方位彈性阻抗傅里葉級數裂縫預測方法

劉曉晶 陳祖慶 陳 超 肖秋紅

(中國石油化工股份有限公司勘探分公司物探研究院, 四川成都 610041)

0 引言

郭旭升等[1-2]研究涪陵氣田焦石壩、平橋地區五峰組—龍馬溪組頁巖后認為，裂縫是影響頁巖氣產能的關鍵因素。隨著頁巖氣勘探向深層領域邁進，頁巖儲層裂縫對工程壓裂的積極作用逐漸體現。天然裂縫具有良好的結構弱面，強度較低，導致存在天然裂縫的地層更易于壓裂，是影響壓裂效果的關鍵因素[3]之一。因此，高精度裂縫預測在頁巖氣勘探中具有重要意義。在地震數據處理中每一個炮檢距向量片(Offset Vector Tile，OVT)都有自己的方位角信息，偏移后能夠保留方位角信息。因此，OVT地震道集資料在疊前各向異性裂縫預測中具有明顯優勢[4-6]，為高精度裂縫預測奠定了良好的數據基礎[7-9]。

Hudson[10-11]、Thomsen[12]認為，含裂縫地層具有明顯的各向異性特征，基于方位各向異性的裂縫預測已經成為當前的主流技術。目前的裂縫預測方法主要分為兩類。第一類方法基于方位地震數據的振幅或振幅導出屬性(頻率、衰減等)預測裂縫。Mallick等[13]認為，反射振幅隨方位的變化曲線大致是一條周期為π的余弦曲線，可據此預測裂縫。Rüger[14]建立了HTI介質方位AVO反射系數近似方程，為各向異性研究奠定了基礎。Al-Marzong等[15]在極坐標系下將不同方位的AVO梯度隨觀測方位的變化關系擬合為橢圓，并利用橢圓率表征裂縫發育密度，橢圓長軸指示裂縫走向。Downton等[16-18]利用傅里葉級數展開Rüger的方位AVO反射系數近似方程，根據二階傅里葉系數預測裂縫。印興耀等[19]基于疊前方位道集，利用各向異性梯度反演方法預測裂縫。王康寧等[20]對比了傅里葉級數與橢圓展開法，認為二者預測結果等價。第一類方法得到的裂縫各向異性信息實際是界面兩側地層裂縫信息的綜合響應，無法確定上覆、下伏地層的裂縫信息。第二類方法基于方位AVO疊前地震反演獲得不同方位的彈性參數，進而利用橢圓擬合法預測裂縫，或者直接反演各向異性參數。王建花等[21]利用方位楊氏模量橢圓擬合預測裂縫。陳懷震[22]、Pan 等[23]基于巖石物理模型驅動研究了各向異性參數反演，并取得一定效果。第二類方法可直接求取目的層內的裂縫信息，在理論上精度更高。雖然寬方位地震勘探已成為現階段地震勘探技術發展的主流方向之一，為方位AVO疊前反演提供了高品質的五維道集資料[5]，但待反演參數維度高(一般為5～6個)，且各向異性參數值較彈性參數值小得多，反演穩定性有待提升。

第一類方法僅能得到界面兩側地層的綜合響應，無法確定上覆、下伏地層的裂縫信息，影響實際勘探評價，精度偏低。為此，本文基于Rüger的方位AVO反射系數近似方程[14]，首先推導了方位彈性阻抗方程，將裂縫介質的界面信息轉化為地層內部的彈性信息，方位彈性阻抗差異體現了地層的各向異性。其次，利用傅里葉級數展開方位彈性阻抗方程求取二階傅里葉系數，通過方位彈性阻抗與余弦函數的互相關求取裂縫法向。最后，通過模型驗證方法的有效性與抗噪性，利用川東南DS-DX地區頁巖氣實際資料驗證方法的精度，并利用裂縫預測結果簡單評估壓裂施工情況。

1 方位彈性阻抗方程傅里葉級數展開

在HTI介質中，非零入射角的不同方位地震波速度存在差異，因此地震振幅隨方位變化。Rüger[14]根據一階擾動理論給出了HTI介質方位反射系數近似方程

[Δδ(v)+8gΔγ]cos2φ}sin2θ+

Δδ(v)sin2φcos2φ]sin2θtan2θ

(1)

Downton等[16]利用傅里葉級數展開式(1)，并利用二階傅里葉系數預測裂縫

R(θ,φ)=r0+r2(θ)cos2φ+r4(θ)cos4φ

(2)

