表征在數學教育中的研究現狀

沈 陽，張晉宇，鮑建生

表征在數學教育中的研究現狀

沈 陽1，張晉宇2，鮑建生1

（1．華東師范大學 數學科學學院，上海 200241；2．閔行區教育學院，上海 200241）

表征概念源于認知心理學，是影響數學學習的重要因素．采用混合研究法，基于中外兩個重要的數據庫ERIC和CNKI中與數學表征相關的249篇文章，從時間分布、研究對象、數學內容、研究主題及分析框架5個方面進行統計分析．研究結果如下：與數學表征相關的文獻數量在最近10年增長速度顯著；研究對象主要以學生為主，但教師和教材相關研究已成為趨勢；數學內容多局限在代數方面，尤其方程與函數；在研究主題上，探究學生和教師的數學表征能力占主導；不同研究主題通常有不同的分析框架，用于分析各種數學表征方式、表征功能及表征轉換．整體而言，從數學學習心理、數學問題解決及信息技術的角度對數學教學中的多元表征及其轉換進行實證研究成為表征研究的一個基本趨勢．

表征；數學教育；ERIC；CNKI

1 研究背景

表征（representation）一詞源于認知心理學，1966年布魯納（Bruner）為描述兒童的思維活動將其引入數學教育領域，提出概念學習的活動性、圖象性及符號性3種表征形式[1]，引起了數學教育界的廣泛關注，尤其在數學學習心理和數學問題解決領域．萊什（Lesh）等認為學生理解數學的一個要素是能夠表征數學，并在布魯納的基礎上豐富了它的內涵，將線性方式發展的3類思維表征擴展為網狀式的5類數學表征[2]，包括實際情境、操作模型、圖表、口語和書寫符號，而且強調了兩兩表征之間的相互轉換．韜爾（Tall）在布魯納的基礎上提出了3個世界理論[3]，包含具體化、符號化及形式化的世界，對應學生的思維發展過程．Brachman認為推理是對已知命題表征進行復制、移動、拆分等操作之后形成新的命題表征的過程[4]，所以表征總與邏輯推理息息相關．

除數學學習心理方面的研究，新世紀以來，數學表征已逐漸進入數學課程、評價等領域．例如，全美數學教師理事會（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱NCTM）在2000年出版的《數學原則與標準》（）中，從過程和結果兩個層面賦予“表征”意義，認為表征既指表達數學概念的行為，也指數學概念形式本身，既表示外部可觀察到的，也表示內部不能觀察到的過程與結果；數學表征也被認為是一種數學能力，內涵是指能夠創造、選擇或應用各種數學表征來解決數學問題[5]．2000—2021年的歷屆PISA測試，均把數學表征作為重要的數學素養評價指標；德國數學教育課程標準[6]、丹麥的KOM項目[7]等也都將數學表征列為數學教育目標．

相比于國外，國內在數學表征方面的研究起步較晚．不過早期也不乏從心理學模式研究問題表征，比如傅小蘭等通過一道數學問題測試34名大學生對問題的信息加工過程，發現信息遺漏、信息誤解以及隱喻干擾幾類表征錯誤[8]；陳英和、仲寧寧等運用實驗法、臨床訪談法考察不同水平學生在解決應用題時表征策略的差異[9-11]；路海東等通過實驗研究小學生解決和差問題的表征策略[12]；喻平等強調知識表征和數學學習之間的關系[13]，比較不同年級學生問題表征的差異性[14]，也探究問題表征與個體認知結構的相關性；紀桂萍等分析學生問題表征與心理表征之間的關系[15]．后期研究已不限于心理學，比如徐斌艷等從教學角度出發考察學生的表征和轉換能力[16]，認為表征是作為問題解決的重要策略，包括形式化、圖象、動作及語言化策略；其團隊也從功能角度分析課程標準在歷史進程中關于表達交流、操作轉換以及建模應用3類不同表征的變化[17]．再比如陳志輝等基于數學核心素養的視角調查學生數學表征與轉譯能力[18]．

