基于模糊馬爾可夫鏈的獎(jiǎng)懲系統(tǒng)*

南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 張雨晴 董英華

現(xiàn)有文獻(xiàn)中，通常在一個(gè)精確的模型下對獎(jiǎng)懲系統(tǒng)進(jìn)行研究，忽略了獎(jiǎng)懲系統(tǒng)中的不確定性。本文在索賠次數(shù)服從泊松分布的假設(shè)下，把分布參數(shù)量化成一個(gè)三角模糊數(shù)，將不確定性考慮進(jìn)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)中。利用模糊馬爾可夫鏈來研究獎(jiǎng)懲系統(tǒng)，并通過模糊轉(zhuǎn)移概率矩陣計(jì)算得到模糊穩(wěn)態(tài)概率分布。將其與普通穩(wěn)態(tài)概率分布對比，發(fā)現(xiàn)模糊穩(wěn)態(tài)概率分布的1截集與普通穩(wěn)態(tài)概率分布相等，驗(yàn)證了普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng)是模糊獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的一個(gè)特例。從嚴(yán)厲性方面對獎(jiǎng)懲系統(tǒng)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng)相較于模糊獎(jiǎng)懲系統(tǒng)略嚴(yán)厲些。

在汽車保險(xiǎn)中，通常用獎(jiǎng)懲系統(tǒng)對先驗(yàn)費(fèi)率進(jìn)行調(diào)節(jié)，使得投保人繳納的保費(fèi)反映真實(shí)的風(fēng)險(xiǎn)水平，因此獎(jiǎng)懲系統(tǒng)在車險(xiǎn)費(fèi)率厘定中占據(jù)重要位置。獎(jiǎng)懲系統(tǒng)是根據(jù)保單的歷史索賠數(shù)據(jù)對續(xù)期保費(fèi)進(jìn)行調(diào)整的機(jī)制，即對上年或連續(xù)多年無索賠發(fā)生的投保人，續(xù)保時(shí)降低保費(fèi)；對上年發(fā)生索賠的投保人，續(xù)保時(shí)提高保費(fèi)。在我國，這種制度又稱為無賠款優(yōu)待系統(tǒng)。

現(xiàn)有文獻(xiàn)中，多數(shù)在索賠次數(shù)或索賠額服從一個(gè)精確分布的條件下研究獎(jiǎng)懲系統(tǒng)。Frangos等[1]在泊松-伽瑪分布假設(shè)下，利用先驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)特征和索賠次數(shù)信息結(jié)合廣義線性回歸模型建立獎(jiǎng)懲系統(tǒng)。孟生旺[2]在二項(xiàng)-貝塔分布和負(fù)二項(xiàng)-貝塔分布的假設(shè)下，分別建立獎(jiǎng)懲系統(tǒng)。孟生旺和張永霞[3]在累計(jì)索賠額服從零調(diào)整逆高斯分布的條件下，結(jié)合風(fēng)險(xiǎn)特征信息研究獎(jiǎng)懲系統(tǒng)。對模型中存在的不確定性，Adillon等[4]將參數(shù)量化成模態(tài)區(qū)間，在索賠次數(shù)服從泊松分布的條件下對獎(jiǎng)懲系統(tǒng)進(jìn)行研究。Villacorta等[5]引入模糊數(shù)對索賠次數(shù)分布的參數(shù)進(jìn)行量化。

實(shí)際應(yīng)用中，索賠次數(shù)或索賠額的模型中往往包含不確定性，這種不確定性可能由隨機(jī)性等原因造成的。因此本文在索賠次數(shù)服從泊松分布的假設(shè)下，采用Villacorta等中的方法，將分布參數(shù)量化成三角模糊數(shù)來研究獎(jiǎng)懲系統(tǒng)。下文中，將基于模糊馬爾可夫鏈的獎(jiǎng)懲系統(tǒng)稱為模糊獎(jiǎng)懲系統(tǒng)。在給定轉(zhuǎn)移規(guī)則的條件下，利用模糊轉(zhuǎn)移概率矩陣計(jì)算模糊穩(wěn)態(tài)概率分布。用相對穩(wěn)定平均水平、對新投保人的隱性懲罰和變異系數(shù)指標(biāo)從嚴(yán)厲性方面比較普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng)和模糊獎(jiǎng)懲系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)模糊獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的嚴(yán)厲性略低于普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng)。

1 獎(jiǎng)懲系統(tǒng)

獎(jiǎng)懲系統(tǒng)中包含保費(fèi)等級、獎(jiǎng)懲系數(shù)和轉(zhuǎn)移規(guī)則[3，6]。

(1)保費(fèi)等級。假設(shè)有s個(gè)保費(fèi)等級，對新加入的投保人，進(jìn)入初始保費(fèi)等級。

(2)獎(jiǎng)懲系數(shù)。第i個(gè)保費(fèi)等級的獎(jiǎng)懲系數(shù)為ri(i=1，2，...，s)。保費(fèi)等級越高，獎(jiǎng)懲系數(shù)越高，反之。其中，初始保費(fèi)等級的獎(jiǎng)懲系數(shù)為1。

