用Python驗證費馬—歐拉素數定理

王德貴

每個可表示為 4n + 1 形式的素數，只能用一種兩數平方和的形式來表達。

17世紀偉大的法國數學家費馬（1601 – 1665 年）雖然于 1660 年就發現了這一著名的定理，然而直到 1670 年，才在費馬的兒子編輯的丟番圖（Diophantus，古希臘數學家）的《算術》中以附注的形式發表。不過書中不能肯定費馬是否已經得出證明。直到一百年后，才由歐拉發表了這一定理的證明，他為了解決這個問題辛苦研究多年才寫出了論文“費馬定理的證明，形為 4n + 1 素數可以表示為兩數平方之和”。

今天我們就用Python來簡單地驗證一下費馬—歐拉定理。

費馬—歐拉定理，也稱費馬—歐拉素數定理，現在已經有了多種證法。證明方法要涉及數論問題，在此不作過多論述，有興趣的老師和同學可以查閱相關資料。

今天我們只用Python做簡單驗證。

數論，是純粹數學的分支之一，主要研究整數的性質。歷史上的數學家做了很多相關研究，提出了很多有趣的問題，到了現在有的已經證明，有的仍然是世界級的難題，尚未被證明。我們在學習編程的過程中通過對數論難題的驗證，能提高我們對Python、圖形化或APPInventor的掌握，也能在鞏固編程知識的同時加強等級考試相關知識點的掌握。

我們驗證在一定范圍內的所有4n + 1 形式的素數，是不是都可以表示為兩數平方和的形式。

首先我們利用自定義函數確定在這個范圍內的所有素數，再篩選出所有4n + 1 形式的素數，然后利用枚舉算法一一驗證每個素數，是不是可以表示為兩數的平方和，如果可以，就輸出。

然后修改程序，根據兩數的和是否相同來去重。

程序涉及等級考試四級內容，自定義函數、枚舉、集合等相關知識。

兩次循環加判斷輸出在一定范圍內所有4n + 1 形式的素數（圖1）。

根據篩選出來的素數，先把所有滿足條件的兩數都輸出（圖2）。

比如先測試在100范圍內的素數情況。結果如下，大家可以看到，兩數有重復，但每個4n + 1 形式的素數都是一組值（圖3）。

我們利用兩數和去重，是因為不難推出兩數平方和相同，這兩個數的和一定不相等（圖4）。

輸出結果如下，可以看到，每個4n + 1 形式的素數都是一組值（圖5）。

我們可以測試更大范圍的值。1000范圍內，4n + 1 形式的素數共有80個（圖6）。

定理的驗證也可以用自定義函數，只需涉及等級考試二級內容，還可以利用集合去重。有興趣的老師和同學可以自己研究一下。

這個程序在執行中，先輸出所有質數，再篩選4n+1 形式的素數，所以我們在執行程序時，也可以想到另一個方法，就是在4倍范圍內判斷。

即是在1-n范圍內循環，求得4n+1的值，如果它是素數，那就輸出滿足條件的兩數，同時去重。程序如圖7：

可以看到輸出結果與前面相同（圖8）。

其實費馬-歐拉素數定理還涉及到很多相關數論問題，本文不作過多介紹。文章是我學習過程的心得，如有不當之處，請各位同仁、朋友斧正。

NULL與0有著扯不斷理還亂的關系，其實也不那么高深。

1.對象的內容不同

0表示對象的內容確定為0。

NULL表示對象的內容為空，即對象的內容是空白的。

空值表示對象的內容無法確定。

2.對象的值不同

0表示對象的值等于0。

NULL表示對象計算中具有保留的值，用于指示指針不引用有效對象。

空值表示值未知，空值一般表示數據未知、不適用或將在以后添加數據。

總的來說，0本身有著一些原生的特性，諸如：起始、沒有、正負的分界線，0/1中的0還可以表示否定。NULL在數據庫中表示不知道的數據，主要有3種意思：知道數據存在，但不知道具體值;不知道數據是否存在;數據不存在。