退相位環境下Werner 態在石墨烯基量子通道中的隱形傳輸*

張樂 袁訓鋒 譚小東

(商洛學院電子信息與電氣工程學院,商洛 726000)

基于有效低能理論,研究了退相位環境下Werner 態在石墨烯基量子通道中的隱形傳輸.結果表明,輸出態糾纏度總是隨著輸入態糾纏度的增大而增大,而相應的保真度卻正好相反;對于給定的輸入態,量子通道中的糾纏越大,輸出態的品質就越高.對于石墨烯基量子通道,低溫和弱庫侖排斥勢可以減緩其糾纏資源在退相位環境中的衰減,且溫度低于40 K,電子間庫侖排斥勢小于6 eV 時,輸出態的平均保真度可以達到80%以上.這就說明石墨烯材料在量子信息領域中具有潛在的應用價值.

1 引言

量子隱形傳態(quantum teleportation,QT)是以量子糾纏作為資源,并結合經典通信將一未知量子態從一個地方傳送到另外一個地方的全新通信技術[1].它不僅是一種重要的量子通信方式,而且是發展量子計算[1]和量子網絡[2]的基礎.自1993年Bennett 等[3]首次提出QT 以來,許多新的量子技術也隨之發展起來,如量子中繼[4,5]、測量為基礎的量子計算[6,7]、量子門的遠程傳輸[8,9]以及無需糾纏資源協助的量子態安全傳輸等[10].在過去的十幾年里,QT 已經在各種各樣的物理系統中實現,如光子系統[11-15]、囚禁原子系統[16,17]、原子系綜[18,19]、固態系統[20-22]以及IBM Q Experience 在線量子平臺等[23,24].2017 年,我國建成了全球首條量子通信“京滬干線”,結合“墨子號”量子衛星實現了天地一體化的廣域量子通信體系,并完成了星地間的QT 實驗[25].在這些量子系統中,固態量子系統易與現代微納加工工藝接軌,且大規模可擴展性問題能自然得到解決,是未來發展固態量子計算的重要研究方向.進而固態量子系統中量子信息的傳遞與存儲也引起了人們極大的研究興趣[26].光子到固態物質的量子態傳輸已經在光子比特和固態量子存儲為基礎的實驗中實現[20,27].固態物質間的量子態傳輸也已經在超導量子電路中實現[21].最近,Llewellyn等[28]還在硅基光子芯片間實現了量子隱形傳態和多光子糾纏.這些對于發展固態量子計算與量子通信具有深遠的意義.然而,由于外界環境的影響,量子退相干是所有量子系統所面臨的共同難題.因此,要發展固態量子系統,就必須找到能夠保持較長相干時間的材料.

石墨烯[29]中自旋-軌道耦合和精細作用非常微弱,電子自旋能夠保持較長的相干時間,因此是非常理想的固態量子材料.為了獲得更加優異的電磁學性能,經常把石墨烯裁剪成準一維的結構,即石墨烯納米帶(graphene nanoribbon,GNR).根據邊緣結構的不同,常見的GNR 有呈金屬性但無磁性的扶手椅型GNR和呈半導體性且有邊緣磁性的鋸齒型GNR[30-32].目前實驗上已經能夠制備出高品質的帶有兩個鋸齒端的扶手椅型GNR[33,34].基于有效低能理論[35],Golor 等[36]研究了該GNR兩個鋸齒端間的磁性關聯,結果發現納米帶兩端的自旋是相互糾纏的.進一步,Gr?fe和Szameit[37]發現石墨烯的邊緣幾何形狀對邊緣態中的量子關聯演化有非常顯著的影響.為了探索石墨烯材料在量子信息領域中的應用,相關學者提出在石墨烯量子點[38,39]、石墨烯納米帶量子點[40]和釩基酞菁/石墨烯/SiC(0001)雜化結構中[41]制備自旋量子比特的方案.基于自旋量子比特,Guo 等[42]在“Z”字形GNR 中設計了一種高效率和高保真度的可擴展量子計算方案.后來,Dragoman 等在理論上提出了在室溫條件下實現量子邏輯門的方案和改進的Deutsch-Jozsa 算法[43],并在晶片尺寸的石墨烯基結構上進行了實驗驗證[44].以上結果均表明石墨烯材料在量子信息領域有潛在的應用價值.

考慮到石墨烯諸多優良的物理特性,且帶有兩個鋸齒端的高品質扶手椅型GNR 已經可以在實驗上制備,本文將研究該特殊結構的石墨烯納米帶(special graphene nanoribbon,SGNR)在量子通信方面的應用—在SGNR 構建的量子通道中實現Werner 態的隱形傳輸.考慮到真實的量子通道總是會受消相干環境的影響,簡單起見,本文只考慮退相位環境對量子通道及輸出態的影響.通過計算輸出態的糾纏度和保真度分析輸出態的品質,同時討論溫度和電子間的庫侖排斥勢對輸出態的影響,進而說明該量子通道的魯棒性,推動石墨烯材料在量子信息領域中的應用.