(3)轉(zhuǎn)移規(guī)則。已知投保人索賠次數(shù)的情況下，決定投保人從原保費(fèi)等級轉(zhuǎn)移到新保費(fèi)等級的規(guī)則。

本文采用常用的-1/+2轉(zhuǎn)移規(guī)則，即投保人在上一投保期無索賠發(fā)生，續(xù)保時(shí)下降1個(gè)保費(fèi)等級，若發(fā)生索賠，那每發(fā)生1次索賠，續(xù)保時(shí)上升2個(gè)保費(fèi)等級。該轉(zhuǎn)移規(guī)則如表1所示（i，j，k均為整數(shù)）：

表1 -1/+2轉(zhuǎn)移規(guī)則Tab.1 -1/+2 transition rules

從表1可以看出，投保人最多上升（下降）到最高（低）保費(fèi)等級。投保人在某一投保期內(nèi)從保費(fèi)等級i轉(zhuǎn)移到等級j的概率Pij(pij≥0)稱為一步轉(zhuǎn)移概率，矩陣P=(pij)稱為轉(zhuǎn)移概率矩陣。保單組合經(jīng)過若干個(gè)投保期后，各保費(fèi)等級的分布將趨于穩(wěn)定，此時(shí)各保單所處狀態(tài)稱為穩(wěn)定狀態(tài)，其概率分布稱為穩(wěn)態(tài)概率分布π=(π1，...，πs)，滿足式(1)[7]：

2 模糊馬爾可夫鏈

2.1 模糊數(shù)

2.2 模糊馬爾可夫鏈

采用模糊馬爾可夫鏈進(jìn)行研究時(shí)，只是在普通馬氏鏈的基礎(chǔ)上，將狀態(tài)變?yōu)槟：隣顟B(tài)或?qū)⑥D(zhuǎn)移概率矩陣變?yōu)槟：D(zhuǎn)移概率矩陣。本文采用后一種方法進(jìn)行研究。

設(shè){Xn，n=0，1，2，...}是一個(gè)馬氏鏈，對應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=(pij)。若P=(pij)中的一些概率pij存在不確定性，則可通過模糊數(shù)來量化。此時(shí)P=(pij)轉(zhuǎn)變成模糊轉(zhuǎn)移概率矩陣其中通過獲得的穩(wěn)態(tài)概率分布稱為模糊穩(wěn)態(tài)概率分布的α截集為滿足

3 實(shí)證分析

本文用澳大利亞某保險(xiǎn)公司一年期的車輛保單數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，該數(shù)據(jù)可從文獻(xiàn)[10]中獲得，數(shù)據(jù)中保單索賠次數(shù)信息如表2所示。

表2 保單索賠次數(shù)信息Tab.2 Number of claims information

計(jì)算得該組數(shù)據(jù)均值約為0.07，方差約為0.077，均值與方差相差較小，可用泊松分布擬合。假設(shè)索賠次數(shù)N服從參數(shù)為λ的泊松分布，即N～P(λ)，概率分布為

用極大似然法求得參數(shù)λ的估計(jì)值為0.07，故本文中的索賠次數(shù)N～P(0.07)。

本文采用我國2015版獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的保費(fèi)等級及獎(jiǎng)懲系數(shù)數(shù)據(jù)（如下表所示）進(jìn)行研究，數(shù)據(jù)可從文獻(xiàn)[11]中獲得。由表1可得獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的具體轉(zhuǎn)移規(guī)則如表3所示。

表3 獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的具體轉(zhuǎn)移規(guī)則Tab.3 Specific transition rules for the Bonus-malus system

表3的獎(jiǎng)懲系統(tǒng)中，投保人的續(xù)期保費(fèi)等級只與當(dāng)期的保費(fèi)等級和索賠次數(shù)有關(guān)。設(shè)Xn表示投保人在第n個(gè)保險(xiǎn)期內(nèi)的保費(fèi)等級，則{Xn，n=0，1，2，...}為一個(gè)馬氏鏈，該馬氏鏈的狀態(tài)空間S為保費(fèi)等級的集合，即S={1，2，...，8}。由表3可得馬氏鏈對應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣為

其中pk=P(N=k)，k=0，...，3，qn=P(N≥n)， n=1，...4。由式(6)得p0=0.9323938，p1= 0.0652676，p2=0.0022844，p3=0.0000533，q1=0.0676062，q2=0.0023386，q3=0.0000542，q4=0.0000009。由式(1)和式(7)得穩(wěn)態(tài)概率分布為π=(π1，π2，π3，π4，π5，π6，π7，π8)

