邊“研”邊“學(xué)”，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生
——從研究性學(xué)習(xí)角度看“2和5的倍數(shù)的特征”

江蘇省無錫市江陰市第三實(shí)驗(yàn)小學(xué) 黃鳳華

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生開展探究性的學(xué)習(xí)活動，可以使學(xué)生探究與鉆研數(shù)學(xué)知識，進(jìn)而有效促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力提升。在研究性學(xué)習(xí)中，學(xué)生要動腦、動手、動口，全身心地參與，并在觀察、比較、猜想和驗(yàn)證等活動中，使用創(chuàng)新的數(shù)學(xué)方法形成對數(shù)學(xué)知識全面正確的認(rèn)知，并形成科學(xué)縝密的數(shù)學(xué)思維方式。

“2和5的倍數(shù)的特征”是蘇教版數(shù)學(xué)五年級下冊“因數(shù)倍數(shù)”單元的內(nèi)容，是在“因數(shù)和倍數(shù)”之后、“3的倍數(shù)的特征”之前，是在概念性知識學(xué)習(xí)后呈現(xiàn)的規(guī)律性知識，本身就帶有探索與總結(jié)的意味。在平時教學(xué)中，經(jīng)常是教師和學(xué)生一起在百數(shù)表中發(fā)現(xiàn)2和5的倍數(shù)特征后就進(jìn)行大量的判斷，學(xué)生對2和5的倍數(shù)特征形成了 “既快又準(zhǔn)”的認(rèn)識。但像2和5的倍數(shù)的特征這樣明顯具有規(guī)律性知識的內(nèi)容，正是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)的最佳樣本。

一、從表象到本質(zhì)，在研究性學(xué)習(xí)中促進(jìn)對知識本質(zhì)的理解

學(xué)生由對表象條件的歸納概括出結(jié)論后，產(chǎn)生對表象結(jié)論探究本質(zhì)的意愿，是與生俱來的。從小時候詢問生活現(xiàn)象中的“為什么”到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“為什么”，從表象發(fā)現(xiàn)到對本質(zhì)的探究，經(jīng)歷的不僅是對知識的理解，更是思維的深層遞進(jìn)。

（一）從表象上直觀感知

小學(xué)階段規(guī)律性知識大部分是通過對一定量的研究樣本的觀察和分析，發(fā)現(xiàn)并總結(jié)獲得的?！?和5的倍數(shù)的特征”這部分內(nèi)容，教學(xué)教材的編寫非常簡潔，也是通過圈一圈，看一看，在100以內(nèi)非0自然數(shù)中發(fā)現(xiàn)5或2的倍數(shù)的規(guī)律后直接呈現(xiàn)結(jié)論（見圖1）。這種停留在由直觀的表象歸納出結(jié)論的方式，學(xué)生喜聞樂見，且易于接受。

圖1

（二）用數(shù)形結(jié)合理解本質(zhì)

利用圖形表征數(shù)學(xué)事實(shí)、描述數(shù)學(xué)問題是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用也是最有效的方式之一。除法的意義實(shí)際是平均分，借助方格圖，可以讓學(xué)生直觀感受5的倍數(shù)是5個5個數(shù)正好數(shù)完，2的倍數(shù)是兩個兩個數(shù)正好數(shù)完（見圖2）。學(xué)生在這個過程中，將除法算式的“數(shù)”與方格圖的“形”建立了關(guān)聯(lián)。研究一個數(shù)的倍數(shù)特征，利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行研究，能夠直觀地幫助學(xué)生理解倍數(shù)的本質(zhì)特征。數(shù)形結(jié)合既是數(shù)學(xué)思想，又是數(shù)學(xué)方法，它的介入為學(xué)生對倍數(shù)本質(zhì)特征的理解搭建了橋梁，讓學(xué)生的理解更加感性而形象。

圖2

二、從碎片到結(jié)構(gòu)，在研究性學(xué)習(xí)中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是在參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的過程中積累的，是學(xué)生通過觀察、猜想、驗(yàn)證、交流等多種方法和途徑得出的。五年級學(xué)生已具備了更深層次的探究和完整推理的主觀意愿和能力。