2 模 型

本文考慮的特殊結構的石墨烯納米帶SGNR如圖1(a)所示.Golor 等[36]的工作已經證明,對于帶寬W=3 且帶長L≥8 的SGNR 來講,兩鋸齒端上的自旋粒子間呈反鐵磁耦合,有效相互作用的哈密頓量H0可以用海森伯模型描述[36]:

圖1 退相位環境下Werner 態在石墨烯基量子通道中的隱形傳輸原理圖 (a) 構建量子通道的特殊石墨烯納米帶(SGNR)幾何結構.帶長(L)和帶寬(W)分別用沿著扶手椅形和鋸齒形邊緣的六方格子的數目表征.紅色和藍色小球表示一對呈反鐵磁耦合的電子自旋,它們就是構建量子通道的物理比特.(b) Werner 態的隱形傳輸原理圖.黑色小球(1,2)表示產生Werner 態的物理比特.量子通道的物理比特分別由兩個尺寸完全相同的SGNR 鋸齒端上的糾纏粒子對(3,5)和(4,6)承擔Fig.1.Schematic illustration of teleporting the Werner state via the graphene-based quantum channels under the dephasing environment:(a) Lattice geometry of the special graphene nanoribbon (SGNR) used to form quantum channels.The ribbon length (L) and width (W) are characterized by the number of hexagons along the armchair and zigzag direction,respectively.The red and blue particles denote a pair of spins with the antiferromagnetic coupling,which serve as physical qubits to support quantum channels.(b) Schematic illustration of teleporting the Werner state.The black particles (1,2) are physical qubits used to prepare the Werner state.The physical qubits of quantum channels are supported by two pairs of the entangled spins(3,5) and (4,6) in two same SGNRs,respectively.

其中σL(R)表示作用在左(右)鋸齒端有效自旋粒子上的泡利算符,它的3 個分量分別由表示,Jt*2/U*表示這兩個自旋粒子間的反鐵磁耦合系數.這里t*≈1.29 e-L/1.86eV表示電子從一個鋸齒端跳躍到另外一個鋸齒端所需的能量,U*≈0.1U表示電子之間有效庫侖排斥勢.當系統處于絕對溫度為T的熱平衡態時,密度算符ρT為

其中,β1/(kBT),kB為玻爾茲曼常數,ZTr[exp(-βH0)]為該系統的配分函數.在標準基組{|00〉,|01〉,|10〉,|11〉}下,(2)式可以表示為

這里η是與自旋關聯函數相關的參數,表達式為

其中U表示電子間的庫侖排斥勢.于是,(3)式用自旋關聯函數c可簡化為

利用共生糾纏度Concurrence 可以對任意一個兩體量子態ρ中的量子糾纏進行度量,其定義為[45]

其中λk(k=1,2,3,4)是算符Rρ(σy ?σy)×ρ*(σy ?σy)本征值的方根,且滿足λ1≥λ2≥λ3≥λ4,ρ*是ρ的復共軛.通過計算,得到熱平衡態ρT的糾纏度為

由于SGNR 兩鋸齒端上的自旋粒子間呈反鐵磁耦合,所以自旋關聯函數滿足-1 ≤c≤0.根據(8)式可得,當-1 ≤c＜-1/3 時,一定有CT0 .因此,對于給定的排斥勢U,只要外界溫度不高于臨界值

那么SGNR 兩鋸齒端上的自旋粒子間就一定存在量子糾纏CT.例如,對于寬度W=3 長度L=10 的SGNR,當溫度T5 K,U3 eV 時,將(4)式和(5)式代入(8)式計算可得兩自旋粒子間的糾纏度為CT≈0.9293 .因此可以利用該糾纏粒子對作為量子通道去實現量子態的隱形傳輸.在后續的討論中固定選擇寬度W=3 長度L=10 的兩條SGNR 來構建量子通道.以Werner 態作為輸入態來考察該量子通道的性能.Werner 態的一般形式為[46]ρin(1-b)I+b|Ψ-〉〈Ψ-|,其中|Ψ-〉(|01〉-|10〉)/b∈[0,1].在標準基組{|00〉,|01〉,|10〉,|11〉}下,Werner 態可以表示為

