頻率—空間域非均質(zhì)聲波有限差分模擬

吳 悠 吳國忱* 李青陽 楊凌云 賈宗鋒

(①中國石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東青島 266580；②海洋國家實(shí)驗(yàn)室海洋礦產(chǎn)資源評價(jià)與探測技術(shù)功能實(shí)驗(yàn)室，山東青島 266071)

0 引言

模擬地震波的傳播對理解地下介質(zhì)中的復(fù)雜波現(xiàn)象具有重要意義。有限差分法的模擬結(jié)果能反映完整的地震波場信息，且模擬過程相對簡單、高效，因而得到廣泛應(yīng)用。頻率域波動(dòng)方程有限差分?jǐn)?shù)值模擬相對于時(shí)間域具有獨(dú)特優(yōu)勢，如可靈活地選擇計(jì)算頻段、各單頻分量相互獨(dú)立、適于多震源模擬、適于頻率相關(guān)介質(zhì)的地震波模擬等[1]。密度是地下巖石的一個(gè)重要彈性參數(shù)，對油氣藏描述具有重要意義，因此進(jìn)行包括密度參數(shù)的正演模擬是必不可少的[2]。現(xiàn)有關(guān)于聲波方程頻率域正演研究的文獻(xiàn)很少考慮密度的空間變化，因此本文考慮空間變密度對波傳播的影響，構(gòu)建了基于交錯(cuò)網(wǎng)格的高階有限差分模擬算法的一般框架，并應(yīng)用于頻率域非均質(zhì)聲波正演。

在頻率域有限差分模擬中，大規(guī)模稀疏矩陣的結(jié)構(gòu)直接影響矩陣方程的求解[3]，而矩陣結(jié)構(gòu)的復(fù)雜度又依賴于空間導(dǎo)數(shù)的近似方法。Luo等[4]提出頻率域聲波方程有限差分的二階交錯(cuò)網(wǎng)格簡化式，該式只涉及二階波動(dòng)方程中的壓力場。Pratt等[5-6]針對聲波和彈性波方程，采用中心有限差分得到聲波方程的五點(diǎn)格式和彈性波方程的九點(diǎn)格式。Jo等[7]提出的最優(yōu)化九點(diǎn)方法由經(jīng)典笛卡爾坐標(biāo)系和45°旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上二階導(dǎo)數(shù)算子的兩種離散方法線性組合而成，這兩種離散方法的結(jié)合降低了網(wǎng)格的各向異性，進(jìn)一步結(jié)合質(zhì)量加速度項(xiàng)的加權(quán)平均，可得到一個(gè)具有最佳各向異性和頻散特性的緊湊模板，然后利用相速度頻散最小優(yōu)化方法，得到最優(yōu)權(quán)重系數(shù)(下文將該方法稱為混合網(wǎng)格法)。Stekl等[8]將混合網(wǎng)格法推廣到彈性波方程，在彈性情況下須考慮矢量場，因而該方法更復(fù)雜。為使混合網(wǎng)格適應(yīng)流體情況，只能使用旋轉(zhuǎn)網(wǎng)格框架下的離散方法。Shin等[9]對混合網(wǎng)格法做第二次擴(kuò)展，即在對聲波方程模擬時(shí)運(yùn)用一個(gè)25點(diǎn)的模板，每個(gè)波長需要的最少網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)減至2.5，阻抗矩陣的帶寬保持不變，所需核心存儲(chǔ)單元的數(shù)量僅為原來的四分之一。

針對頻率域波動(dòng)方程正演模擬，人們也進(jìn)行了諸多研究。吳國忱等[10]將25點(diǎn)優(yōu)化差分算子應(yīng)用于頻率—空間域正演，模擬彈性波在TTI介質(zhì)中的傳播。殷文等[11]做了頻率—空間域二維彈性波方程高精度25點(diǎn)有限差分正演模擬研究。梁鍇等[12]基于TTI介質(zhì)做了頻率—空間域qP波方程的波場傳播特性研究。吳建魯?shù)萚13]研究了上覆液相頻率域聲—彈耦合正演并推廣到全波形反演。李青陽等[14]提出準(zhǔn)規(guī)則網(wǎng)格高階有限差分法非均值彈性波波場模擬方法。張衡等[15]發(fā)展了一種基于平均導(dǎo)數(shù)方法(Average-derivative method，簡稱ADM)的25點(diǎn)有限差分格式以實(shí)現(xiàn)聲波方程頻率域高精度正演。劉璐等[16]綜合利用加權(quán)平均算子、平均加速度項(xiàng)和優(yōu)化系數(shù)三種方法，提出了優(yōu)化15點(diǎn)差分格式。馬曉娜等[17]從頻散關(guān)系、計(jì)算效率和存儲(chǔ)量三方面對比分析了四種差分方法，為高精度數(shù)值模擬和聲波頻率域全波形反演提供方法選擇上的參考。范娜等[18]提出一種通用差分系數(shù)優(yōu)化方法，只要給定差分模板形式，即可直接構(gòu)造頻散方程，求取優(yōu)化系數(shù)。

