非線性光纖中耦合非線性薛定諤方程怪波的研究

雷宇祥，宋 妮，張毅菲，商慧晶

(中北大學 理學院， 太原 030051)

怪波，也稱為畸形波、奇異波，它是海洋里突然出現又很快消失的一種具有時空局域性的巨大水波[1-2]。由于人們對怪波發生的地點、波高等具體信息無法提前知曉，因而海洋怪波巨大的破壞力嚴重影響著船舶的航行安全、海洋工程的建設及相關人員的生命安全。近年來，一些研究者在金融[3]、玻色-愛因斯坦凝聚[4]、流體力學[5]及空間等離子體[6]等領域中發現怪波。在海洋學和非線性光學等領域中，非線性薛定諤(NLS)方程的有理解常被用來分析和研究怪波[7-10]。隨著科技的不斷發展和實際問題的復雜性，多組分耦合非線性薛定諤方程能更好地刻畫非線性現象，且有更豐富的局域波動力學性態。Priya等[11]采用Hirota雙線性法研究了耦合廣義非線性薛定諤方程的局域波解，推導出由該方程的孤子解、呼吸子解構造怪波解的方法。Zhao等[12]利用廣義達布變換研究了二分量耦合非線性薛定諤方程的高階怪波解，發現不同形式的怪波可以同時出現。目前，利用耦合非線性薛定諤方程對怪波深入研究也是許多學者關注的話題。

在非線性光纖中，2個正交偏振電磁波在非線性光纖中的傳播可用耦合非線性薛定諤方程來描述,

(1)

式中：q1,q2是2個相互作用的波包絡函數；變量x代表歸一化距離；t代表延遲時間；星號“*”代表復共軛。方程(1)的最后一項是相干耦合項，且自相位調制系數與交叉相位調制系數不同。

若方程(1)沒有相干耦合項，則為Manakov系統中的二組分耦合NLS方程，Song等[13]利用廣義達布變換計算得到方程的高階局域波解并分析局域波之間的相互作用，He等[14]推導出在特殊條件下方程的非對稱怪波解。基于有相干耦合項的方程(1)，霍叢哲[15]利用達布變換研究該方程的一階對稱怪波解和非對稱怪波解，但未對該方程的高階怪波解進一步研究分析。

本文在一階怪波的基礎上，利用廣義達布變換探究方程(1)的二階怪波解，分析二階怪波的非線性動力學特性。

1 廣義達布變換

方程(1)是可積的，對應的Lax對方程如下：

(2)

式中λ為光譜參數，

這里，I是2階單位矩陣。

假設Φ=(φ,φ,χ,ψ)T是方程(2)在譜參數為λ時對應的解。對Φ做變換Φ[1]=TΦ，T是達布矩陣。構造達布矩陣T=λI-HσH-1，其中

在此基礎上，構造方程(1)的廣義達布變換。

假設Φ=(φ1,φ1,χ1,ψ1)T是方程(2)對應于λ=λ1-iη2的解，η是小參數。在η=0處對Φ1進行泰勒展開，有

(3)

(4)

其中

Φ1[N-1]=(φ1[N-1],φ1[N-1],

χ1[N-1],ψ1[N-1])T

f[N-1]=(φ1[N-1]χ1[N-1]+

(φ1[N-1])2)

d[N-1]=(φ1[N-1]ψ1[N-1]-

(φ1[N-1])2)

2 二階怪波解

(5)

其中，Ci(i=1,2,3,4)是復常數，η是小參數，

M=diag(e-2it,e-2it,e2it,e2it)

在η=0處對Φ(λ)=(φ1,φ1,χ1,ψ1)T進行泰勒展開，有

(6)

利用廣義達布變換，根據方程(4)可知，方程(1)的二階怪波解q1[2],q2[2]形式如下，

(7)

1) 當Ci=0(i=1,2,3)，C4≠0時，q1[2],q2[2]有相同的表達式，方程(1)有一組對稱怪波解。此時q1[2],q2[2]是基本的二階怪波形式，一個大幅值周圍有4個較小幅值，如圖1所示。

圖1 二階怪波等值高線圖

2) 當Ci=0(i=1,2),C3=1,C4=γ1eiθ取不同值時，有q1[2]=q2[2]，是一組對稱怪波解。此時二階怪波由3個一階怪波組成，呈三角形結構分布，且相互影響，如圖2所示。隨著參數θ取值的變化，怪波在時間和空間上的位置也有規律性的變化。

3) 當Ci=0(i=1,4),C3=1,C2=γ2eiθ取不同值時，q1[2],q2[2]有不同的表達式，即q1[2]≠q2[2]，方程(1)有一組非對稱怪波解。此時q1[2],q2[2]與文獻[14]中的一階波形圖相比，在對應位置演化為2組波峰，且在中心處形成一組波峰，但中心不在原點，如圖3所示。在圖3(a)，圖3(b)中，參數取θ=0,γ2=0.5，q1[2]和q2[2]的等值高線圖分別有時間和空間對稱性。在圖3(c)，圖3(d)中，參數取θ=0.5π,γ2=0.5，q1[2]和q2[2]的等值高線圖呈中心對稱分布。

4) 當C2=C4=0時q1[2]和q2[2]經過2次廣義達布變換可得到一階怪波。

圖2 γ1=1,|q1|=|q2|時，二階怪波等值高線圖

圖3 γ2=0.5,|q1|≠|q2|時，二階怪波等值高線圖

3 結論

利用廣義達布變換推導出耦合非線性薛定諤方程N階怪波解的迭代公式，基于一階怪波解的研究，給出了方程對稱二階怪波解和非對稱二階怪波解的表達式。最后通過選擇適當的參數值進行數值模擬研究二階怪波的動力學特性，發現了新結構的二階怪波。這些結果在一定程度上可以解釋海洋怪波的不對稱性。