魯棒優化解決不確定性問題

張一鐸

第一章 不確定性問題的優化

1.1 不確定問題優化方法

實際生活中很多問題都具有不確定性（Uncertainty），隨著最優化理論的不斷發展和計算機能力的提高，不確定性優化受到了學界前所未有的重視。早在20世紀50年代，Bellman、Zadeh和Charnes等人便已開始對不確定性優化進行子研究。隨著社會的不斷發展，我們所接觸到的問題的復雜度不斷提高，模型的不確定性也在不斷擴大[1]。比如：飛機航班的線路規劃、電網的最優調度、物流路徑的最優規劃等等。在實際生活中，模型參數的不確定性主要來自以下幾個方面：數據在統計和采集過程丟失而導致數據偏差過大;天氣等不可抗力因素的干擾;

認知不全導致現有模型與實際生活中存在偏差;對于一些難以求解的非凸非線性模型，進行簡化描述。為了不確定性問題進行求解型，相關學者提出了一系列的優化求解方法：隨機規劃、魯棒優化、靈敏度分析、模糊規劃等等。不確定性優化的理論和方法不斷地被開發出來。據分析階段的不同，不確定優化的理論分為事前分析、和事后分析兩大類方法。我們接下來主要對這兩大類的不確定理論展開敘述。

1.2事前分析方法

隨機規劃根據不同的決策規則，可以分為三類：

1） 期望模型。首先確定不確定參數的分布模型，然后通過選取離散或連續的概率分布函數對不確定參數進行描述，最終通過求取函數的期望將不確定問題轉化為確定性問題并求解。如果目標函數和約束中存在隨機參數，只需求取相應函數的期望值，將模型轉化為確定性模型進而求解。

2） 機會約束規劃模型。通俗來講，機會約束規劃是指允許決策不滿足約束條件，但是決策滿足約束條件的概率不低于事先設定的置信水平的規劃求解模型時，目標達到最優的理論。

3） 相關機會約束規劃模型。相關機會約束規劃是當決策者面臨多個事件時，希望最大化滿足這些事件的概率而產生的一種規劃方法。無論是期望模型還是機會約束規劃模型，最終都是確定性優化求解并得出準確值。相關機會規劃雖然求解結果是確定的，但并不代表一定實現，規劃的目的是極大化該事件的實現概率。

1.3事后分析方法

魯棒優化棒優化是研究不確定優化問題的一種新建模方法，它源自魯棒控制理論，是隨機優化和靈敏度分析的補充替換，其目的是尋求一個對于不確定輸入的所有實現都能有良好性能的解。該方法與隨機優化的不同之處在于，它沒有假設不確定參數的分布，也即是每個可能值都同等重要，當它面向最壞情況時，代表一個最保守的結果。在過去幾十年中，魯棒優化方法在自然科學、工程技術、經濟管理等各個領域得到了廣泛的應用和發展，深受國內外學者的關注。

第二章 魯棒優化

2.1魯棒優化理論的特點

魯棒優化與其它不確定優化方法的最大區別在于：

1）魯棒優化強調的是所謂的硬約束，尋求一個對于不確定輸入的所有實現都能有良好性能的解，即不確定優化問題的解對于任何一個可能參數的實現都必須是可行的，而其它不確定優化問題并沒有這個要求。

2）魯棒優化的建模思想與其它優化方法不同，它是以最壞情況下的優化為基礎，這代表了一個保守的觀點。得到的優化方案并不是最優的，但是，當參數在給定的集合內發生變化時，仍能確保優化方案是可行的，使模型具有一定的魯棒性，即優化方案對參數擾動不敏感。

3）魯棒優化對于不確定參數沒有分布假定，只是給出不確定參數集，不確定參數集合內的所有值都同等重要。

4）魯棒優化的目的是求得這樣一個解，對于可能出現的所有情況，約束條件均滿足，并且使得最壞情況下的目標函數的函數值最優。 其核心思想是將原始問題以一定的近似程度轉化為一個具有多項式計算復雜度的凸優化問題。魯棒優化的關鍵是建立相應的魯棒對等模型。然后利用相關的優化理論將其轉化為可求解的“近似”魯棒對等問題，并給出魯棒最優解。

2.2魯棒優化理論的應用領域

魯棒優化是解決內部結構和外部環境不確定環境下的一種新的優化方法。魯棒優化是研究不確定優化問題的一種新建模方法，它源自魯棒控制理論，是隨機優化和靈敏度分析的補充替換，其目的是尋求一個對于不確定輸入的所有實現都能有良好性能的解。該方法與隨機優化的不同之處在于，它沒有假設不確定參數的分布，也即是每個可能值都同等重要，當它面向最壞情況時，代表一個最保守的結果。在過去幾十年中，魯棒優化方法在自然科學、工程技術、經濟管理等各個領域得到了廣泛的應用和發展，深受國內外學者的關注。魯棒優化解決內部結構變動問題時，主要是約束條件參數的不確定性或目標函數參數的不確定性解決外部環境變化時，主要是外界不確定性擾動。魯棒優化己經從最初的線性優化魯棒方法，發展到魯棒優化理論的經典體系[2]。與其它不確定優化問題的處理方法不同的是，魯棒優化更加適用于如下情況：

①不確定優化問題的參數需要估計，但是有估計風險;

②優化模型中不確定參數的任何實現都要滿足約束函數;

③目標函數或者優化解對于優化模型的參數擾動非常敏感;

④決策者不能承擔小概率事件發生后所帶來的巨大風險。

2.2應用魯棒優化理論目前的瓶頸

專家學者結合各行業存在的實際問題，利用魯棒優化進行不確定模型研究時會采用不同的解決方式，然而研究流程大致相同。

魯棒優化作為研究不確定優化問題的新方法受到了越來越多學者的關注，采用事先分析的策略，在優化模型建立的過程中就考慮了參數的不確定性，其優化解的魯棒性突破了過去優化模型不確定參數過多依賴先驗知識以及服從概率分布的假定[3]。盡管魯棒優化還未形成統一的理論體系，但正是這種百花齊放的研究思路給該領域的研究注入了活力，同時也表明該領域的研究還有許多函待解決的問題：

①在不確定集的確定上，如何與參數不確定性產生的來源和敏感級別結合起來，選擇集合的形狀和大小;

②完善并豐富初始不確定優化問題轉化為魯棒對等式的理論體系，使魯棒對等式為計算可處理的;

③對優化模型參數在其不確定集以外取值的情況加以分析，找到控制優化性能惡化的途徑和方法;

④推廣魯棒優化的應用范圍，使該理論不僅可以在經濟管理問題中得以應用，而且還可以拓展到實際的優化調度問題中。

參考文獻

[1]覃嶺. 基于魯棒優化理論的電力系統機組組合研究[D].天津大學，2017.

[2]宗群，王維佳，何彥昭.基于魯棒優化理論的電梯群控調度策略[J].控制理論與應用，2008（04）：743-748.

[3]邱志平，陳吉云，王曉軍.結構魯棒優化的非概率集合理論凸方法[J].力學學報，2005（03）：295-300.