基于以上頻率—空間域波動(dòng)方程正演模擬研究相關(guān)方法和思想，本文構(gòu)建了基于稀疏交錯(cuò)網(wǎng)格法離散頻域二階聲波變密度方程的一般框架，且提供了一種適用于該差分框架的完全匹配層(Perfectly matched layers，PML)吸收邊界條件[19]。通過經(jīng)典諧波分析比較了混合網(wǎng)格和四階交錯(cuò)網(wǎng)格的頻散特性，結(jié)果表明四階交錯(cuò)網(wǎng)格模板的精度略高于混合網(wǎng)格模板。比較幾種模板阻抗矩陣的結(jié)構(gòu)，混合網(wǎng)格法的計(jì)算效率顯著優(yōu)于四階交錯(cuò)網(wǎng)格法，這是由于使用四階交錯(cuò)網(wǎng)格法時(shí)擴(kuò)大了矩陣帶寬。另外，基于其緊湊性，混合網(wǎng)格模板在CPU和RAM性能方面是最佳的。

1 非均質(zhì)聲波傳播理論

在各向同性介質(zhì)假設(shè)下，時(shí)間域聲波方程可表示為如下二階雙曲偏微分方程

(1)

式中：ρ(x，z)是介質(zhì)密度的空間分布函數(shù)；u(x，z，t)=[u1(x，z，t)，u3(x，z，t)]為質(zhì)點(diǎn)位移，且u1(x，z，t)和u3(x，z，t)分別表示u(x，z，t)在x、z方向的位移分量；K(x，z)為彈性介質(zhì)體積模量。

式(1)可分解為以下兩個(gè)標(biāo)量方程

(2)

為降低方程階數(shù)并簡化后續(xù)離散過程，定義

(3)

式中：P(x，z，t)為聲壓場；Q(x，z，t)和S(x，z，t)分別為x、z方向質(zhì)點(diǎn)速度。式(3-1)對時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，并結(jié)合式(2)和式(3)，可得時(shí)間域二維聲波方程的一階形式

(4)

對該式做傅里葉變換，得到頻域的二維聲波變密度方程

(5)

式中： i為虛數(shù)單位；ω為角頻率。針對該式即可利用交錯(cuò)網(wǎng)格進(jìn)行后續(xù)離散。

地震波數(shù)值模擬只能處理有限區(qū)域，為減弱人工邊界造成的虛假反射，需在模擬過程中添加邊界條件，現(xiàn)應(yīng)用最廣泛的是PML吸收邊界條件，該邊界理論上對任意角度、任意頻率的波場都能完全吸收。

針對頻率域聲波方程，首先將P(x，z，ω)分解為Px(x，z，ω)和Pz(x，z，ω)，即式(5)分裂為

(6)

為加入PML吸收邊界條件，可在頻率域?qū)ψ鴺?biāo)進(jìn)行復(fù)延伸，以x方向?yàn)槔?/p>

(7)

衰減函數(shù)取

(8)

式中：DPML為層寬度；x表示PML域內(nèi)質(zhì)點(diǎn)水平位置； 系數(shù)cPML為實(shí)驗(yàn)選取經(jīng)驗(yàn)值。定義衰減系數(shù)

(9)

得到具有PML吸收邊界條件的頻率—空間域二維聲波變密度方程

(10)

為說明該P(yáng)ML邊界對人工邊界反射的吸收效果，在簡單二維半空間介質(zhì)中進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)(圖1)，可知該P(yáng)ML邊界吸收效果良好。

圖1 最佳匹配層(PML)邊界吸收效果示意圖(a)和(b)分別表示添加邊界前、后的頻率切片(50Hz)； (c)和(d)分別表示添加邊界前、后的波場快照(250ms)