基于數學表征在數學教育中的重要性，許多研究團體和國際會議都設置了相關研究專題．例如，數學教育心理學國際研討組（International Group for the Psychology of Mathematical Education，簡稱PME）在1989年專門成立數學學習過程中表征的研究工作組（http://www.igpme.org）；近幾屆的國際數學教育大會（International Congress on Mathematical Education，簡稱ICME）也將表征列入相關的課題研究組．比如，2021年在中國舉辦的第14屆國際數學教育大會（ICME-14）中，有3個專題研究小組——數學教育中的符號學，數學教與學中的可視化、數學教育中的語言和交流（https://www.icme14.org/static/en/index.html），即對應數學表征的符號、可視化和語言3種表征形式．這說明，數學表征的相關研究已被國際數學教育界普遍關注．

中國新一輪課程改革的焦點是用數學核心素養統領課程、教學與評價，而數學核心素養中對“數學抽象”“直觀想象”“數學建模”等的描述均與數學表征密切相關，因此，表征的研究對落實數學核心素養有重要的理論與實際意義．通過梳理近半個世紀關于數學表征的研究脈絡，從時間分布、研究對象、數學內容、研究主題、分析框架5個方面分析表征在數學教育領域的研究現狀，旨在揭示數學表征研究等基本問題與發展趨勢．

2 研究過程

混合研究法（mixed methods）是同時或相繼地運用定量和定性的方法來搜集和分析數據并用以解決問題的研究方法[19]．通過文獻數量統計獲取定量數據，用內容分析法對其文本屬性或特征做出特定推斷而獲得定性數據，窺探其內容本質，為其做更詳細的解釋[20]．

教育資源信息中心（Education Resources Information Center，簡稱ERIC）是被教育研究者和實踐者使用最為廣泛的搜索引擎，2009年有120萬個文獻引文，其收錄時間年限為1966年至今．中國知網（China National Knowledge Infrastructure，簡稱CNKI）所包括的《中國學術期刊（網絡版）》是世界上最大的連續動態更新的中國學術期刊全文數據庫，收錄1915年至今的期刊．故用此兩個數據庫搜索國內外數學教育方面文獻較為全面．

在ERIC中檢索關鍵詞“mathematical representation”，并粗略閱讀所有結果的題目及摘要，選取關于數學表征的期刊文章及報告、合集—會議等，下載具有全文可得性（full-text availability）的文獻．這些文章來源的期刊包含如“”等數學教育領域中的SSCI期刊，而不能全文下載的文章大多源自“”等小眾期刊，且所占比例并不大，因此搜索到的全文可下載文獻已然能覆蓋數學教育絕大多數的文章，具有一定的代表性．獲取1973年至2020年12月之前的文獻173篇，同理在CNKI上獲取1994年至2020年12月之前的文獻76篇．

數據采集過程如下：首先將下載的249篇文獻粗略閱讀并排列；再將所有文獻二次閱讀，記錄發表時間、研究對象、研究問題等內容，并標記典型特征；再在數據統計之后，根據數據特征對相關文獻精細閱讀并作質性分析．

3 研究結果

3.1 時間分布

呈現兩個數據庫的信息并非為了比較，而是為了觀察國內數學教育領域對數學表征研究的現狀．如圖1所示，整體上兩個數據庫文獻的數量呈波動上升趨勢．自從布魯納將“表征”引入到數學教育領域后，表征開始應用于數學概念理解．從1973年開始，數學教育領域的學者陸續開始關注學生的表征能力．在1987年Janvier發表表征的綜述之后，發表文獻數量略微上升，并且在教師、課堂等的研究中也開始引入表征術語，到2004年ERIC數據庫中出現一個小高峰，時隔十載，2013年的發文量再次出現高峰，到2019年發文量達到最高．

圖1 文獻年份分布趨勢

國內表征的研究始于認知心理學，20世紀90年代被引入數學教育領域，不過其含義皆是借鑒了心理學中的概念．最初對表征的研究是基于思辨性的、介紹性的理論研究或心理學上的實證研究，且主要關注學生的數學知識表征、數學問題表征等，后來才轉向關于課堂或教師．發文量在2005年前后相對較高，主要由于當時大批心理學家開展了關于學生數學表征的實驗研究．在2013年之后數據明顯上升，說明越來越多的研究者關注數學表征在數學教育領域中的作用．而且近兩年撰寫數學表征文章的作者多數來自一線教師，他們從數學表征角度對課堂教學案例進行設計和反思，意味著表征的研究已逐步進入一線教師實踐領域．

