熱/聲耦合方程的解耦分析和數值求解

朱麗艷 鄧又軍 段超華 李滔

(中南大學數學與統計學院,分析數學及其應用湖南省重點實驗室,長沙,410083)

1 引言

熱彈性力學作為固體力學的一個分支,具有重要的工程實際意義,其耦合理論受到了國內外學者的關注和研究[1,2].本文研究均勻各向同性介質中的相互耦合的熱彈性波動方程和熱傳導方程的解耦分析和有限差分法的數值實現.相對于其他方程而言,雙曲型方程的數值求解存在諸多困難,如出現數值振蕩現象,難以得到穩定的差分方法[3].孫衛濤在[4]中給出了二維均值同性介質彈性波動方程的差分格式,得到了顯示差分格式,并分析了穩定性條件.對于熱聲耦合下的熱彈性波動方程,并未有學者進行差分研究.目前波動方程的數值方法主要有偽譜法[5],有限元法[6],邊界元法[7],譜元法[8],有限差分法等.有限元法和有限差分方法相比,有限元法耗時長,而有限差分法具有簡單靈活、計算效率高以及占用內存小等優勢,廣泛應用于地震波場數值模擬[9].隨著科研及工程應用中對數值模擬精度的要求不斷提高,近年來,傳統有限差分法在數值頻散、穩定性方面的不足逐漸顯現.緊致差分格式是一種精度和分辨率高的格式,并且具有很好的穩定性[10].

本文參考周誠堯等[9,11,12]對地震波方程的五點CDD8 差分格式,以及[3]中數值黏性修正理論,推導得到數值黏性項,并使用迭代的方法求取四階導和帶混合項的高階導,對CDD8 格式進行推廣,對熱聲耦合的熱彈性波動方程進行差分實現.

2 耦合原理

在高溫固體介質內部,聲波的傳播受到熱聲固多物理場控制,由熱彈性力學理論,控制方程由相互耦合的熱傳導方程和熱彈性動力學方程組成.

2.1 熱彈性波動方程

張量形式的熱彈性動力學方程由質點動力學方程、幾何方程以及熱彈性本構方程耦合而成:

其中ui為質點位移?σij,?ij分別為應力和應變張量?ρ為材料密度?fi為外界施加的激振力?Dijkl為材料的彈性模量張量?βij為熱力耦合張量,表示增加單位溫度時壓應力的增量?T為溫度.

將本構方程、幾何方程代入質點動力學方程,得到各向異性介質中的波動方程:

對于均質的各向同性介質,熱力耦合張量βij以常數β表示,當不存在外力作用時,得到均質各向同性介質中的熱彈性波動方程:

其中,

是拉普拉斯算子?

是體積應變?

是體積應變的梯度?β?T為耦合項,表示在非均勻溫度場影響下,由熱膨脹產生的體積力源項.

2.2 熱傳導方程

根據熱固耦合原理,結構變形會對熱量傳遞過程產生影響,熱傳導方程可表示為

式中,cv為材料定容比熱容,r為熱源,kij為導熱系數張量.

對于均質各向同性介質,導熱系數張量kij以常數k表示.將幾何方程代入,若不考慮熱源的影響,修正的熱傳導方程可簡化為:

方程(2.1)和(2.2)構成了固體結構內部的波傳播和熱傳導耦合的控制方程,即熱彈性波動方程、熱傳導方程,二者通過介質聲學參數的溫度效應、彈性變形等耦合在一起,大大增加了問題求解的難度.

3 解耦分析

考慮熱彈性波動方程和熱傳導方程在求解過程中時間推進上的不同.當介質的長度為l時,在熱傳導方程中,表征內部溫度場對邊界熱擾動響應的特征時間tc為:

在波動方程中,表征內部應變位移場對邊界擾動響應的特征時間te為:

比較tc與te,二者存在巨大的量級差異,tc遠遠大于te,即溫度場受到結構變形所產生的影響可以忽略不計,因此,固體結構中波動方程與熱傳導方程的雙向耦合,可以解耦為順序耦合.

解耦的計算分析流程可以描述為:首先求解熱傳導方程獲得模型內部瞬態溫度場,進行結構熱分析?然后將溫度場作為附加的熱載荷,在聲擾動的激勵下求解波動方程,得到結構的應變位移場,應變位移場對溫度場的影響忽略不計.計算流程見圖1.