2 兩類不同網(wǎng)格剖分的正演算法

2.1 交錯(cuò)網(wǎng)格法

由前文易得具有PML吸收邊界條件的頻率—空間域二維聲波變密度方程

(11)

利用二階交錯(cuò)網(wǎng)格做模擬，其差分格式如圖2所示。

圖2 聲波變密度二階交錯(cuò)網(wǎng)格示意圖黑點(diǎn)為聲壓場，三角、長方形對應(yīng)x、z方向質(zhì)點(diǎn)速度。圖3、圖4同

采用二階中心差分格式將式(11)離散化

(12)

式中：d為步長；i、j分別表示差分中心點(diǎn)在x、z方向的坐標(biāo)。其余一階導(dǎo)數(shù)差分格式依此類推。

將該離散公式代入式(11)，并按Luo等[4]給出的化簡技巧(Parsimonious technique)將式中的Q、S消掉，再合并，得到二階聲壓差分方程

(13)

對該式按圖2所示5點(diǎn)差分格式整理，可得

C1Pi,j+C2Pi-1,j+C3Pi+1,j+

C4Pi,j-1+C5Pi,j+1=-Si,j

(14)

其中各系數(shù)分別如下

(15a)

(15b)

由以上系數(shù)點(diǎn)陣構(gòu)造阻抗矩陣，并求解線性方程組，即可進(jìn)行頻率域聲波變密度波場模擬。

為降低數(shù)值頻散，提高模擬精度，在利用二階交錯(cuò)網(wǎng)格做模擬的基礎(chǔ)上，自然想到通過提高差分階數(shù)的方法達(dá)到此目的，四階交錯(cuò)網(wǎng)格差分格式如圖3所示。

圖3 聲波變密度四階交錯(cuò)網(wǎng)格示意圖

采用四階交錯(cuò)網(wǎng)格差分格式將式(11)離散化

(16)

其余一階導(dǎo)數(shù)差分格式依此類推。將離散式(16)代入式(11)并按Luo等[4]的方法將式中的Q、S消掉，合并得到四階聲壓差分方程

(17)

對該式按圖3所示13點(diǎn)差分格式整理可得

C1Pi,j+C2Pi-1,j+C3Pi+1,j+C4Pi,j-1+C5Pi,j+1+C6Pi-2,j+C7Pi+2,j+C8Pi,j-2+

C9Pi,j+2+C10Pi-3,j+C11Pi+3,j+C12Pi,j-3+C13Pi,j+3=-Si,j

(18)

其中各系數(shù)對應(yīng)如下

(19)

由以上系數(shù)點(diǎn)陣構(gòu)造阻抗矩陣，并求解線性方程組，即可進(jìn)行頻率域聲波變密度波場模擬。

進(jìn)而，由前述二階(式(13))、四階(式(17))聲壓差分方程，可推廣至交錯(cuò)網(wǎng)格任意階聲壓差分方程

(20)

式中：ah和am是差分系數(shù)；N表示差分階數(shù)。表1給出十階以內(nèi)對應(yīng)的差分系數(shù)。

不同差分階數(shù)的方程對應(yīng)不同差分系數(shù)，將差分系數(shù)代入式(20)并按相應(yīng)差分格式構(gòu)造系數(shù)點(diǎn)陣，進(jìn)一步構(gòu)造阻抗矩陣并求解，即可進(jìn)行頻率—空間域聲波變密度方程交錯(cuò)網(wǎng)格高階有限差分模擬。

表1 十階以內(nèi)差分系數(shù)

2.2 混合網(wǎng)格法

Jo等[7]提出一種最優(yōu)化9點(diǎn)有限差分格式，該方法將每個(gè)波長需要的最小網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)減至約4個(gè)，它由經(jīng)典笛卡爾坐標(biāo)系和45°旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上二階導(dǎo)數(shù)算子的兩個(gè)離散方法線性組合而成。據(jù)此，本文總結(jié)一種混合網(wǎng)格有限差分法，利用兩種二階交錯(cuò)網(wǎng)格的混合，實(shí)現(xiàn)頻率域非均勻介質(zhì)聲波場的高精度數(shù)值模擬。混合網(wǎng)格差分格式如圖4所示。

將傳統(tǒng)二階網(wǎng)格與旋轉(zhuǎn)45°網(wǎng)格結(jié)合，得到具有PML吸收邊界條件的混合網(wǎng)格頻率域二維聲波變密度方程