3.2 研究對象

與數學表征相關的研究對象歸為學生、教師、課堂、教材及理論5類，為了解不同年份間學者關注研究對象的變化，于是統計不同研究對象的文章在不同年份的數量．因為時間跨度較大，則以3年為單位，具體見表1．易見近一半的研究將學生作為對象，其次是教師和理論，關于課堂和教材的研究最少，不過近10年以來表征在教師和教材領域的研究數量有明顯遞增的趨勢．而國內對表征的研究主要聚焦于學生和理論，較少涉及教師．

表1 不同時段文獻數量分布

表1（續） 不同時段文獻數量分布

關于數學表征研究最早是面向學生開始，金（King）于19世紀70年代通過測試了解不同年齡段學生的形象表征和符號表征能力，實則是為了證明布魯納的認知學習理論[1]．而且從表征角度研究學生一直以來并未間斷，尤其在20世紀之后數量迅速遞增．教師、課堂的表征研究均始于80年代前后，而20世紀之后才出現教材的表征研究，不過發文量基本都是逐年遞增，尤其是教師和教材．國內最初的數學表征研究也是針對學生，比如大量研究從認知心理學角度探究學生的數學問題表征，一直以來學生作為對象的研究占據多數．同時國內不乏表征的理論辨析，其發文量也未呈現下降趨勢．而課堂和教材的表征研究起步較晚，當一些技術軟件應用于數學教學，教育工作者也開始考慮可視化表征對其教學的影響，因此近幾年關于課堂的表征研究逐漸增多．

3.3 數學內容

由于數學各內容之間本身的交叉，故統計時并未過細區分，僅按照文獻所提的數學內容歸類統計，如圖2所示，可見兩個數據庫的研究都主要以代數（數與運算、方程與函數、微積分）為主，幾何次之，概率與統計最少．又因為數學內容與學段往往相關，因此也統計了文獻的研究學段占比，如圖3所示，可見表征的研究學段囊括幼兒、小學、初中、高中、大學5個階段．對應其數學內容，研究者最為關注小學的數與運算以及初高中的方程與函數．

圖2 文獻研究內容占比

圖3 文獻研究學段占比

具體而言，幼兒階段的表征研究主要關注數，比如通過數字的圖象、符號等外在表征方式來幫助學生理解數的含義．小學階段則涉及除微積分之外的所有數學內容，不過最為注重數與運算的表征，尤其分數的概念及運算．由于分數概念涵蓋整體、測量、商、算子和比多重表征結構[21–22]，以及包括實物、表格等多種外在表征導致的復雜性使其通常成為小學數學教學的難點，自然成為研究者的關注對象．比如Andrade通過學生感受可觸摸且可視化的分數表征，即制作鐘表作為分數學習的腳手架，幫助學生理解分數[23]．初高中主要研究方程與函數的表征，尤其函數，德國數學家F·克萊因認為它是數學的“靈魂”．函數不同的表征轉換、轉換的內涵或者是計算機軟件下圖象的動態表征等均被研究者所關注．Janvier首先闡述了函數不同表征之間的轉換功能，強調表征轉換在數學理解中的作用[24]．之后研究者對其在實踐方面進行多角度探討，比如測試學生表征轉換能力、學生在表征轉換時出現的錯誤等．大學在表征上的研究主要延續函數內容，聚焦于研究微積分的多元表征、不同表征之間的聯系與轉換以及學生對其的表征過程．

3.4 研究主題

統計所有文獻的研究問題，并據其對研究主題進行分類，歸為表征能力、表征過程、表征使用、呈現表征及表征本身5類，見表2．表征是一個復雜的概念，在不同情境中有不同含義，所以作者會根據不同的需求選擇不同的內涵．這里，表征能力（representation ability）是一種技能或素養[25]，指數學表征能力；表征過程（representation process）中的“表征”作為動詞[26]，描述動態過程；表征使用（using representations）中的“表征”作為名詞[27]，是以工具形式存在；表征特征（representation of）中的“表征”表示知識的呈現或表達[28]；表征本身（representation itself）是指表征概念或表征理論[29]．因為信息技術在各類研究中提及次數并不少，且對課堂教學呈現多元表征發揮巨大作用，所以也在此敘述．