式中r0、r2、r4分別為基于反射系數的零階、二階、四階傅里葉系數。

基于式(2)的裂縫預測結果是界面兩側介質的綜合響應，無法確定上覆、下伏地層的裂縫信息。為了消除這種不確定性，首先根據Connolly[24]與Whitcombe[25]建立彈性阻抗的思想，將式(1)轉換為方位彈性阻抗方程

exp[ε(v)cos4φsin2θtan2θ]×

exp[sin2θcos2φ(1+tan2θsin2φ)×

δ(v)]×exp(4gγsin2θcos2φ)

(3)

由于式(3)是非線性的，為了方便求解，進一步對其線性化處理。首先令

(4)

將式(3)等式兩端同時除以A(θ)，并令EIA(θ,φ)=AEI(θ,φ)/A(θ)，再對等式兩邊取對數，即可得到線性化方位彈性阻抗方程

lnEIA(θ,φ)=sec2θlnVP-8gsin2θlnVS+

(1-4gsin2θ)lnρ+ε(v)cos4φsin2θtan2θ+

δ(v)sin2θcos2φ(1+sin2φtan2θ)+

4gγsin2θcos2φ

(5)

由于裂縫的各向異性特征與方位有關，且式(5)中的方位信息均為三角函數冪的形式。通過傅里葉級數展開，進而可以得到方位彈性阻抗的傅里葉級數展開式

ln[EIA(θ,φ)]=A0+A2cos2φ+A4cos4φ

(6)

其中

A0=sec2θlnVP-8gsin2θlnVS+

(7)

(8)

(9)

式中：A0為基于方位彈性阻抗的零階傅里葉系數，為背景項，與觀測方位無關，包含弱各向異性信息；A2與A4分別為基于方位彈性阻抗的二階與四階傅里葉系數，只與入射角和各向異性參數有關，反映了裂縫的各向異性特征。通常θ<30°，則sin2θtan2θ≈0，A4≈0。

根據川東南地區五峰組—龍馬溪組頁巖特征設計了兩層模型(表1)分析式(6)的精度(圖1)。可見：二階項隨方位呈周期性變化明顯，四階項接近于0，且四階項幅值遠小于二階項(圖1a)； 式(6)取三項與前兩項的曲線幾乎重合(圖1b)，因此第三項A4cos4φ可以忽略。

上述分析表明，式(6)可以簡化為

ln[EIA(θ,φ)]≈A0+A2cos2φ

(10)

其中

(11)

根據各向異性參數與裂縫密度的關系[26]

(12)

(13)

將式(12)、式(13)代入式(11)，得

(14)

式中e為裂縫密度。

表1 兩層介質模型參數

圖1 式(6)精度分析(a)二階項與四階項； (b)兩項與三項展開

由式(14)可知：θ越大，|A2|越大，因此通常使用較大入射角的地震數據預測裂縫； 當θ一定時，|A2|與e成正比，因此|A2|反映了裂縫密度。

2 傅里葉系數提取與裂縫面法向預測

準確求取傅里葉系數與裂縫面法向即可準確預測裂縫。將φ=φ-φN代入式(10)，得

ln[EIA(θ,φ)]≈A0+A2cos2φNcos2φ+

A2sin2φNsin2φ

(15)

待求的φN不隨觀測方位變化，可以視為常數，因此可以將A2cos2φN、A2sin2φN分別視為cos2φ、sin2φ的系數。由于正弦函數與余弦函數均具有正交性，因此對于N個方位彈性阻抗即可利用

(16)

(17)

(18)

(19)

快速求取A2與φN，式中Δφ為觀測方位角的變化量。然而，Downton等[16]指出，由于arctan函數的值域為[0，180°]，利用式(19)得到的φN的值域為[0，90°]，當實際裂縫面的φN大于90°時，則無法準確預測φN。為此，Ma等[27]提出利用成像測井裂縫方位信息進行約束，可以解決井點附近裂縫方位預測不準的問題，但對于遠離井點的位置，可能存在較大預測誤差。

由式(10)可見，ln[EIA(θ,φ)]隨φ的變化由cos2φ控制，通過求取ln[EIA(θ,φ)]與cos2φ的互相關系數求取φN，即將cos2φ從左向右平移φN后，計算cos2φ與ln[EIA(θ,φ)]的相關系數