(21)

式中a為加權(quán)系數(shù)。

旋轉(zhuǎn)網(wǎng)格框架與傳統(tǒng)網(wǎng)格框架下偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系為

(22)

圖4 聲波變密度混合網(wǎng)格示意圖菱形表示45°方向質(zhì)點(diǎn)速度

采用二階中心差分格式將式(21)離散化

(23)

其余一階導(dǎo)數(shù)差分格式依此類推。將該離散式代入式(21)，并按Luo等[4]的方法將式中的Q、S消掉，合并得到混合四階聲壓差分方程

(24)

同時(shí)對質(zhì)量加速度項(xiàng)按9點(diǎn)格式加權(quán)分配，可得

(25)

式中c、e為加權(quán)平均系數(shù)。結(jié)合以上兩式，按圖4所示旋轉(zhuǎn)混合9點(diǎn)差分格式整理，可得

C1Pi,j+C2Pi-1,j+C3Pi+1,j+C4Pi,j-1+C5Pi,j+1+

R1Pi-1,j-1+R2Pi+1,j-1+R3Pi-1,j+1+R4Pi+1,j+1=-Si,j

(26)

其中各系數(shù)對應(yīng)如下

(27)

式中系數(shù)a=0.5461，c=0.6248，e=0.09381。

優(yōu)化求取方法參照J(rèn)o等[7]方法，由以上系數(shù)點(diǎn)陣構(gòu)造阻抗矩陣，并求解線性方程組，即可做頻率域聲波變密度波場模擬。進(jìn)一步地，由二階混合差分方程(式(27))格式，可推廣至混合格式任意階聲壓差分方程

(28)

3 計(jì)算精度及效率分析

3.1 計(jì)算精度分析

頻率—空間域二維聲波方程解析解為

(29)

將二階交錯(cuò)網(wǎng)格法和混合網(wǎng)格法的數(shù)值模擬結(jié)果與解析解結(jié)果進(jìn)行對比(圖5和圖6)，可知二階交錯(cuò)網(wǎng)格法和混合網(wǎng)格法的模擬精度與解析解結(jié)果總體相差不大，具有較高模擬精度，且混合網(wǎng)格法的模擬精度明顯好于二階交錯(cuò)網(wǎng)格法。

圖5 二階交錯(cuò)(a)、四階(b)、混合(c)三種網(wǎng)格及解析法(d)得到的頻率切片(f=30Hz)對比

圖6 二階交錯(cuò)(a)、四階交錯(cuò)(b)、混合(c)三種網(wǎng)格及其解析解的頻率切片抽道(第81道)對比

3.2 數(shù)值頻散分析

為有效壓制數(shù)值模擬過程中的頻散現(xiàn)象，同時(shí)提高模擬精度和效率，須通過頻散分析確定合適的模擬參數(shù)。以四階交錯(cuò)網(wǎng)格差分法為例，將平面簡諧波解P=P0e-i(kx+kz)(e為自然常數(shù))代入式(17)所示四階交錯(cuò)網(wǎng)格離散方程，并假設(shè)dx=dz=d，其中dx、dz分別為x和z方向的空間采樣間隔，θ為傳播角度，k為波數(shù)，α1=9/8、α2=-1/24為差分系數(shù)，離散情況下有Pi，j=P0e-idk(isinθ+jcosθ)，得到頻散方程

4α1α2cos(kdsinθ)-4α1α2cos(2kdsinθ)-

2α2α2cos(3kdsinθ)+4α2α2-2α1α1cos(kdcosθ)+

4α1α2cos(kdcosθ)-4α1α2cos(2kdcosθ)-

2α2α2cos(3kdcosθ)]

(30)

定義數(shù)值相速度和群速度分別為vph=ω/k和vgr=?ω/?k，可得

(31)

式中G=λ/d=2π/(k/d)，為每個(gè)波長內(nèi)的網(wǎng)格數(shù)。

同理，可對二階交錯(cuò)網(wǎng)格法及混合網(wǎng)格法進(jìn)行分析，得到如圖7～圖9所示歸一化相速度和群速度頻散曲線。由圖可知相同采樣間隔情況下四階交錯(cuò)網(wǎng)格法和混合網(wǎng)格法的數(shù)值頻散情況遠(yuǎn)優(yōu)于二階交錯(cuò)網(wǎng)格。