（1）表征能力．

表征能力的研究對象主要為學生和教師，尤其是學生．這類研究通過調查、測量等方法了解學生和教師的數學表征能力現狀或水平，占比最大（30.93%）．表征能力被PISA、NCTM等已賦予了豐富的內涵，而且PISA2000—2021年均將其作為學生數學基本能力之一．不過不同學者對表征能力研究的側重仍不盡相同，比如Hwamg關注學生的多元表征能力，探究學生幾何學習中多元表征能力是否影響學生的解題能力[36]；Hattkudur等聚焦學生建構表征的能力，測試學生在函數學習中建構圖象表征的能力[37]；郭萌等注重學生的表征轉換能力，調查五六年級學生的分數表征轉換能力[38]．此類研究根據不同的研究目的而選擇不同的數學內容，也通常與理解能力、問題解決能力等相聯系，如楊紅萍等研究學生問題表征能力與數學閱讀能力間的關系[39]．由于教師本身的數學表征能力與將知識轉化成讓學生容易理解的知識的能力息息相關，因此也不乏對教師進行表征能力的測試，不過主要聚焦于職前教師，如Yilmaz等探究職前小學教師在問題提出中的多元表征能力[27]．

表2 不同研究主題文獻數量分布

（2）表征過程．

表征過程的探究是為了呈現動態的行為特征，研究對象僅有學生．大多研究者通過測試或觀察學生在某一領域數學問題的解答過程中發現學生表征過程的特點，例如，Adugymfi等通過測試學生在解答多項式函數來探究學生在代數與圖象之間進行表征轉換的特征[26]．這類研究的目的可以是為了分析學生的錯誤表征過程而間接幫助學生，亦或是探究動態表征是否更有助于學生理解，比如Daher等證明了GeoGebra通過呈現不同函數表征的轉換確實幫助學生提高了解決數學問題能力[30]；也有不少學者探究學生的內部表征，即思維活動與外部表征之間的轉換過程，比如Schindler等通過眼動跟蹤方法探究建構整數表征的認知加工過程，目的旨在了解學生概念學習的內在認知過程[40]．

（3）表征使用．

表征使用中的“表征”作為一種工具，研究對象包括學生、教師、課堂以及教材，目的是為了幫助學生學習．關于學生表征使用的研究中一部分是探究使用不同表征能否幫助學生問題解決或概念學習，比如巴桑卓瑪等探索藏族學生在問題解決中使用表征的特征[41]；大部分是探究信息技術支持下學生對動態表征的使用，如Ozgunkoca等比較技術軟件呈現的不同表征對學生學習線性函數的效果[42]．教師表征使用研究的目的是為了在教學中幫助學生，比如Stylianou等比較新手與專家教師在幾何教學中使用可視化表征的異同，結論是專家教師比新手教師使用可視化表征的頻率更高，并且學生的理解更為深刻[32]；教師在表征使用中往往也會借助信息技術，例如Bleich等研究教師是如何通過動態軟件使用圖片表征來解決問題的，并且總結圖片表征的功能包含交流、理解及美觀3類[43]．課堂中表征使用的研究實際上指教學活動中學生或教師對表征的使用，如蔡金法等比較中美課堂發現亞洲課堂的師生習慣使用符號表征，而美國師生喜歡使用口頭表征和圖片表征[33]．教材對表征的使用體現在電子教材中，如Yerushalmy等探究在技術支持下電子教科書中使用動態表征后教學的變化[34]．

（4）表征特征．

在展現教材的特點時經常會用“表征”一詞，大多是通過單本或者比較多本不同版本教材而呈現教科書的表征，這里表征的含義與呈現相同．不過呈現教材特點也會從諸多方面考慮：有對問題解決過程的描述，比如范良火等比較不同國家數學教科書中數學問題解決過程的不同表征[28]；有從概念編排角度的探究，比如章飛等從概念形成、概念同化、概念建構等方面展現教科書概念的表征方式[44]；有從語言學視角切入的研究，如?sterholm比較語言的簡潔度、復雜性、關系、人稱來展現教科書的特征[45]；也有通過數學問題的多元表征或者轉換來敘述，例如很多研究者通過分析數學問題的口語、符號、圖象或混合表征來呈現特點，再比如Chang將微積分教科書的特征通過問題的代數符號、圖象、表格、文本表征之間的轉換來展現[46]．

