干燥數(shù)學(xué)模型和動(dòng)態(tài)模擬進(jìn)展

陳 鍵,王偉民

(云南化工設(shè)計(jì)院有限公司，云南 昆明 650041)

干燥過程是一個(gè)復(fù)雜的傳質(zhì)、傳熱過程，不僅消耗大量能量，而且還會(huì)影響干燥品質(zhì)，目前還很難依靠理論研究來解決這一問題。因此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者以干燥試驗(yàn)為基礎(chǔ)，與理論相結(jié)合，來研究物料的干燥過程[1-3]。值得注意的是，實(shí)驗(yàn)室研究是以小份量的實(shí)驗(yàn)材料為基礎(chǔ)，不能很形象的說明物料干燥過程中的內(nèi)部情形。數(shù)學(xué)模型和計(jì)算機(jī)模擬為干燥器的設(shè)計(jì)以及干燥參數(shù)的設(shè)定提供了重要工具[4，6]。

1 假設(shè)的提出

根據(jù)傳熱傳質(zhì)的基本理論，用偏微分方程表示高溫干燥時(shí)的物料干燥過程。假設(shè)無物料的干燥只發(fā)生在降速階段，那么對(duì)于無相變干燥的數(shù)學(xué)模型作如下假設(shè)[6-7]：

做出以上的假設(shè)之后，在進(jìn)行干燥數(shù)學(xué)模型的建立以及運(yùn)算方法的選擇上就會(huì)很方便。

2 薄層干燥模型的建立

建立干燥模型時(shí)，對(duì)于物料內(nèi)部水分的特性，通常依據(jù)薄層干燥方程做描述。薄層方程模型分為三類：擴(kuò)散、半經(jīng)驗(yàn)半理論和經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚8]，而最具代表性的Newton方程和Page方程廣泛的應(yīng)用于農(nóng)產(chǎn)品以及食品干燥行業(yè)，方程如下：

Newton方程：MR=exp(-kt)

(1)

(2)

對(duì)(2)取對(duì)數(shù)可得：

ln(-lnMR)=lnK+Nlnt

(3)

由此看出,lnMR 與t呈線性關(guān)系，根據(jù)經(jīng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以應(yīng)用Origin 7.0擬合方程或是最小二乘法回歸求出相應(yīng)的K的數(shù)值。

3 深層干燥模型的建立

深層干燥模型是以薄層干燥為基礎(chǔ)，更深入的探究物料干燥過程，包括物料本身以及熱空氣的狀態(tài)變化，為干燥工藝以及干燥參數(shù)的確定起到良好的指導(dǎo)作用。

3.1 深層干燥模型

基于在1中提出的6點(diǎn)假之外，對(duì)應(yīng)的深層干燥物料做分薄層處理，而每一薄層都可應(yīng)用薄層理論作運(yùn)算[9-11]，基本步驟如下：

1)把干燥物料在縱向上分為若干薄層n，每層的厚度為Δx；2)把干燥時(shí)間分為較短的時(shí)間間隔Δt，稱為時(shí)間步長(zhǎng)；3)把物料在橫向上分成較小的距離間隔Δl,稱為距離步長(zhǎng)。有關(guān)系式如下：

Δl=v×Δt(v為物料傳送速度)

(4)

4)進(jìn)入第一層的熱空氣的濕含量以及溫度為已知，經(jīng)過規(guī)定的干燥時(shí)間后，利用薄層理論計(jì)算熱風(fēng)通過后第一層物料的水分含量；5)應(yīng)用熱質(zhì)傳到條件，計(jì)算熱空氣通過第一層后物料后的狀態(tài)，即熱空氣的溫度與濕度；6)干燥第二層時(shí)，以通過第一層物料的空氣狀態(tài)為基礎(chǔ)，用同樣的辦法進(jìn)行計(jì)算第二層物料的水分含量以及熱空氣的狀態(tài)；7)重復(fù)上述計(jì)算，一直計(jì)算完所有料層為止；8)之后將時(shí)間增加Δt，物料向前移動(dòng)Δl，進(jìn)行步驟1)～6)的計(jì)算；9)重復(fù)步驟1)～8)，直到達(dá)到物料干燥要求的含水率為止。

對(duì)于步驟3),給出以下解釋：

如果物料在干燥過程中是以傳送形式移動(dòng)，利用上述描述進(jìn)行計(jì)算；如果物料固定不動(dòng)，則省略步驟3)。

3.2 偏微分干燥模型

在以上所述的基礎(chǔ)之上，通過熱質(zhì)傳遞理論，建立偏微分方程如下：

1)質(zhì)平衡方程

(5)

2)熱平衡方程

(6)

3)熱傳遞方程

(7)

4)干燥速率方程(或薄層干燥方程)

(8)

(9)

(10)

(11)

根據(jù)(1)、(8)、(9)、(10)四個(gè)偏微分方程，利用有限差分法可以進(jìn)行求解，并且得到物料的溫度、水分以及熱空氣的溫度、濕度4個(gè)未知量。

3.3 模擬計(jì)算

模擬計(jì)算時(shí)，由于干燥裝置的不同，有以下情況：

對(duì)于固定干燥床[12]，可以把物料每一層作為一個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)薄層物料的水分和溫度以及熱空氣的溫度和濕度用雙下標(biāo)表示。第一個(gè)下標(biāo)表示薄層高度位置，第二個(gè)下標(biāo)表示時(shí)間。