圖7 二階交錯(cuò)網(wǎng)格法求取的歸一化相速度(a)和歸一化群速度(b)頻散曲線

圖8 四階交錯(cuò)網(wǎng)格法求取的歸一化相速度(a)和歸一化群速度(b)頻散曲線

圖9 混合網(wǎng)格法求取的歸一化相速度(a)和歸一化群速度(b)頻散曲線

3.3 矩陣結(jié)構(gòu)分析

在頻率域有限差分模擬過程中，大規(guī)模稀疏矩陣的結(jié)構(gòu)直接影響矩陣方程的求解，而矩陣結(jié)構(gòu)的復(fù)雜度與空間導(dǎo)數(shù)的近似方法密切相關(guān)。表2對比了三種差分格式對應(yīng)的阻抗矩陣特征，其中nx為水平方向的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)。從非零條帶的分布可以看出相較于二階交錯(cuò)網(wǎng)格，混合網(wǎng)格非零條帶分布復(fù)雜程度稍有增加，而四階交錯(cuò)網(wǎng)格非零條帶分布復(fù)雜度大大增加，這也相應(yīng)的反映在了計(jì)算時(shí)間上。

圖10對比了三種差分格式對應(yīng)的阻抗矩陣示意圖，其中模型網(wǎng)格尺寸為15×15，即對應(yīng)于一個(gè)225階矩陣。圖中可見，相較于二階格式矩陣，四階格式的帶寬增加了三倍，而混合網(wǎng)格格式的矩陣帶寬僅稍有增加，這極大降低求解相應(yīng)線性方程組的計(jì)算量和內(nèi)存耗用量。

表2 三種差分格式對應(yīng)的阻抗矩陣特征

圖10 二階(a)、四階(b)、混合(c)三種差分格式對應(yīng)的阻抗矩陣示意圖

4 數(shù)值模擬結(jié)果及分析

4.1 層狀模型

構(gòu)建一個(gè)200×200網(wǎng)格單元的簡單層狀模型(圖11)，震源在(1010m，210m)處，空間步長統(tǒng)一為10m，震源采用主頻為20Hz的雷克子波(圖11)。

圖11 層狀模型

圖12為層狀介質(zhì)模型得到的30Hz頻率切片，可觀察到速度界面和密度界面反射現(xiàn)象。

圖13為頻率切片經(jīng)傅里葉逆變換得到的時(shí)間域t=500ms波場快照，速度層界面和密度層界面反射波明顯，從中可見二階交錯(cuò)網(wǎng)格法得到的時(shí)間域波場存在明顯頻散現(xiàn)象，模擬精度低，相比之下四階交錯(cuò)網(wǎng)格法和混合網(wǎng)格法得到的波場快照顯示數(shù)值頻散得到有效壓制，模擬精度明顯提高。

圖14為層狀介質(zhì)模型得到的共中心點(diǎn)道集，其中直達(dá)波、速度層反射波和密度層反射波同相軸明顯，二階交錯(cuò)網(wǎng)格法得到的道集中數(shù)值頻散干擾明顯，而四階交錯(cuò)網(wǎng)格和混合網(wǎng)格法則有效壓制了數(shù)值頻散。

圖15是對三個(gè)共中心點(diǎn)道集抽取第81道記錄對比，結(jié)果顯示四階交錯(cuò)網(wǎng)格法和混合網(wǎng)格法模擬精度接近且遠(yuǎn)高于二階交錯(cuò)網(wǎng)格法，二階交錯(cuò)網(wǎng)格法在反射波處存在明顯數(shù)值頻散現(xiàn)象。

因此，對層狀模型的正演模擬測試說明了方法的精度和準(zhǔn)確性。

圖12 二階交錯(cuò)(a)、四階交錯(cuò)(b)、混合(c)三種網(wǎng)格對應(yīng)的層狀模型f=30Hz頻率切片

圖13 二階交錯(cuò)(a)、四階交錯(cuò)(b)、混合(c)三種網(wǎng)格對應(yīng)的層狀模型t=500ms波場快照

圖14 二階交錯(cuò)(a)、四階交錯(cuò)(b)、混合(c)三種網(wǎng)格對應(yīng)的層狀模型地震記錄

圖15 二階交錯(cuò)(紅)、四階交錯(cuò)(黑)、混合(綠)三種網(wǎng)格對應(yīng)的層狀模型地震記錄抽道對比(第81道)

