不確定分數階非線性系統自適應滑模同步控制

高 瑜，李 雄

（1.陜西鐵路工程職業技術學院基礎課部，陜西渭南714000；2.西安歐亞學院數理與信息技術應用中心，陜西西安710065）

近年來，分數階混沌系統成為了最熱門的非線性系統研究的領域，推動了分數階非線性系統穩定性分析及同步控制方法的發展[1-3]。混沌系統同步控制由于在通信領域的廣泛應用得到了研究者的重視，人們相繼提出了很多種分數階混沌系統的同步控制方法[4]，如滑模變結構控制法、自適應控制法、模糊控制法、脈沖控制法和Backstepping控制法等[5-7]。對于不確定分數階非線性系統同步控制也有一些結果[8-9]，如文獻[10]在系統不確定項滿足有界的情況下利用滑模控制實現了不確定分數階Duffing-Holmes系統的同步問題，文獻[11]研究了不確定分數階混沌系統的自適應模糊同步控制問題等。

自適應滑模控制方法常用來研究帶不確定項的分數階非線性系統，并且在穩定性分析中通常構造平方Lyapunov函數。隨著文獻[2]提出了分數階系統的Lyapunov第二方法，對于分數階非線性系統的控制及穩定性分析逐漸成為研究熱點。但平方函數具有非常復雜的分數階導數形式，這也使得分數階非線性系統穩定性分析中無法應用平方Lyapunov函數。所以到目前為止幾乎沒有文獻成功實現了分數階混沌系統自適應滑模控制或同步。隨著研究的深入，許多分數階模型不僅需要滿足漸近穩定，更需要在有限時間內穩定，這也給非線性系統穩定性分析帶來了難度。文獻[12]研究了分數階非線性系統在有限時間內不存在穩定點的問題，推動了非線性系統有限時間穩定性理論的進一步發展。在非線性系統有限時間穩定理論中，文獻[13]通過變量替換和函數構造提出了一個新的非線性系統有限時間穩定的充分條件，具有很強的推廣性，但是只是針對一類整數階非線性系統，對于分數階非線性系統有限時間穩定性理論的研究還尚未深入。

文中主要研究了基于滑模控制的不確定分數階非線性系統同步，首先針對二維分數階混沌系統，通過構造分數階滑模面及分數階微分方程形式的自適應規則，設計了同步控制器，并利用分數階Lyapunov第二方法證明了構造方法的合理性（需要指出的是本文系統中的不確定項可以是完全未知的）。以分數階Duffing-Holmes系統和分數階Van der Pol系統為實例，實現了驅動系統和響應系統的異結構有限時間同步控制（即在有限時間內誤差系統趨于滑模面），驗證了該方法和控制器的有效性。

1　預備知識

分數階微積分概念提出了很多種定義，文中采用Caputo定義作為研究工具。

分數階積分定義為

Caputo分數階微分定義為

其中，Γ（?）為Gamma函數。

當0<α<1時，Caputo分數階微分的解等價于

定義1雙參數Mittag-Leffler函數定義為

其中α,β>0,z為復數，Γ（?）為 Gamma函數，其Laplace變化定義為

其中R（s）為s的實部，λ∈R，L（?）為Laplace變換。

引理1如果那么x（t）在[0,+∞）上單調減少；同理則x（t）在 [0,+∞）上單調增加。

證明只需要證明引理1的前半部分，后半部分證明思路相同。因為,所以一定存在非負可積函數y（t）使得

對上式兩邊同時取α階積分可得

若有t2>t1≥0時，有

這也就證明了x（t）在[0,+∞）上單調減少。

引理2設且具有連續的一階導數，則

其中P為任意的n階正定矩陣。

引理3（分數階Lyapunov第二方法）設原點是如下分數階非線性系統的平衡點：

其中x（t）∈Rn為系統變量，f（t,x（t）為滿足局部Lipschitz條件的非線性函數。若存在Lyapunov函數V（t,x（t）和Κ類函數αi（i=1,2,3）使得

則系統漸近穩定。

引理4若滿足以下等式：

其中x（t）和y（t）∈Rn具有連續的一階導數 ，P,Q∈Rn×n為兩個正定矩陣。若存在正定的矩陣M和正常數h使得

2　問題描述

考慮如下的二維不確定分數階混沌系統

其中α∈（0,1），X（t）=[x1,x2]∈R2為系統輸入變量，f（X,t）∈R為非線性函數，Δf（X）∈R為系統的不確定項，dx（t）∈R為隨機擾動，u（t）∈R為控制變量。

考慮如下的響應系統

其中Y（t）=[y1,y2]∈R2為系統響應變量，g（Y,t）∈R為非線性函數，Δg（Y）∈R為系統的不確定項 ，dy（t）∈R為隨機擾動。

定義如下的同步誤差系統

定義 2.1如果存在正常數T=T（E（0）>0,使得當成立，則誤差系統（3）關于T有限時間穩定。

假設 2.1系統不確定項 Δg（Y）,Δf（X）為有界變量，即存在正常數γ1，使得

假設 2.2系統隨機擾動dx（t）,dy（t）為有界變量，即存在正常數γ2，使得

3　主要結果

3.1　分數階滑模面設計

設計如下的分數階滑模面

當系統發生滑模運動時，需滿足如下條件

通過簡單的證明推導，可以得出上式是漸近穩定的，即誤差系統變量趨于零。

3.2　控制器設計

本文所要討論的問題是如何設計同步控制器，使得誤差系統能在有限時間內達到或趨近于滑模面

由式（4）可以得到，

為了實現同步誤差系統能夠在有限時間內穩定，本文設計如下的自適應規則：

因此，可以設計如下的控制器：

定理1給定初始條件下，設計如上的自適應滑模控制器和自適應規則的作用下，同步誤差系統能夠在有限時間內趨近滑模面，即實現了驅動系統和響應系統同步控制。

證明 構造 Lyapunov函數為V（t）=| |s（t），并對其兩邊同時取α階導數得

將滑模面方程帶入上式中得

由假設2.1和假設2.2可得

其中ξ=min{ξ1,ξ2}。

由上式可以進一步得

對上式兩邊同時取（0,t）上的積分得

4　數值仿真

仿真中驅動系統選取為分數階Duffing-Holmes系統，響應系統選取為分數階Van der Pol系統。系統不確定項與隨機擾動分別選取如下：

選取系統初值

x1（0）=0.2,x2（0）=-0.2,y1（0）=-0.1,y2（0）=0.3.給定參數

由定理1設計如下滑模面與同步控制器：

仿真結果如圖1，圖2，圖3所示。

圖1　同步誤差曲線圖

5　結論

文中研究了不確定分數階非線性系統自適應滑模同步控制，通過構造分數階滑模面以及分數階自適應規則，在滿足系統所有變量有界的情況下，利用Lyapunov函數證明了定理的有效性和魯棒性。基于該理論設計了自適應控制器，實現了二維分數階Duffing-Holmes系統與分數階Van der Pol系統異結構有限時間同步，通過合理選取初值與參數值進行數值仿真，可以得到誤差系統能夠在有限時間內趨于滑模面。該理論的研究有助于掌握分數階非線性系統的相關性質，同步控制方法也具有良好的魯棒性。本文所研究的方法仍需進一步改進，針對不同的階次控制效果可能出現差異性，更嚴格的控制輸入條件下（如帶死區）實現自適應同步控制需要進一步的研究。

圖2　驅動系統和響應系統同步曲線（x1-y1）

圖3　驅動系統和響應系統同步曲線（x2-y2）