：

注當(dāng)極限表達(dá)式的分子或分母為兩同類函數(shù)之差的形式時，可以考慮利用拉格朗日中值定理求極限。

解法10（利用柯西中值定理）：

令f(t)=sint，g(t)=t，則f′(t)=costg′(t)=1.顯然f(t)和g(t)在閉區(qū)間[x,2x]（或，[2x,x]）上連續(xù)，在開區(qū)間(x,2x)（或(2x,x)）內(nèi)可導(dǎo)，且g′(t)在(x,2x)（或(2x,x)）內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零，則由柯西中值定理可得：

注柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，當(dāng)極限表達(dá)式的分子和分母都可以表示為兩同類函數(shù)之差的形式且使用拉格朗日中值定理失效時，可考慮使用柯西中值定理。

解法11（利用積分中值定理）：

注對表達(dá)式含有積分的極限，可利用積分中值定理將其轉(zhuǎn)化為一般的極限（不含積分），再利用其他方法求解，但要注意中值點(diǎn)在所在區(qū)間的任意性。

針對極限方法的多樣性，無論教師在教學(xué)中還是學(xué)生在平時學(xué)習(xí)中，應(yīng)挖掘好題，注重一題多解，有助于打破思維定勢，提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力和發(fā)散思維能力，這樣在面對各種極限題時，總能找到最合適的求解方法。