4.2 Marmousi模型

為進(jìn)一步驗(yàn)證和說明本文方法對復(fù)雜模型的適用性和穩(wěn)定性，采用復(fù)雜Marmousi模型(圖16)進(jìn)行測試。模型尺寸為500×250，網(wǎng)格間距為10m，震源采用主頻為20Hz的雷克子波，震源激發(fā)點(diǎn)位于坐標(biāo)(2510m，251m)處，檢波器置于模型表面。

圖17為由該模型得到的30Hz頻率切片，從中可觀察到界面反射現(xiàn)象。

圖18為頻率片經(jīng)過傅里葉逆變換得到的時(shí)間域t=500ms波場快照，其界面反射波明顯，且可見二階交錯(cuò)網(wǎng)格法得到的時(shí)間域波場存在明顯的頻散現(xiàn)象，模擬精度低，相比之下四階交錯(cuò)網(wǎng)格法和混合網(wǎng)格法得到的波場快照顯示數(shù)值頻散得到有效壓制，模擬精度明顯提高。

圖19為由模型得到的共中心點(diǎn)道集，其中直達(dá)波、反射波同相軸明顯，二階交錯(cuò)網(wǎng)格法所得道集中數(shù)值頻散干擾明顯，而四階交錯(cuò)網(wǎng)格法和混合網(wǎng)格法則有效壓制了數(shù)值頻散。

總之，對Marmousi模型進(jìn)行正演模擬測試驗(yàn)證了方法的穩(wěn)定性和可靠性。

圖16 縱波速度(a)和密度(b)表征的Marmousi模型

圖17 二階交錯(cuò)(a)、四階交錯(cuò)(b)、混合(c)三種網(wǎng)格對應(yīng)的Marmousi模型f=30Hz頻率切片

圖18 二階交錯(cuò)(a)、四階交錯(cuò)(b)、混合(c)三種網(wǎng)格對應(yīng)的Marmousi模型t=500ms波場快照

圖19 二階交錯(cuò)(a)、四階交錯(cuò)(b)、混合(c)三種網(wǎng)格對應(yīng)的Marmousi模型共中心點(diǎn)道集記錄

5 結(jié)論

針對頻率—空間域非均勻聲介質(zhì)中地震波有限差分正演模擬問題，本文運(yùn)用交錯(cuò)網(wǎng)格思想，分別用笛卡爾坐標(biāo)系提高差分階數(shù)和結(jié)合45°旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系提高差分階數(shù)兩種方式提高模擬精度，導(dǎo)出兩類方法的有限差分公式，對比分析了兩類方法的計(jì)算精度和效率，并通過模型測試驗(yàn)證了方法的精度和穩(wěn)定性，得到如下認(rèn)識(shí)。

(1)考慮密度參數(shù)在油氣地球物理勘探中的重要性，本文研究頻率—空間域非均勻聲介質(zhì)地震波有限差分正演模擬，并構(gòu)建了分別應(yīng)用兩種方式提高正演模擬精度的一般框架，得到了任意階數(shù)下兩種方法的一般差分公式，對后續(xù)正演和反演研究都具有現(xiàn)實(shí)意義。

(2)對交錯(cuò)網(wǎng)格和混合網(wǎng)格模型的數(shù)值頻散分析表明，混合網(wǎng)格的相速度和群速度的數(shù)值離散度都小于二階交錯(cuò)網(wǎng)格，因?yàn)榛旌暇W(wǎng)格法將笛卡爾坐標(biāo)系和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上的兩種二階交錯(cuò)網(wǎng)格模板線性組合，同時(shí)對質(zhì)量加速度項(xiàng)進(jìn)行了加權(quán)平均，加強(qiáng)了兩種交錯(cuò)網(wǎng)格模板之間的耦合。

(3)幾種差分方法的計(jì)算效率由矩陣結(jié)構(gòu)復(fù)雜度決定，也就是由離散模板幾何的緊湊性控制，構(gòu)建網(wǎng)格時(shí)涉及的周圍點(diǎn)越少越好。二階的混合網(wǎng)格模板需9個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，四階近似的交錯(cuò)網(wǎng)格模板需13個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，因此用于矩陣分解的內(nèi)存需求和浮點(diǎn)運(yùn)算顯著增加。在內(nèi)存占用和計(jì)算效率兩方面，混合網(wǎng)格策略對于二維頻率域有限差分建模均展現(xiàn)出明顯的優(yōu)越性。