圖1 固體結構中熱/聲耦合分析計算流程

4 有限差分數值求解

熱彈性波動方程存在時間項和空間項的二階導數,差分格式涉及到至少前后三層的時間和空間位移.本文將從時間維度推進計算,在有限差分法的基礎上,引進數值黏性修正手段和五點CDD8 格式提高差分方法的穩定性和精度.利用時間Taylor 方法[3]推導得到數值黏性（修正）項,從而提高差分格式的穩定性.由時間Taylor 方法得到的數值黏性項為時間方向的四階導數,利用方程的等式關系,將時間四階導轉化為空間導數.由于空間四階導的中心差商需要用到前后各兩個點,使得邊界處理更加困難,因此,本文參考[11,12],引入五點CDD8 格式.二維均質各向同性介質,張量形式的熱彈性動力學方程,在不存在外力作用時,可以表示如下:

(4.1)可拆分為以下兩個方程

其中=(u1,u2)u1=u1(t,x1,x2),u2=u2(t,x1,x2),T=T(t,x1,x2).為了表示方便,記=(u,v)u=u(t,x,y),v=v(t,x,y),T=T(t,x,y).上述方程進一步化為:

4.1 網格劃分和時間離散

選定矩形區域[a,b]×[c,d]作為差分區域,對其進行網格劃分:取空間步長h,時間步長τ,網格劃分為:

其中,J1=(b-a)/h,J2=(d-c)/h,xi=a+(i-1)h,i=1,2,···,J1+1,yj=c+(j-1)h,j=1,2,···,J2,J2+1.

差分得到的數值解記作:

4.2 初邊值條件的處理

4.2.1 初值條件的處理

根據初始條件u(0,x1,x2)=φ1(x1,x2),v(0,x1,x2)=φ2(x1,x2),得到第一層(n=1)的函數值:

(4.5)可化為:

由初始條件ut(0,x1,x2)=ψ1(x1,x2),vt(0,x1,x2)=ψ2(x1,x2),用中心差商代替ut,得到:

在(4.6),(4.7)中,令n=1,得

聯立(4.10),(4.8),消去虛擬項,得到第二層(n=2)各網格點上的值的表達式:

同理,聯立(4.11),(4.9),消去虛擬項,得到第二層(n=2)各網格點上的值的表達式:

4.2.2 邊界條件的處理

由邊界條件:

得到邊界點:

4.3 差分實現

首先解熱傳導方程,參考[3]中經典的向前差分法,可得到熱傳導方程的穩定算法,得到的解存為對方程(2.1),(2.2),利用時間Taylor 方法,有

將兩式相加得

對于v,同理可得

這樣相當于給了時間方向四階的精度.利用原方程空間導數和時間導數的關系,把時間導數化為空間導數:

以上得到的空間四階導項和溫度場三階導項為數值黏性（修正）項.

因為邊界處四階導的差分,需要用到更多的點,至少是前后四個點,邊界處理變得更困難,所以用五點CDD8 格式近似代替空間二階導數和四階導數.超緊致有限差分格式在緊致差分格式基礎上發展而來,1998 年KRISHNAN 提出了如下的五點CCD8 格式[13]:

利用上述導數和函數的關系式,可推導導數由函數表示的表達式,從而得到導數的差分.

以x方向為例,說明利用五點CCD8 格式求解公式中u對x的偏導數的過程.

假設U為位移場,A為公式左端的差分系數矩陣,B為公式右端的差分系數矩陣,F為待求位移場空間一階和二階導數矩陣,將上式化成矩陣形式:AF=BU.

·二階導數的求法:

解F=A-1BU,即可求得.其余的帶混合項的高階導數也可以類似求得.

以上,我們得到了所有空間二階導、二階混合項導數、四階導、帶混合項的高階導的差分格式,將其代入公式(4.14),(4.15)便可得到彈性波動方程(2.1)的差分格式.

4.4 算例

4.5 數值求解結果

本文以時間推進的方式進行計算,本節設置數值實驗,觀察算法精度和空間網格的關系,以及誤差隨時間推進是否產生傳遞.

粗網格下數值解和精確解的比較見圖2,其中,空間步長為0.1,時間步長為0.01,運算至n=300,即t=3s 時停止.

細網格下數值解和精確解的比較見圖3,其中,空間步長為0.05,時間步長為0.01,運算至n=300,即t=3s 時停止.

通過比較圖2和圖3,可以看出,誤差隨著空間網格的加密而減小.

細網格下t=5s 時數值解和精確解的比較見圖4,其中,空間步長為0.05,時間步長為0.01,運算至n=500,即t=5s 時停止.

通過比較圖3和圖4,可以看出,誤差和解的大小一起隨著時間的推進而衰減,沒有出現誤差積累的情況,算法在此種網格下是穩定的.

5 結論

1.本文研究了均勻各向同性介質中的相互耦合的熱彈性波動方程和熱傳導方程的解耦和有限差分法的數值實現.根據熱傳導方程和彈性波動方程的特征時間推進上的不同,將雙向耦合解耦為順序耦合,首先求解熱傳導方程,然后將溫度場作為附加的熱載荷,求解熱彈性波動方程.

2.熱傳導方程采用經典的有限差分法進行求解,本文采用顯示向前差分法?然后將數值粘性修正原理及五點CDD8 格式應用到彈性波動方程的有限差分中來,通過Fortran 語言進行編程實現.本文數值結果表明,精度和計算效率都較為理想.

圖2 t=3s 時的數值解求解結果

圖3 網格加密后t=3s 時的數值解求解結果

圖4 網格加密后t=5s 時的數值解求解結果