(20)

為了準確預測裂縫面法向，進一步利用表1數據分析式(10)，尋求準確的預測裂縫方法。圖2為ln[EIA(θ,φ)]與cos2φ的互相關分析，由圖可見：①ln[EIA(θ,φ)]隨φ的變化曲線(圖2a)與cos2φ隨φ的變化曲線(圖2b藍線)具有明顯的相關性，且存在一定相位差。②當φ=20°(平行裂縫面)時，ln[EIA(θ,φ)]最大，隨著φ逐漸增大，ln[EIA(θ,φ)]逐漸減小，當φ=110°(垂直裂縫面)時，ln[EIA(θ,φ)]達到最小(圖2a)。③將cos2φ從φ=0°開始向右平移，當φ=20°時，cos[2(φ-20π/180)](圖2b藍線)與ln[EIA(θ,φ)]形態一致，RE(φN)達到最大(圖2c)； cos2φ再向右平移，RE(φN)逐漸減小直至負值，當φ=110°(垂直裂縫面)時(圖2b紅線)，RE(φN)達到最小，且RE(φN)曲線呈周期性變化，周期為π(圖2c)。因此只需找出一個周期內RE(φN)最小時對應的平移角度φN，即可確定裂縫面的法向

cos[2(φi-φN)]}

(21)

根據上述分析建立了基于方位彈性阻抗傅里葉級數的裂縫預測流程(圖3)。首先，將方位疊前地震道集劃分為N個方位道集，將每個方位道集分為小、中、大入射角地震數據并進行部分疊加； 其次，對N個方位的大入射角地震數據開展系數脈沖反演得到N個大入射角彈性阻抗數據體； 然后，將N個方位彈性阻抗數據體除以A(θ)并取對數，進而利用式(15)～式(18)求取A2表征裂縫密度； 最后，利用互相關方法求取裂縫法向，進而準確預測裂縫。

圖2 ln[EIA(θ,φ)]與cos2φ互相關分析(a)ln[EIA(θ,φ)]隨φ變化曲線；(b)cos2φ隨φ變化曲線；(c)RE(φN)隨φN變化曲線

圖3 基于方位彈性阻抗傅里葉級數的裂縫預測流程

3 模型測試

為了驗證方法的有效性，設計了四層模型(表2)，利用40Hz的雷克子波作為震源進行正演，得到θ=30°的方位地震道集(圖4a)，基于地震數據的傅里葉級數展開預測裂縫(圖4)?？梢姡鹘缑娴恼穹Sφ的變化曲線(圖4c～圖4e)清晰地展示了各向異性特征，但直接利用振幅的預測結果只能反映界面的各向異性特征(圖4b箭頭處)，無法反映地層的裂縫發育特征(圖4b紅色虛線框與實線框分別指示第1層、第3層)，無法確定上覆、下伏地層的裂縫信息。

圖5為無噪聲時基于方位彈性阻抗的傅里葉級數展開裂縫預測結果。由圖可見：①θ=30°的方位彈性阻抗(圖5a)清晰地展示了第1層與第3層的彈性阻抗隨φ的變化。②A2(圖5b)指示第1層與第3層的裂縫發育強度一致，第2層與第4層裂縫不發育。③常規方法(圖5c)得到的第1層的φN準確(與模型一致),第3層的φN不準確(35°,與模型相差90°)。④本文方法得到的第1層與第3層的φN較準確(圖5d)。由于受噪聲影響，通常不能得到精確的方位彈性阻抗。圖6為含噪聲(信噪比為40)時基于方位彈性阻抗的傅里葉級數展開裂縫預測結果，由圖可見，裂縫預測結果與不含噪聲時一致。

進一步在方位彈性阻抗中加入不同強度的噪聲(信噪比分別為20、10)，分別得到基于方位彈性阻抗的傅里葉級數展開裂縫預測結果(圖7、圖8)?？梢姡捎诜轿粡椥宰杩故茉肼曈绊戄^大，隨著噪聲強度增加對裂縫預測結果的影響也增大(圖8)，但仍能清楚地指示第1層與第3層的裂縫發育特征，預測的φN抖動劇烈，但裂縫預測結果與不含噪聲時基本一致。

