具有自重置功能的兩部件溫貯備可修系統的可靠性分析

艾合買提江·玉買爾 孫煥盛 艾克拜爾·艾孜提力 依皮提哈爾·買買提

摘要：該文討論具有自重置功能的兩部件溫貯備可修系統。系統有兩種修理策略，一是每個部件都有自重置功能，即通過自動錯誤檢測從故障中自動恢復;二是通過修理工修理故障的部件。該文首先研究該系統穩態和瞬時可靠性指標，然后討論了系統各參數對系統可靠性的影響。

關鍵詞：溫貯備系統;自重置;可用度;可靠度

中圖分類號：TP393? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2022）06-0082-03

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

由兩部件和一個修理工組成的系統，是現實生活中常見的系統，許多學者研究了不同類型的兩部件可修系統[1-7]。文獻[7-8]中討論了兩部件溫貯備可修系統，即系統由一個工作部件和一個溫貯備部件構成， 當工作部件發生故障時，溫貯備部件立即去替換并轉為工作部件。兩個部件在最短的時間內切換，溫貯備是必不可少的。本文為提高系統可靠性，在上述系統的基礎上引入了每個部件，每個部件都有自重置功能策略，都能通過自檢進行自動錯誤檢測，并從故障中自動恢復。這種策略在無人值守的控制系統中非常有用。一般來說，自重置時間比維護時間短得多，通過自重置功能可以提高系統的可靠性。首先建立此系統的數學模型，然后研究該系統的穩態和瞬時可靠性。通過數值計算的方法分析系統各參數對系統可靠性指標的影響。

1 系統的描述及模型的建立

先對系統做如下假設：

假設1系統由一個工作部件和一個溫貯備部件構成，系統中只有一個修理工。 當工作部件故障，貯備部件立即去替換并轉為工作部件。一個故障部件自重置（自復位）或等待維護之后，它將成為系統的溫貯備部件。 當兩個部件都故障而需要修理時，系統處于故障狀態。只有在兩個部件維修完成后，系統才會重新開始運行。修復率用[μ3]來表示。

假設2 所有的故障率都是常數。這里有兩種故障形式，其中一種故障可以通過自重置來修復，工作或貯備時都可能發生故障，用[λ11]，[λ21]分別表示工作部件、貯備部件的故障發生率。 而另一種故障則需要修理工修復，用[λ12]，[λ22]表示。

假設3 所有修復率都是常數。部件修復后和新部件一樣。修復也有兩種模式，一種是自重置，修復率用[μ1]來表示，另一種是修理工修復，修復率用[μ2]來表示。系統中只有一個修理工。

假設4 所有隨機變量均相互獨立。 轉換開關的故障率為0（假定轉換開關是完全可靠的）。轉換開關是瞬時的。

通過分析系統的性質和以上的假設條件可知，本系統共有以下6種狀態：

狀態0：兩個部件都完好;

狀態1：一個部件處于工作狀態，另一個處于故障狀態，導致此部件自動重啟;

狀態2：一個部件處于工作狀態，另一個處于故障狀態，導致此部件需要維修;

狀態3：兩個部件處于一種故障狀態，導致兩個部件都自動重啟;

狀態4：一個部件處于一種故障狀態，導致此部件自動重啟，另一部件處于另一種故障狀態，導致此部件需要維修;

狀態5：兩個部件都處于一種故障狀態，導致兩個部件都需要維修;

容易知道，狀態5是系統的故障狀態。于是，狀態集為[E=0，1，2，3，4，5]，工作狀態集為：[W=0，1，2，3，4]， 故障狀態集為：[J=5]。 若令：

[X（t）=j]? 表示時刻[t]系統處于狀態[j （j=0，1，2，3，4，5，6）].

則 [X（t）|t≥0] 是有限狀態集[E]上的對齊 Markov 過程[7，8]。 以下求在[Δt]時間內系統不同狀態之間的轉移概率：[pi，j（Δt）].

[p0，1（Δt）]=[λ11Δt+λ12Δt+o（Δt）]， [p0，2（Δt）]=[λ21Δt+λ22Δt+o（Δt）]，

[p0，3（Δt）]=[p0，4（Δt）]=[p0，5（Δt）]=[o （Δt）]，

[p0，0（Δt）]=[1-（λ11+λ12+λ21+λ22）Δt+o（Δt）]，

[p1，0（Δt）]=[μ1（Δt）+o（Δt）]， [p1，2（Δt）]=[o （Δt）]，[p1，3（Δt）]=[λ11（Δt）+o（Δt）]，

[p1，4（Δt）]=[λ21（Δt）+o（Δt）]， [p1，1（Δt）]=[1-（μ1+λ11+λ21）Δt+o（Δt）]，

[p2，0（Δt）]=[μ2（Δt）+o（Δt）]， [p2，1（Δt）]=[p2，3（Δt）]=[o （Δt）]，

[p2，4（Δt）]=[λ11（Δt）+o（Δt）]，[p2，5（Δt）]=[λ21（Δt）+o（Δt）]，

[p2，2（Δt）]=[1-（μ2+λ11+λ21）Δt+o（Δt）]，

[p3，0（Δt）]=[p3，2（Δt）]=[p3，4（Δt）]=[p3，5（Δt）]=[o （Δt）]，

[p3，1（Δt）]=[2μ1Δt+o（Δt）]， [p3，2（Δt）]=[o （Δt）]，

[p3，3（Δt）]=[1-2μ1Δt+o（Δt）]，

[p4，0（Δt）]=[p4，3（Δt）]=[p4，5（Δt）]=[o （Δt）]，

[p4，1（Δt）]=[μ2Δt+o（Δt）]， [p4，2（Δt）]=[μ1（Δt）+o（Δt）]，

[p4，4（Δt）]=[1-（μ1+μ2）Δt+o（Δt）]，

[p5，1（Δt）]=[p5，2（Δt）]=[p5，3（Δt）]=[p5，4（Δt）]=[o （Δt）]，

[p5，0（Δt）]=[μ3Δt+o（Δt）]， [p5，5（Δt）]=[1-μ3Δt+o（Δt）]，

由 Markov 過程的性質[7，8]，立即寫出轉移概率矩陣為：

[A=-（λ11+λ12+λ21+λ22）λ11+λ12λ21+λ22000μ1-（μ1+λ11+λ21）0λ11λ210μ20-（μ2+λ11+λ21）0λ11λ2102μ10-2μ1000μ2μ10-（μ1+μ2）0μ30000-μ3]