對(duì)于傳動(dòng)干燥床[11]，可以把物料每一層作為一個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)薄層物料的水分和溫度以及熱空氣的溫度和濕度用雙下標(biāo)表示。第一個(gè)下標(biāo)表示薄層高度位置，第二個(gè)下標(biāo)表示時(shí)間，第三個(gè)下標(biāo)表示橫線移動(dòng)距離。

根據(jù)空氣流向，模擬可以從上或從下物料層開始，實(shí)際情況選擇前差還是后差方法，再根據(jù)提供的干燥模型進(jìn)行計(jì)算，直至完成整個(gè)計(jì)算。

對(duì)偏微分法方程進(jìn)行差分離散[13-16](采用向前差分方法)：

1)對(duì)于固定干燥床：

(12)

(13)

(14)

(15)

M(tj,xk)=M(tj-1,xk-1)-ΔtK(tj-1,xk-1)×[M(tj-1,xk-1)-Me] (降速階段)

(16)

式(15)與(16)也可以用下式代替：

M(tj，xk)=Me-MR(tj，xk)×(M0-Me)

(17)

2)對(duì)于傳動(dòng)干燥床：

(18)

×{αh[T(li,tj-1,xk-1)-θ(li,tj-1,xk-1)] -

×[hfg+Cv(T(li,tj-1,xk-1)-θ(li,tj-1,xk-1))]}

(19)

(20)

(恒速階段) (21)

M(li,tj,xk)=M(li,tj-1,xk-1)-ΔtK(li,tj-1,xk-1)×[M(li,tj-1,xk-1)-Me]

(降速階段)(22)

式(21)與(19)也可以用下式代替：

M(li，tj，xk)=Me+MR(li，tj，xk)×(M0-Me)

(23)

對(duì)于以上的差分方程，還要考慮到允許誤差，這里給出一個(gè)松弛因子ω，使得運(yùn)算加快收斂[17]。

當(dāng)然，其它所求量同樣這樣設(shè)定，使結(jié)果更為精確。

以上公式中：H為空氣t時(shí)刻的濕度；Hs為物料表面空氣濕度；M為物料的平均含水率；Me為物料平衡含水率；T為空氣的溫度；θ為物料的溫度；cp為物料的比熱容；cv為水蒸氣的比熱容；cw為水的比熱容；ca為空氣的比熱容；ρa(bǔ)為空氣的密度；ρp為物料的密度；k為物料干燥系數(shù)；a為單位體積物料的表面積；am,u為對(duì)流傳導(dǎo)系數(shù)；h為對(duì)流換熱系數(shù)；hfg為水蒸氣的汽化潛熱;G為物料流量；ε為空隙率；Ga為空氣質(zhì)量流量；Gs：為物料表面空氣質(zhì)量流量；Hvap為蒸發(fā)焓。

3)初始與邊界條件

在初始值問題中，部分邊界上的函數(shù)值和部分的函數(shù)偏導(dǎo)值是給定的。在初始值問題之中的獨(dú)立變量值之一是時(shí)間t。在邊界值的問題中，邊界上的信息是給定的。

①一般干燥過程的初始條件[12]：

M=M0；θ=θ0；H=H0；T=T0

一般干燥過程的邊界條件[18]：

邊界條件的一般形式為：

(24)

G表示場(chǎng)域D的邊界，為邊界上的s的逐點(diǎn)函數(shù)。

三類邊界條件如下：

第一類邊界條件：φ|G=g(s)

(25)

(26)

第三類邊界條件：(L含偏微商的算符；p，f為給定函數(shù))

L≡-▽(p▽)+f

(27)

②一般干燥邊界條件：

4)物料干燥過程模擬框圖

模擬框圖的建立，是實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)語(yǔ)言選擇以及編程的重要前提[1,8]。在建立框圖以前，基本的準(zhǔn)備工作，包括數(shù)學(xué)模型、計(jì)算方法、相關(guān)參數(shù)和初始及邊界條件要全部確定。干燥過程的基本模擬框圖如1所示。

圖1 基本模擬框圖

4 干燥模型數(shù)據(jù)模擬結(jié)果分析

根據(jù)對(duì)物料干燥過程的動(dòng)態(tài)模擬，所得數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相對(duì)照，經(jīng)過正交分析、方差分析以及最小二乘法對(duì)所得模擬數(shù)據(jù)擬合[11-13]，并與所做實(shí)驗(yàn)結(jié)果相對(duì)比，若發(fā)現(xiàn)不足，對(duì)干燥模型的相關(guān)條件進(jìn)行改正，使之模擬結(jié)果更加真實(shí)化。

5 結(jié)語(yǔ)

就目前干燥過程模型而言，基本都是以薄層干燥理論為基礎(chǔ)，再進(jìn)行對(duì)深層干燥過程的探究。通過基本的假設(shè)條件，對(duì)干燥過程做一理想化的模型，通過數(shù)值方法進(jìn)行模擬，得到的數(shù)據(jù)具有借鑒性，據(jù)此做深入分析、整理，獲取干燥過程過程最佳工況數(shù)據(jù)。因此，干燥過程模型的建立，一方面有利于實(shí)際干燥過程的參數(shù)的確定以及干燥設(shè)備的設(shè)計(jì)，另一方面也有利于干燥產(chǎn)品質(zhì)量的提高。