（5）表征本身．

表征本身內涵豐富，在認知心理學中指人腦內部的心智活動，又可指思維活動的外在表現形式，可表示數學關系的過程，也表示關系的形式[6]，所以研究者會根據情境的不同而選取不同的內涵．對于表征本身的研究，有從表征詞性分析，比如Iori分析教學過程中“sign”與“representation”的差異[35]；更多的是從內部表征、外部表征、多元表征、表征轉換、表征能力、表征靈活性等多個子概念分析．從數學知識角度考慮，數學內部表征指不同數學結構之間的關聯，外部數學表征指數學人工符號系統；從概念認知角度考慮，內部表征被認為是個人的心理表征，一般不能被直接觀察到，而外部表征指可觸摸的有形的行為或對象，并且外部和內部表征之間是互動的[47]．多元表征一般指多元外部表征，而且不少研究證明學生使用多元表征比單個表征更助于理解數學．表征轉換表示不同表征之間的相互變換，于學生而言，這種轉換能力即表征能力之一，表征靈活性也就成為其表征能力評價指標之一[48]．數學表征能力被NCTM中以過程標準提出，主要是指學生能夠在問題解決和學習中具有創建、使用、選擇、應用以及轉換表征的能力[5]，與PISA中的定義差異不大．結合表1發現國內關于表征理論的介紹不在少數，主要以思辨方法綜述表征的定義、應用或功能．

（6）信息技術．

Kaput于1986總結表征的兩種功能，一是數學本身可以作為思維和交流的工具，二是信息技術的引進可以提供新的或多元的表征[29]．表2表明信息技術在各研究對象中均有參與，說明引入信息技術而提供新的表征、多元表征或者可視化表征已引起學者的關注，例如Santostrigo等探究如何用動態軟件表征圓錐曲線促使問題更容易被理解[49]．對于學生而言，信息技術提供的表征是為了幫助自己理解數學概念；于教師而言，如何利用信息技術來幫助學生學習而讓課堂變成高效課堂是其追求的目標；于教材而言，電子教科書除卻迷你，便于攜帶的優點外，更具特色的是可以提供多元的、動態的表征．對于信息技術的引入，雖然諸多研究表明多元表征可以加深學生對數學概念的理解，但有時也會適得其反，比如Ainsworth等通過實驗證明在技術支持下多元表征環境中，學生估算能力反而下降[50]．

3.5 分析框架

大部分研究者會參照NCTM中對數學表征能力的界定，實際上歸納為表征交流能力、表征轉換能力以及表征建模能力．徐斌艷等區分數學表征能力以及表征轉換能力，認為數學表征能力是用符號、圖表、文字等某種形式，表達數學概念或關系從而解決問題；數學轉換能力則解釋為為了簡化或解決問題而使用改變信息形態的數學轉化策略[51]．并將表征能力劃分為3個水平，水平一指能夠針對數學對象提出并利用標準化表征，水平二為可以清晰地解釋給出的數學表征并轉換不同的表征形式，水平三為理解并應用不熟悉的表征，能夠針對問題創建新的表征且有目的地評價表征[6]．

多數研究者會采用質性分析法描述表征過程，主要針對學生解題過程．Adugymfi等為描述學生數學表征轉換過程而開發的模型可以清晰地描繪學生解題時表征轉換的行為以及解題過程中所犯的錯誤類型[26]，如圖4所示．由于表征轉換指表征之間的變換，故有源表征和靶表征兩個概念．源表征經歷中間不同的過程后得到靶表征，并且循環過程可經歷一次也可經歷多次．其循環中的等值轉換指從源表征到靶表征傳遞的信息是等價的，即在轉換源表征的過程中保留了所有信息；性質轉換指理解和識別源表征所具備的特征或性質，比如在轉換函數圖象為解析式的過程中，識別和理解圖象上點、線含義的過程即為性質轉換；操作轉換指運算等操作過程，例如根據表格中的點繪制圖象的過程．等值轉換與性質轉換兩個過程具有相似性，均保持了語義的一致性．差別在于，性質轉換過程的靶表征上僅呈現源表征中明確的信息，而等值轉化過程的靶表征中會呈現源表征中不是很明確的信息．因此，在描述學生表征轉換的過程中即能診斷出學生的錯誤原因，包括操作轉換中出現的操作錯誤，或性質轉換中的解釋錯誤，亦或等值轉換中的保留錯誤．