Werner 態的傳輸原理如圖1(b)所示.假設Alice 要將一個未知的Werner 態發送給Bob,首先Alice 對A1和A2處的量子比特(1,3)和(2,4)進行聯合貝爾基測量,結果將等概率地得到表1中16 個態中的一個.標準的貝爾基為E0|Ψ-〉〈Ψ-|,E1|Φ-〉〈Φ-|,E2|Φ+〉〈Φ+|,E3|Ψ+〉〈Ψ+|,其中,|Ψ±〉(|01〉±|10〉)/,|Φ±〉(|00〉±|11〉)/然后,Alice 將測量結果通過經典通道(如打電話、發郵件等方式)告訴Bob.最后,Bob根據Alice 的測量結果分別對B1和B2處的量子比特(5,6)進行相應的幺正操作(見表1),如I|0〉〈0|+|1〉〈1|,σx|0〉〈1|+|1〉〈0|,σyi|1〉〈0|-i|0〉〈1|,σz|0〉〈0|-|1〉〈1|,就能復原Werner 態.從整體效果來看,Werner 態會在量子比特1和2 上消失,最后在量子比特5和6 上出現.以上就是實現兩體量子態隱形傳輸的基本方案,而在實際操作過程中由于環境的影響經常導致量子退相干現象的發生,這會對量子通道帶來極大的影響.常見的退相干環境下的量子通道有振幅阻尼通道,退相位通道和退極化通道[47].本文主要考察退相位環境對SGNR 量子通道的影響.

表1 Alice 執行聯合貝爾基測量所得的16 種可能結果與對應每種測量結果Bob 為復原Werner態所執行的幺正操作Table 1.Sixteen possible results of joint Bell-state measurements performed by Alice and the unitary operations performed by Bob according to each measurement result for restoring the Werner state.

3 結果與討論

假設SGNR 鋸齒端上的兩自旋粒子各自分別與退相位環境作用.在這樣的一個集體退相位環境下,量子態ρT將演化為

在退相位量子通道下,最終的輸出態為[48]

其中,σ0I,σ1σx,σ2σy,σ3σz,E0|Ψ-〉〈Ψ-|,E1|Φ-〉〈Φ-|,E2|Φ+〉〈Φ+|,E3|Ψ+〉〈Ψ+|,|Ψ±〉(|01〉±|10〉)/,|Φ±〉(|00〉±|11〉)/在標準基組{|00〉,|01〉,|10〉,|11〉}下,(13)式可以進一步表示為

為了檢驗輸出態的品質,需要計算保真度,其定義為[49]

其中ρin和ρout分別表示輸入態和輸出態的密度矩陣.將(10)式和(14)式代入(17)式,最終計算得到下面通過數值計算來具體討論退相位環境對SGNR 量子通道的影響.圖2 給出的是退相位環境下通道態的糾纏度隨溫度T和出錯概率p的變化.從可以看出,對于給定的庫侖排斥勢U,在低溫且p比較小(即演化時間比較短)的條件下,通道態的糾纏度幾乎趨近于最大值1;當溫度T升高時,快速衰減,最終當溫度達到某一確定值Tc時衰減為零;隨著p的增大,不斷衰減,最終在p=1 處衰減為零;通過比較圖2(a)—圖2(d)發現,對于給定的p,糾纏消失的臨界溫度Tc會隨著U的增大而減小;當p=0 時,Tc的變化由(9)式決定.為了進一步考察U對量子通道的影響,計算了隨U和p的變化,結果如圖3 所示.當T=0 K 時,如圖3(a)所示,隨著p逐漸衰減,但其完全不受U的影響.通過計算絕對零度下的自旋關聯函數,得到c-1,于是由(15)式可得(1-p)2,這就解釋了圖3(a)的結果.當T=5 K 時,從圖3(b)可以看出,隨著U的增大而減弱.當溫度進一步升高時,通過與圖3(c)和圖3(d)的比較發現:溫度越高,隨U的衰減就越劇烈.這是因為當T和U增大時,由(5)式可知η在不斷減小,于是由(4)式可知自旋關聯函數c在不斷增大.根據(15)式,對于給定的p,是關于c的單調遞減函數,因此高溫和強庫侖排斥勢對有著非常強的抑制作用.這也就意味著,在實際量子通信過程中,要盡量降低溫度或者減弱庫侖排斥勢,這樣才能使量子通道處在比較理想的狀態.

圖2 退相位環境下通道態 的糾纏度 隨溫度T和出錯概率p 的變化 (a) U=2.0 eV;(b) U=3.5 eV;(c) U=4.5 eV;(d) U=6.0 eVFig.2.Concurrence for the channel state in the dephasing environment as a function of temperature T and probability p:(a) U=2.0 eV;(b) U=3.5 eV;(c) U=4.5 eV;(d) U=6.0 eV.

