提升高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的途徑

●黎方平，張丹

一、數(shù)學(xué)抽象

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》把數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)（數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析）描述為“具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)”，“是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)培養(yǎng)的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力”。因此，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵在于提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是個體在數(shù)學(xué)思維過程中所具有的特征和特點，具有抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性、系統(tǒng)性、連貫性、靈活性、深刻性、批判性與創(chuàng)新性等特征。蘇聯(lián)教育學(xué)家巴班斯基經(jīng)過實驗研究，證實了中學(xué)生的學(xué)習(xí)與他們的思維品質(zhì)密切相關(guān)。中學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的形成和發(fā)展，主要是在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，學(xué)生通過自己獨立思考或與他人交流，逐漸養(yǎng)成的思維習(xí)慣和思想方法，是可以通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)活動提升的。數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象，數(shù)學(xué)的研究對象是從數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象得到的，其要求從事物的表面看到本質(zhì)，從片面看到整體，然后提煉出穩(wěn)定的、共同的特征。因此抽象性是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)最重要的特征。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)；數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中。數(shù)學(xué)抽象表現(xiàn)為獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認(rèn)識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系[1]。

（一）獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則

數(shù)學(xué)概念的形成過程一般會經(jīng)歷兩種不同層次的抽象過程：一種是從數(shù)學(xué)外部的事物出發(fā)抽象出數(shù)學(xué)概念，如日常生活中的“線性”關(guān)系，得到“正比例”函數(shù)的概念；另一種是在數(shù)學(xué)內(nèi)部，對已有的數(shù)學(xué)概念進一步抽象，如從正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)等抽象出“函數(shù)”的概念。

（二）提出數(shù)學(xué)命題和模型

在提出數(shù)學(xué)命題和模型的過程中，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)主要表現(xiàn)為：

（1）將實際問題“數(shù)學(xué)化”：用數(shù)學(xué)的語言對問題重新表述；

（2）理清命題的邏輯結(jié)構(gòu)：條件和結(jié)論分別是什么？ 條件是否充分？ 結(jié)論是否完整？

（三）形成數(shù)學(xué)方法與思想

數(shù)學(xué)的思想方法（方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想等）不僅是抽象的產(chǎn)物，其存在形式也是抽象的，數(shù)學(xué)思想方法的形成通常蘊含在數(shù)學(xué)概念、原理、命題的抽象過程及數(shù)學(xué)問題的解決過程中[2]。

（四）認(rèn)識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系

在高中階段，關(guān)于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和體系的抽象可以表現(xiàn)在以下幾個方面：

（1）在高觀點下對已學(xué)知識的系統(tǒng)梳理，如用函數(shù)思想梳理初中所學(xué)函數(shù)、方程、不等式；

（2）系統(tǒng)描述某個數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識體系，如向量的知識體系；

（3）利用核心概念串聯(lián)相關(guān)的知識，統(tǒng)一處理表面上不同的問題[2]，如函數(shù)與數(shù)列。

二、培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的途徑

對于中學(xué)數(shù)學(xué)教師而言，如何培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)呢？ 下面以“函數(shù)”教學(xué)為例進行闡述。

（一）在問題情境的分析中積累抽象活動經(jīng)驗

在高中階段的數(shù)學(xué)課程中，函數(shù)是非常重要的內(nèi)容，課程標(biāo)準(zhǔn)把函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的四條主線之一。函數(shù)的概念是高中生接觸到的第一個比較困難的概念，和初中的“變量說”相比，“集合—對應(yīng)說”的函數(shù)定義更具有一般性，而函數(shù)概念的抽象過程對于學(xué)生而言是有難度的，也是不容易想到的，如何才能在學(xué)生的認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上自然地獲取概念呢？ 一種普遍的觀點是，學(xué)習(xí)者必須能從許多事物、事件或情境中認(rèn)識或抽象出它們的共同特征，以便進行概括。在此基礎(chǔ)上，還要能夠從正反兩個方面對概念進行辨析。