模型測試表明，基于方位彈性阻抗傅里葉級數展開的裂縫預測方法能較好地預測裂縫發育情況以及裂縫法向，精度較高且抗噪性較強。

表2 四層介質模型參數

圖4 基于地震數據的傅里葉級數展開裂縫預測結果(a)θ=30°的方位道集合成記錄； (b)r2； (c)界面1振幅隨φ變化曲線； (d)界面2振幅隨φ變化曲線； (e)界面3振幅隨φ變化曲線

圖5 無噪聲時基于方位彈性阻抗的傅里葉級數展開裂縫預測結果(a)θ=30°方位彈性阻抗； (b)A2； (c)常規方法的φN； (d)本文方法的φN

圖6 含噪聲時基于方位彈性阻抗的傅里葉級數展開裂縫預測結果(信噪比為40)(a)θ=30°方位彈性阻抗； (b)A2； (c)常規方法的φN； (d)本文方法的φN

圖7 含噪聲時基于方位彈性阻抗的傅里葉級數展開裂縫預測結果(信噪比為20)(a)θ=30°方位彈性阻抗； (b)A2； (c)常規方法的φN； (d)本文方法的φN

圖8 含噪聲時基于方位彈性阻抗的傅里葉級數展開裂縫預測結果(信噪比為10)(a)θ=30°方位彈性阻抗； (b)A2； (c)常規方法的φN； (d)本文方法的φN

4 實際資料應用

4.1 預測精度對比

圖9 DY4巖心

圖10 DY4井成像測井、DY4井旁大入射角不同方位地震、彈性阻抗數據對比(a)成像測井； (b)、(c)、(d)入射角27°時，方位角分別為0°～30°、30°～60°、60°～90°的部分疊加剖面；(e)、(f)、(g)入射角27°時，方位角分別為0°～30°、30°～60°、60°～90°的方位彈性阻抗反演剖面

圖11 井旁道OVT疊前道集(a)以及目的層均方根振幅隨方位角變化(b)圖a中紅色曲線為炮檢距變化曲線，藍色曲線為方位角變化曲線，黑色虛線為五峰組底界(O3w)

圖12 DY4井裂縫密度預測剖面(a)基于方位振幅； (b)基于方位彈性阻抗(圖10e～圖10g)黑色曲線為成像測井數據得到的裂縫密度曲線

圖13 DY4井實測裂縫走向(a)與預測裂縫走向(b)

4.2 預測結果應用

頁巖氣勘探逐漸走向深層領域(埋深大于4000m)，地應力增加，地層壓裂難度增加，施工難度較大。若地層中裂縫發育，地層更容易破裂，降低了壓裂施工的破裂壓力。圖14為DS-DX地區過DYS1HF井裂縫預測剖面。由圖可見，水平井軌跡在優質頁巖層段穿行，其中1～9段以及20～26段裂縫密度較低，中部10～19段裂縫較發育。DYS1HF井區預測裂縫平面分布圖(圖15)同樣表明DYS1HF井10～19段裂縫較發育。圖16為DYS1HF井3～26段破裂壓力直方圖。對比圖14、圖15與圖16發現，裂縫發育段(11～19段)地層破裂壓力相對其他段較低(圖16)，其中14～16段裂縫密度最大(圖15)，破裂壓力最低。DYS1HF井破裂壓力與A2交會分析表明，裂縫密度與破裂壓力呈負相關，即裂縫越發育，破裂壓力越低(圖17)。因此，本文提出的裂縫預測方法精度較高，裂縫預測結果可為頁巖氣井位部署、水平井設計等提供可靠的參考依據。

圖14 DS-DX地區過DYS1HF井裂縫預測剖面

圖15 DYS1HF井區預測裂縫平面分布圖

圖16 DYS1HF井3～26段破裂壓力直方圖

圖17 DYS1HF井破裂壓力與A2交會圖

5 結論

文中提出了基于方位彈性阻抗傅里葉級數展開的裂縫預測方法。首先通過方程推導建立方位彈性阻抗方程，將地震界面各向異性信息轉化為地層內部各向異性信息，進而對方位彈性方程進行傅里葉級數展開，去除與方位無關的背景項，提取反映裂縫各向異性的二階傅里葉系數預測裂縫發育情況。所提方法與基于方位地震振幅數據的方法相比，能夠直接反映地層內部裂縫發育情況。為了準確預測裂縫面法向，提出了互相關裂縫法向預測方法，解決了當實際裂縫面法向方位角大于90°時，無法準確預測的難題。模型數據預測結果與真實模型基本一致，實際數據預測結果與成像測井結果一致，具有較高精度。