（一）發(fā)現(xiàn)：自然而然地合情推理

在數(shù)學(xué)活動中觀察一些現(xiàn)象或?qū)嶒?yàn)得到的事實(shí)往往是提出猜想的前提，這里的觀察往往是一種直觀能力——數(shù)學(xué)直覺思維能力。百數(shù)表中有序的數(shù)字排列，讓學(xué)生能非常迅速且準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)5的倍數(shù)個位上的特征。

（二）猜想：漸漸萌發(fā)的問題意識

從深度教學(xué)的角度看，學(xué)生主動提出問題能力的提升，對于他們學(xué)會學(xué)習(xí)，顯然特別重要，因?yàn)檫@時他們就可以通過自我引領(lǐng)很好地實(shí)現(xiàn)成長。這就可以被看成學(xué)生能否很好地抓住數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)關(guān)鍵環(huán)節(jié)的一個重要標(biāo)志，能否經(jīng)常地自問“為什么”，并圍繞這個問題深入思考，從而真正做到理解學(xué)習(xí)。

“100以內(nèi)5的倍數(shù)的個位上都是5或0，100以外的其他自然數(shù)呢？”“在我們舉例的大于100的數(shù)中5的倍數(shù)的個位上是5或0，沒舉到的數(shù)字呢？”“所有的5的倍數(shù)的個位上都是5或0嗎？”在課堂教學(xué)中，學(xué)生在提出以上問題時，顯得遲疑和小心翼翼，不是因?yàn)閱栴}意識的欠缺，而是在學(xué)生產(chǎn)生疑問和主動提出問題之間，需要一個心理內(nèi)驅(qū)，而教師及時的引導(dǎo)、鼓勵和評價則是幫助學(xué)生產(chǎn)生提問內(nèi)驅(qū)的重要推動力。也就是說，教師在日常教學(xué)中應(yīng)當(dāng)努力促成學(xué)生由單純的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)為更自覺的狀態(tài)，不僅能做到“敢問”，也能逐步做到“愛問”“善問”。

（三）驗(yàn)證：循序漸進(jìn)地演繹推理

學(xué)生在用合情推理進(jìn)行猜想之后，會嘗試用演繹推理驗(yàn)證猜想?！缎W(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研究與實(shí)踐》指出，學(xué)生基于既定的數(shù)學(xué)事實(shí)或已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)出某些數(shù)學(xué)猜測后，一般會舉例進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)沒有反例之后就確認(rèn)該猜測是成立的。

1.舉例驗(yàn)證

教師要先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并認(rèn)識到在一定范圍的樣本中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，能否運(yùn)用到所有的數(shù)中，這只能作為一種猜想，這種猜想能否成立，就需要進(jìn)一步驗(yàn)證。在驗(yàn)證猜想是否正確時，全部舉例并不可能，但舉例要全面，不但要舉一些個位上是5或0的數(shù)，也要舉一些個位上不是5或0的數(shù)，在這個過程中讓學(xué)生體會舉例的驗(yàn)證作用。

2.格子圖驗(yàn)證

五年級學(xué)生由于受思維發(fā)展水平和所掌握知識的限制，通常不會有主動的意愿和獨(dú)立的能力進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)演繹推理論證，但教師需要讓學(xué)生明白這并不意味著歸納推理得出的結(jié)論或規(guī)律一定可靠。教師仍然需要引導(dǎo)學(xué)生通過計(jì)算、畫圖、實(shí)驗(yàn)等多種方式驗(yàn)證結(jié)論的可靠性。

100以內(nèi)的5的倍數(shù)個位上是5或0，其他的數(shù)不行；100以上的更大的數(shù)中，5的倍數(shù)個位上也是5或0，但其他的數(shù)不行。為什么個位上一定要是5或0呢？這里面藏著什么道理嗎？7為什么不是5的倍數(shù)？17呢？27呢？37、47、57……呢？107總可以了吧？9997呢？再大一點(diǎn)的數(shù)呢？個位上是8的數(shù)呢？個位上是哪些數(shù)都不會是5的倍數(shù)？怎樣才能變成5的倍數(shù)？

教師可以引導(dǎo)讓學(xué)生結(jié)合方格圖解釋一個數(shù)什么時候是另一個數(shù)的倍數(shù)，什么時候不是另一個數(shù)的倍數(shù)。在小格子不斷累加變化中自然感受、理解無論十位、百位、千位上數(shù)字如何變化，但余數(shù)沒有發(fā)生變化的原理。接著，在這個過程中滲透從小的數(shù)到大的數(shù)，從簡單到復(fù)雜，從單一角度到多重角度的研究方法。在探索知識的同時滲透數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。