“問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”是高中數(shù)學(xué)新版教科書的一大特點，教科書提供了豐富的問題情境，教學(xué)中關(guān)鍵是要對此進行恰當(dāng)?shù)姆治鲆龑?dǎo)。教師需通過創(chuàng)設(shè)切合學(xué)生實際的情境和問題，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，實現(xiàn)從具體到抽象的過渡，通過提問的方式定向訓(xùn)練思維的抽象性。在函數(shù)概念的抽象過程中，可以通過以下“問題串”實現(xiàn)：

問題1 某“復(fù)興號”高速列車加速到350km/h后保持勻速運行半小時.這段時間內(nèi)，列車行進的路程s（單位：km)與運行時間t(單位:h)的關(guān)系可以表示為s=350t。

（1）如果有人說:“根據(jù)對應(yīng)關(guān)系s=350t，運行1h就前進了350km。”你認(rèn)為這個說法正確嗎？

（2）s 和t 之間是的對應(yīng)關(guān)系是什么？ 在什么范圍適用？ s 與t 的取值范圍是什么？

（3）你能用集合語言來表述這種對應(yīng)關(guān)系嗎？

問題2 某公司要求工人每周工作至少1 天，至多不超過6 天，如果公司確定的工資標(biāo)準(zhǔn)是每人每天350 元，而且每周付一次工資。

（1）一個人一周的工資w 是他工作天數(shù)d 的函數(shù)嗎？ 用d 怎樣表示w？

（2）問題2 與問題1 是同一個函數(shù)嗎？

問題3 給出北京市某天的空氣質(zhì)量指數(shù)I 的變化圖。

（1）這天12：00 時空氣指數(shù)I 的值是多少？

（2）你認(rèn)為這里的I 是t 的函數(shù)嗎？ 你能用集合語言來表述這種對應(yīng)關(guān)系嗎？

問題4 給出某地近10年恩格爾系數(shù)值的列表，你認(rèn)為按此表給出的對應(yīng)關(guān)系，恩格爾系數(shù)r 是年份y 的函數(shù)嗎？如果是，你會用怎樣的語言來刻畫這個函數(shù)？

在分析案例、解決問題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生抓住案例的本質(zhì)特征，歸納4 個案例的共性并進行抽象概括：都包含兩個非空數(shù)集（A，B），都有一個對應(yīng)關(guān)系（式、圖、表），都有相同的特征：對于數(shù)集A 中的任意一個實數(shù)x，按照對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B 中都有唯一確定的數(shù)y 與之對應(yīng)。在此基礎(chǔ)上給出高中階段函數(shù)的定義，并結(jié)合4 個案例，理解定義中的符號f（x）的含義。

通過定向的提問和追問，將不可視的思維過程具體化，為從具體到抽象搭建了橋梁，積累了抽象活動經(jīng)驗。

（二）在概念建立的過程中培養(yǎng)抽象性思考的思維方式

在概念課的教學(xué)中，學(xué)生通過模仿學(xué)習(xí)，在以反映概念本質(zhì)特征的情境中抽象出數(shù)學(xué)概念，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗，學(xué)會“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”“用數(shù)學(xué)的語言表達世界”。概念的形成過程是發(fā)展學(xué)生思維抽象性的重要途徑。

概念教學(xué)一般經(jīng)歷如下過程：

（1）引入概念——從解決實際問題的需要或體系的發(fā)展過程引入概念；

（2）概括屬性——提供豐富的具體例證，進行屬性的分析、比較、綜合，得到本質(zhì)屬性；

（3）明確概念——通過下定義給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述（文字、符號、圖形）；

（4）辨析概念——以實例為載體分析關(guān)鍵詞的含義（正反例）；

（5）應(yīng)用概念——在具體問題中應(yīng)用概念、形成操作方法；

（6）納入概念系統(tǒng)——建立與相關(guān)概念的聯(lián)系[3]。

其中階段（2）（3）和（6）涉及概念的生成、內(nèi)涵與外延，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維的重要環(huán)節(jié)。

仍然以函數(shù)概念的教學(xué)為例，前面對情境的分析和歸納，完成了前三個教學(xué)環(huán)節(jié)，但還不一定能很好地理解函數(shù)的概念。教學(xué)中還需要完成概念的辨析和應(yīng)用，促進學(xué)生將所獲得的函數(shù)概念納入概念系統(tǒng)。