Ainsworth針對多元表征環境學習設計的DeFT（Design，Function，Tasks，簡稱DeFT）分析框架針對課堂、教師和學生[52]，包含設計、功能、任務3個維度．設計維度指教師為多元表征環境的課堂而從數量、信息、形式、序列、轉換方面所作的設計．表征數量指表征的頻次；信息分布指信息在不同表征上的分布；表征形式指照片、文字、動畫等表征的方式；表征序列指產生表征的先后順序；表征轉換指表征之間的相互轉換．表征的設計實際上隱含著教學功能，即框架的第二個維度，包括互補、解釋和深度理解功能．互補功能指不同表征所攜帶的信息可以相互彌補；解釋功能指利用多元表征更為有效地解釋信息；深度理解指通過多元表征的遷移構建更深層次的理解．任務實際上是學生在課堂中所應具備的表征能力．首先，學生應該理解表征的形式，知道表征的編譯過程以及表征所表示的信息，比如需要知道表格由行、列、標簽等組成；其次，學生應理解表征與領域間的關系，比如在只有時間、距離兩個變量的圖表征上讀取速度時，需要理解圖表與速度之間的關系；第三、學生應該學會選取適當的表征，比如選擇折線圖來表示變化趨勢；最后，學生應該學會構建新的表征，比如有研究表明學生在繪制圖表，即創造新的表征時，比僅選擇已有圖表更有利于培養學生的邏輯推理．

圖4 學生表征轉換過程模型

教材的表征研究更多的是呈現其表征特點，現較為常見的分析框架如表3所示[53]．對數學教材的活動、例題和練習題從表征、任務情境及認知需求水平進行分析．宏觀角度即選取教科書的數學內容的分類．微觀角度即具體分析的維度，表征是展示問題的表示形式，任務情境是問題設置的背景，認知需求即問題的難易程度．該框架除了可以獲取教材外在的數學表征特點之外，還能獲取教材難易程度或對學生認知要求的信息．

表3 教材中數學表征的分析框架

關于表征本身，韜爾最初是從布魯納的3種表征得到啟發，在經歷一系列的實踐修改后總結出數學的“三個世界”理論，為具體化的、符號化的以及形式化的世界，對應布魯納的動作性、算術的符號以及邏輯的符號表征．圖5所示的框架[3]是在原來“三個世界”的基礎進行了調整，對應學生的思維發展過程．具體化概念保持不變，依舊表示具體的、物理的、形象的數學概念；符號化概念進行了窄化，定義為操作的符號化，僅聚焦于符號的運算與操作，并且將其統稱為經驗的數學．擴大了形式化概念內涵，定義為公理的形式化，并且從理論的數學及公理形式化的數學兩個維度討論：理論的數學是通過已知對象的性質、操作性質推理而成，比如歐氏幾何學中所出現的定理；公理化形式化的數學是在集合論的基礎上，通過形式化的邏輯推導或證明而得到的性質．數學思維長期的發展過程最初是先掌握具體化的概念表征，然后通過操作方式掌握操作性的符號化表征，這也就形成了經驗的數學；之后通過感知的方式進行概念的推理，或者操作符號進行推理與證明，從而形成理論的數學，即形式化數學中的一部分；最后在具體化表征和符號化表征基礎上發展為形式化表征．自然地，在數學思維達到公理的形式化階段后，可以產生更多的具體化和符號化來促進數學學習．

圖5 數學的“三個世界”理論

4 研究展望

4.1 數學學習心理

表征本身源于認知心理學，引入數學教育領域，一方面是解析學生數學學習的內部表征，從而了解學生的思維發展過程，另一方面教師可以根據認知規律更具針對性地作教學設計．雖然中國早期不乏從心理學角度探討數學表征，但依舊未形成系統的實踐理論．目前在數學核心素養統領的新課程改革中，越來越多的一線教師開始關注表征在課堂中的作用，試圖使用學生更易接受的表征形式來降低學生學習的認知負荷．然而教師對表征的使用僅局限在外部表征層面，對教學的設計很少能夠真正從學生的思維發展過程考慮．因此從一線教師視角切入表征的研究可以從以下方面進行：首先可以從表征角度深入探究培養數學核心素養的心理認知過程，為教師更好地落實數學核心素養提供理論依據；其次，完善表征在數學學習心理的實踐理論，為教師診斷學生的數學思維、合理設計多元表征環境的教學設計提供思路．