由式（6）得P0=e-λ，在區(qū)間[λL，λU]=[0.068，0.072]內(nèi)所以由式(3)得P0的α截集為因?yàn)镻0=e-λ為非線性函數(shù)，所以采用三角近似法計(jì)算由式(4)得。同理可得：

用R軟件的FuzzyStatProb包可計(jì)算模糊穩(wěn)態(tài)概率分布中的α截集上下界的真實(shí)值，結(jié)合式（1）和式（8）計(jì)算得的近似三角模糊數(shù)如下

表4的α截集的上下界及誤差Tab.4 α-cuts of it's upper and lower bounds and errors

表4的α截集的上下界及誤差Tab.4 α-cuts of it's upper and lower bounds and errors

images/BZ_122_1503_2767_1587_2819.pngimages/BZ_122_1191_2761_1284_2817.pngimages/BZ_122_891_2772_974_2822.pngimages/BZ_122_591_2760_676_2812.pngα 0 0.8461048 0.8544213 0.8461048 0.8544213 0 0 0.25 0.8469736 0.8531283 0.8470724 0.8533098 0.012% 0.021%0.5 0.8480278 0.8522171 0.84804 0.8521982 0.001% 0.002%0.75 0.8490109 0.851098 0.8490075 0.8510867 0.0004% 0.001%1 0.8499751 0.8499751 0.8499751 0.8499751 0 0(errα)(errα)

本文從嚴(yán)厲性方面將普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng)與模糊獎(jiǎng)懲系統(tǒng)進(jìn)行比較。選用相對穩(wěn)定平均水平(RASL)、對新投保人的隱性懲罰(ECL)、變異系數(shù)(CV)指標(biāo)評價(jià)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的嚴(yán)厲性，計(jì)算公式分別為

令標(biāo)準(zhǔn)保費(fèi)為1，則保費(fèi)等級j的保費(fèi)Pj=rjP，j=1，...，8，穩(wěn)態(tài)平均保費(fèi)取三角模糊數(shù)對應(yīng)的非模糊數(shù)計(jì)算模糊穩(wěn)態(tài)平均保費(fèi)根據(jù)表3中的獎(jiǎng)懲系數(shù)和模糊穩(wěn)態(tài)概率分布的結(jié)果計(jì)算得保費(fèi)Pj和非模糊數(shù)π'j如表5所示：

根據(jù)式（9）、式（10）和式（11）并結(jié)合表5中的數(shù)值，得獎(jiǎng)懲系統(tǒng)嚴(yán)厲性的各指標(biāo)值如表6所示

表5 穩(wěn)定狀態(tài)下各變量的數(shù)值Tab.5 Numerical value of each variable in stationary state

表6 獎(jiǎng)懲系統(tǒng)嚴(yán)厲性指標(biāo)值Tab.6 Severity index value of the Bonus-malus system

從表6可以看出，模糊獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的RASL值略高于普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng)，說明在模糊獎(jiǎng)懲系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，投保人所處保費(fèi)等級分布比普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng)略均勻；其ECL值略低于普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng)，說明對新投保人的隱性懲罰略低；其CV值也略低于普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng)，說明普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng)較為嚴(yán)厲些。

4 結(jié)語

對于獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的研究，現(xiàn)有文獻(xiàn)中，大多數(shù)是在具有精確參數(shù)的分布下進(jìn)行的，忽略了模型中的不確定性?？紤]到模型中存在的不確定性，本文將索賠次數(shù)的分布參數(shù)量化成一個(gè)三角模糊數(shù)來研究獎(jiǎng)懲系統(tǒng)。利用模糊轉(zhuǎn)移概率矩陣、三角近似法及FuzzyStatProb包計(jì)算得到模糊穩(wěn)態(tài)概率分布將的結(jié)果與普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率分布π=(πj)對比，發(fā)現(xiàn)的1截集πj(1)與πj相等，驗(yàn)證了普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng)是模糊獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的一個(gè)特例。的0截集給出了穩(wěn)態(tài)概率分布的最大模糊性。

本文從嚴(yán)厲性方面對獎(jiǎng)懲系統(tǒng)進(jìn)行比較，選取RASL、ECL、CV指標(biāo)對獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的嚴(yán)厲性進(jìn)行評價(jià)。通過比較各指標(biāo)值發(fā)現(xiàn)普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng)比模糊獎(jiǎng)懲系統(tǒng)略嚴(yán)厲些，對新投保人的隱性懲罰略高。因此，將參數(shù)量化成模糊數(shù)可以使獎(jiǎng)懲系統(tǒng)中包含參數(shù)的不確定性，還可以略降低獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的嚴(yán)厲性。