圖3 退相位環境下通道態 的糾纏度 隨庫侖排斥勢U和出錯概率p 的變化 (a) T=0 K,(b) T=5 K,(c) T=10 K,(d) T=15 KFig.3.Concurrence for the channel state in the dephasing environment as a function of Coulomb repulsion U and probability p:(a) T=0 K;(b) T=5 K;(c) T=10 K;(d) T=15 K.

在退相位環境下Werner 態經量子和經典通道的傳輸,最終得到的輸出態的糾纏度隨參數b和出錯概率p的變化如圖4 所示.對于Werner態,當 0≤b≤1/3 時,結合(7)式與(10)式可得C(ρin)0,而當 1/3＜b≤1時,C(ρin)(3b-1)/2 .顯然,輸入態的糾纏度是關于b的單調遞增函數.從圖4(a)可以看出,當T=5 K,U=3.5 eV 時,隨著b的增大而增大,隨著p的增大而不斷衰減;只有當輸入態的糾纏比較魯棒且演化時間比較短的情況下才有較為顯著的糾纏輸出.當T=5 K,U=6.0 eV 時,如圖4(b)所示,被進一步削弱.當T=10 K,U=3.5 eV 時,只有在b=1 且p=0 附近才有微弱的糾纏輸出,見圖4(c).當T=10 K,U=6.0 eV 時,如圖4(d)所示,輸出糾纏0,即在此條件下無法完成糾纏態的傳輸,原因是此時量子通道中已經沒了糾纏資源.

圖4 退相位環境下輸出態 的糾纏度 隨參數b和出錯概率p 的變化 (a) T=5 K,U=3.5 eV;(b) T=5 K,U=6.0 eV;(c) T=10 K,U=3.5 eV;(d) T=10 K,U=6.0 eVFig.4.Concurrence for the output state under the dephasing channel as a function of parameter b and probability p:(a) T=5 K and U=3.5 eV;(b) T=5 K and U=6.0 eV;(c) T=10 K and U=3.5 eV;(d) T=10 K and U=6.0 eV.

圖5 退相位環境下輸出態 的保真度 F(ρin,) 隨參數b和出錯概率p 的變化 (a) T=5 K,U=3.5 eV;(b) T=5 K,U=6.0 eV;(c) T=10 K,U=3.5 eV;(d) T=10 K,U=6.0 eV.Fig.5.Fidelity F(ρin,)for the output state under the dephasing channel as a function of parameter b and probability p:(a) T=5 K and U=3.5 eV;(b) T=5 K and U=6.0 eV;(c) T=10 K and U=3.5 eV;(d) T=10 K and U=6.0 eV.

為了更加客觀地反映SGNR 量子通道的傳輸質量,計算了在此通道下傳輸一個任意Werner 態的平均保真度

圖6 退相位環境下輸出態 的平均保真度 FA(ρin,) 隨出錯概率p和溫度T 的變化 (a) U=2.0 eV;(b) U=3.5 eV;(c) U=4.5 eV;(d) U=6.0 eV.Fig.6.Average fidelity FA(ρin,) of the output state under the dephasing channel as a function of probability p and temperature T:(a) U=2.0 eV;(b) U=3.5 eV;(c) U=4.5 eV;(d) U=6.0 eV.

圖7 退相位環境下輸出態 的平均保真度 FA(ρin,) 隨出錯概率p和庫侖排斥勢U 的變化 (a) T=0 K;(b) T=5 K;(c) T=10 K;(d) T=15 KFig.7.Average fidelity FA(ρin,) of the output state under the dephasing channel as a function of probability p and Coulomb repulsion U:(a) T=0 K;(b) T=5 K;(c) T=10 K;(d) T=15 K,respectively.

4 結論

本文研究了退相位環境下Werner 態在SGNR量子通道中的隱形傳輸.結果表明,輸出態的糾纏度和保真度對量子通道中的糾纏資源以及輸入態的糾纏度有很強的依賴性.對于給定的輸入態,量子通道中的糾纏越大,輸出態的品質就越高;對于給定的量子通道,輸出態的糾纏度總是隨著輸入態糾纏度的增大而增大,而相應的保真度卻總是隨著輸入態糾纏度的增大而減小.由于受退相位環境的影響,量子通道中的糾纏資源會隨著時間演化而不斷損耗,高溫和強庫侖排斥勢會加劇這種損耗,從而導致輸出態的品質下降.但是當溫度小于40 K,且電子間的庫侖排斥勢小于6 eV 時,輸出態的平均保真度總可以達到80%以上,且平均保真度在退相位環境中的衰減并不明顯.因此,SGNR 量子通道在退相位環境下有非常好的魯棒性.特別是對于低溫和微弱的排斥勢,輸出態的平均保真度幾乎接近最大值1.以上結果充分說明石墨烯材料在量子信息領域中具有潛在的應用價值.