（四）回顧：水到渠成的模型思想

鄭毓信教授在《數(shù)學(xué)深度教學(xué)的理論與實(shí)踐》中指出，盡管我們應(yīng)當(dāng)充分肯定問題解決的重要性，但數(shù)學(xué)教學(xué)又不應(yīng)局限于問題解決，而應(yīng)清楚地認(rèn)識抽象分析的重要性，這里不僅指我們應(yīng)由各個具體的問題上升到普遍性的問題模式和解題策略，也是指數(shù)學(xué)建模必須以概念的生成、分析與組織作為必要的基礎(chǔ)。

1.回顧過程

在引導(dǎo)學(xué)生完成關(guān)于5的倍數(shù)順暢、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程后及時地回顧總結(jié)、提煉步驟，不但可以幫助學(xué)生鞏固對推理的感性認(rèn)識，也為其接下來的內(nèi)化和應(yīng)用鋪平了道路。

2.反思學(xué)習(xí)

在課后小結(jié)后，教師提問：“我們通過采用舉例—猜想—驗(yàn)證—結(jié)論的研究方法，發(fā)現(xiàn)了關(guān)于2和5的倍數(shù)的特征，對于你來說獲得的知識和采用的方法哪個更重要？為什么？”“如果再用這樣的研究方法研究其他規(guī)律，驗(yàn)證時發(fā)現(xiàn)最初的猜想是錯誤的，該怎么辦？”

在學(xué)習(xí)知識的同時，提煉出探究的方法，積累了基本數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn)，但在課堂教學(xué)結(jié)束之前，教師也要讓學(xué)生意識到，規(guī)律性知識的總結(jié)，甚至其他知識的研究不可能每次都順風(fēng)順?biāo)?、一蹴而就，都需要在嘗試—推翻—修改—再嘗試的過程中逐步構(gòu)建。雖然小學(xué)數(shù)學(xué)建模不需要讓學(xué)生完整經(jīng)歷這樣的過程，但教師可以給學(xué)生滲透這樣的數(shù)學(xué)思想方法。

三、從舉一到反三，在研究性學(xué)習(xí)中深化應(yīng)用意識

（一）方法遷移

方法遷移是方法層面上的應(yīng)用拓展，在研究5的倍數(shù)特征時，學(xué)生經(jīng)歷了舉例—猜想—驗(yàn)證—結(jié)論的過程，使得學(xué)習(xí)的邏輯順序清晰可見。在研究2的倍數(shù)特征時，教師可以放手讓學(xué)生自主研究。學(xué)生在經(jīng)歷獨(dú)立和團(tuán)隊(duì)合作研究后，在歸納總結(jié)成數(shù)學(xué)語言交流說理的過程中，其對特征本質(zhì)的理解進(jìn)一步得到了內(nèi)化。

（二）練習(xí)的融合

1.介紹下面各數(shù)

練習(xí)不再停留在簡單判斷是或不是2或5的倍數(shù)，而是意圖讓學(xué)生能在鞏固知識點(diǎn)的同時，發(fā)散思維。將各知識點(diǎn)融于“介紹”中，開放式問題設(shè)計(jì)促使學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識，使學(xué)生進(jìn)一步感受到數(shù)的豐富性。（見圖3）

2.按要求組數(shù)

學(xué)生會在無序思考直接報出答案的過程中發(fā)現(xiàn)不重復(fù)、不遺漏的關(guān)鍵是確定個位上的數(shù)。而思考方式從無序到有序，從無規(guī)律報數(shù)到有規(guī)律填寫，不但是學(xué)生對所學(xué)知識的精準(zhǔn)運(yùn)用，更是學(xué)生思維水平的一次有效提升。（見圖4）

圖3

圖4

喻平教授認(rèn)為：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就是學(xué)生在若干年后，忘卻了數(shù)學(xué)知識之后還能留下的那些東西。在日常的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要盡可能地引導(dǎo)學(xué)生參與研究性學(xué)習(xí)，這樣做不僅能夠加深學(xué)生對所學(xué)數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解，還能在參與研究性學(xué)習(xí)的過程中培養(yǎng)動手操作、合作交流等能力，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的發(fā)展。