若令：

[pj（t）=pX（t）=j （j=0，1，2，3，4，5）]

并假設[t=0]時刻兩個部件都正常工作，即給定初始條件為：

[p0（0），p1（0），p2（0），p3（0），p4（0），p5（0）=1，0，0，0，0，0]

則由文獻[7]中介紹的方法得到描述該系統的數學模型為：

[dp0（t）dt，dp1（t）dt，dp2（t）dt，dp3（t）dt，dp4（t）dt，dp5（t）dt =（p0（t），p1（t），p2（t），p3（t），p4（t），p5（t））Ap0（0），p1（0），p2（0），p3（0），p4（0），p5（0）=1，0，0，0，0，0]? ? ? （1）

3 系統的可靠性分析

先求系統的穩態分布。為此需要求解如下線性方程組：

[π0，π1，π2，π3，π4，π5A=0，0，0，0，0，0，π0+π1+π2+π3+π4+π5=1.]? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

解 （2） 得：

[π0=2μ1μ3（μ1β+μ2+λ21）（μ1+μ2）α]，

[π1=2μ1μ3βλ（μ1+μ2）α]，[π2=2μ1μ3λ（μ1+μ2）α]，

[π3=βμ3λλ11（μ1+μ2）α]，[π4=2μ1μ3λ（λ21β+λ11）α]，

[π5=2μ1λλ21（μ1+μ2）α]

其中：

[λ=λ11+λ12+λ21+λ22]，

[α=4μ1μ3（μ1+μ2）（μ1E1+μ2+λ21）+4μ1μ3λE1（μ1+μ2）]

[+2μ1λλ21（μ1+μ2）+2μ1μ3λ（μ1+μ2）]，

[β=λ11μ2λ+（λ11+λ12）（λ21+μ2）（μ1+μ2）μ1（λ21+λ22）（λ21+μ1μ2+μ21）+λ21（λ11+λ12）]

由上面的穩態分布，可得該系統的穩態可用度和穩態故障頻度以及其他穩態可靠性指標：

[A=j∈wπj=π0+π1+π2+π3+π4]

[=μ3（μ1+μ2）（2μ21β+2μ1μ2+2μ1λ21+2μ1λβ+2μ1λ]

[+βλλ11）+2μ1μ3λ（λ21β+λ11）α]，

[M=i∈Wπij∈Faij=i=04πiai5][=π1λ+π2λ+π3λ+π4λ]

[=μ3λ2（μ1+μ2）（2μ1β+2μ1+βλ11）+2μ1μ3λ2（λ21β+λ11）α]，

[MUT=AM] （系統平均開工時間）， [MDT=AM=1-AM] （系統平均停工時間），

[MUT=1M] （系統平均周期）

現在討論系統的瞬時可靠性指標。根據文獻[7-8]中的方法，一般用對方程組（1）兩端作 Laplace 變換，求出系統瞬態解的 Laplace 變換表達式。由于此表達式比較復雜，不容易反演出來。所以在大多數的研究中，只停留在系統可靠性的穩態指標。眾所周知，穩態可靠性指標依賴于瞬時可靠性指標，且瞬時可靠性指標能清楚地反映出系統的運行趨勢。因此，本文用 MATLAB 軟件研究系統可靠性的瞬時指標并討論各參數對系統瞬時可靠性指標的影響。

為了便于計算，將一些參數的值固定如下：

[λ21]=0.0002，[λ11]=（7/3）[λ21]，[λ12]=0.9[λ11]，[λ22]=[λ21]，[μ1]=1/10，[μ2]=1/15，[μ3]=12

圖1表示系統的狀態概率[pn （n=0，1，2，3，4，5）]。 在圖2中，通過改變貯備部件的故障率[λ21]，表示出了[λ21] 對瞬時可用度[A（t）] 的影響。 可以看出，隨著[λ21]增加，瞬時可用度[A（t）]減少并且最終收斂到一個常數（穩態可用度）。類似地， 通過改變修復率[μ2]，表示出了[μ2]對瞬時可用度[A（t）]的影響，并且很容易看出，隨著修復率的增加，瞬時可用度 [A（t）] 增加，最終收斂到一個常數（穩態可用度）。這些結果符合實際情況。 同樣的方法可以討論其余的可靠性指標對瞬時可用度和瞬時故障頻率的影響。在文獻[7]中， 討論了兩部件溫貯備系統，但是部件沒有自重置功能。圖3給出了本文討論的系統和文獻[7]中的系統，很明顯，本文研究的系統可用度高。在圖3中，給出了瞬時可靠度。

4 結束語

本文主要討論了具有自重置功能的溫貯備可修系統的瞬時可靠性指標。通過上述結果可以得出結論：具有自重置功能和溫貯備冗余的控制器是提高系統可靠性和可用性的有效措施。當單部件系統的可靠性較低，維修人員的維修時間較長時，效果更加明顯。

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【通聯編輯：唐一東】