4.2 數學問題解決

加涅認為問題解決是一種高級規則的學習，表征是解決數學問題的必備能力．首先，學生需要表征數學問題，包括字面的理解以及問題的深層理解，即學生頭腦中對數學問題的重述，這一步驟在很大程度上是學生能否解題的關鍵．其次，解決數學問題的過程需要表征轉換，而且需要避免出現概念理解或操作性的錯誤．所以學生對問題的表征能力以及不同表征之間轉換的能力尤為重要．而大部分研究聚焦于學生問題表征能力的現狀或水平，或者問題表征過程特征的呈現，對于如何通過問題解決培養學生表征能力的研究較為匱乏．基于此，從期望課程的角度考慮，教科書中的數學問題的表征方式、表征過程以及它需要培養學生的哪些素養是值得思考的問題．從實施課程的角度思考，中國對教師或者職前教師的表征研究原本甚少，所以教師本身如何在課堂中呈現數學問題的合理表征，如何對學生在問題解決過程中的表征錯誤進行對癥下藥，或者教師本身所具備多少表征能力等都值得深入研究．

4.3 信息技術使用

在前文不同對象的研究主題中，或多或少都有提到信息技術的使用．Kaput在20世紀80年代已關注到信息技術的引入導致數學教育的變化，不僅能夠提供不同表征形式的轉換，還可以直觀呈現新的表征形式、多元表征、聯結表征等．現階段教師越來越重視動態的、聯結的數學表征，使用幾何畫板、GeoGebra等軟件教學已然成為數學教學的流行方式．尤其在后疫情時代，數學教育與信息技術不容分割．大部分研究表明課堂上由信息技術帶來的表征形式有助于學生理解數學，但是反對的聲音也逐漸增多．天花亂墜的動態、可視化、多元的表征形式所充斥的課堂，是否真的有助于學生學習；是否對于所有學生都起到正面作用．所以亟需相關的實證研究為信息技術在課堂中的使用提供教學策略，一方面需要思考如何在課堂中有效使用信息技術；另一方面需要考慮哪些數學內容的表征適合在課堂教學中引入動態軟件．

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Research Status of Representation on Mathematics Education

SHEN Yang1, ZHANG Jin-yu2, BAO Jian-sheng1

(1. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. Minhang Institute of Education, Shanghai 200241, China)

The concept of representation originates from cognitive psychology and is an important factor affecting mathematics learning. Using a mixed methods approach, the present study is aiming to analyze the studies on representation in the field of mathematics education, based on 239 papers related to mathematical representation in two important domestic and foreign databases, ERIC and CNKI. These papers are statistically analyzed from five aspects, i.e., the time distribution, research objects, mathematical content, research topics and analysis framework. Main results are as follows: the number of literatures related to mathematical representation has increased significantly in the past 10 years; in term of the research objects, most studies were focused on students, but the studies related to teachers and textbooks have become a trend; the content of mathematics is mostly limited to algebra, especially equations and functions.In terms of the research topic,the exploration of the mathematical representation ability of students and teachers dominates. From the perspective of analytical framework, different research topics usually have different analytical frameworks for analyzing various modes of representation, the function of representation and representation transformation in mathematics. On the whole, it has become a basic trend of representation research to carry out empirical research on multiple representations and their transformations in mathematics teaching from the perspectives of mathematical learning psychology, mathematical problem solving and information technology.

representation; mathematics education; ERIC; CNKI

2021–11–20

教育部人文社會科學重點研究基地重大項目——義務教育階段數學學科核心能力模型與測評框架研究（11JJD880027）；上海市核心數學與實踐重點實驗室基金（18dz2271000）

沈陽（1992—），女，浙江東陽人，博士生，主要從事數學課程與教學論研究．

G420

A

1004–9894（2022）02–0082–08

沈陽，張晉宇，鮑建生．表征在數學教育中的研究現狀[J]．數學教育學報，2022，31（2）：82-89．

[責任編校：周學智、陳漢君]