除了函數(shù)的概念，高中數(shù)學(xué)的以下概念課都值得認(rèn)真研究：集合的概念、任意角與弧度制、平面向量的實際背景及基本概念、數(shù)列的概念、平面的公理化體系、隨機事件、計數(shù)原理等。對于這些概念，一般都要從具體情境出發(fā)，經(jīng)歷分析、比較共同特征，進而概括其本質(zhì)屬性得到概念。經(jīng)歷概念的形成過程有效地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

（三）在知識體系的建構(gòu)中培養(yǎng)一般性思考問題的習(xí)慣

在函數(shù)概念教學(xué)過程中首先會遇到的問題是，學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)過函數(shù)的概念，即變量關(guān)系，高中階段又要通過對應(yīng)關(guān)系重新定義，這是為什么呢？有必要重新定義嗎？如果在教學(xué)過程中不涉及這類本質(zhì)性的問題，學(xué)生就會留下這樣的認(rèn)識：函數(shù)有兩個定義，這兩個定義是有區(qū)別的，都應(yīng)該記憶。因此教學(xué)過程中闡述重新定義的必要性就顯得尤為重要，它可以促進學(xué)生從“知其所以然”進步到“何由以知其所以然”。

課堂教學(xué)開始時，可以提出如下問題，以引發(fā)認(rèn)知沖突，引出學(xué)習(xí)的必要性：

（1）正方形的周長與邊長的關(guān)系l=4x 與正比例函數(shù)y=4x 相同嗎？

在教學(xué)的小結(jié)環(huán)節(jié)，可以通過以下問題促進學(xué)生的進一步思考：

（1）在這節(jié)課中我們是如何獲取函數(shù)概念的？

（2）與初中相比，函數(shù)的定義有什么不同，為什么需要重新定義？

（3）為什么定義中要求是“實數(shù)集到實數(shù)集”的對應(yīng)？

（4）在獲取了函數(shù)的概念之后，接下來我們應(yīng)該研究什么內(nèi)容？

在概念課的設(shè)計中，應(yīng)該讓學(xué)生在已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，感知高中數(shù)學(xué)的顯著變化，體會：為什么要提出新的定義？為什么要這樣來定義？改變定義中的關(guān)鍵詞語行不行，為什么？ 通過這些問題啟發(fā)思考，逐步培養(yǎng)學(xué)生一般性思考問題的習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

獲取了函數(shù)的概念之后，接下來我們要研究的是函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的一般研究路徑是：實際背景—函數(shù)概念—函數(shù)的圖象和性質(zhì)（性質(zhì)和圖象）—應(yīng)用。教學(xué)中要注意同一主線內(nèi)容的邏輯聯(lián)系，以函數(shù)的概念為指導(dǎo)，把研究路徑運用到研究基本初等函數(shù)中，比如在三角函數(shù)中，既注意借鑒指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的研究經(jīng)驗，設(shè)計三角函數(shù)的研究路徑，又注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注三角函數(shù)的特殊性，充分利用周期性簡化研究過程，使學(xué)生體驗研究方法的多樣性。

在教學(xué)中通過問題促使學(xué)生思考概念的本質(zhì)，思考知識的上下位關(guān)系，培養(yǎng)“發(fā)現(xiàn)問題和提出問題”的能力，養(yǎng)成一般性思考問題的習(xí)慣，在認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)與體系的過程中進一步發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

（四）在小結(jié)復(fù)習(xí)的整合中提升抽象思維能力

在小結(jié)復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)注意采取措施改變學(xué)生知識碎片化、淺表化的現(xiàn)狀，通過數(shù)學(xué)抽象使學(xué)生潛移默化地學(xué)會在孤立中看到聯(lián)系，在分散中看到整體，從表面看到本質(zhì)。比如，在函數(shù)主線中，隨著知識的縱向發(fā)展，與函數(shù)概念密切相關(guān)的有以下概念：

圖1 函數(shù)概念與其他概念的聯(lián)系

函數(shù)是描述客觀世界變量關(guān)系和規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，相關(guān)概念的生成過程需要呈現(xiàn)豐富的現(xiàn)實背景：指數(shù)函數(shù)刻畫的是呈現(xiàn)“指數(shù)增長” 的運動變化現(xiàn)象，三角函數(shù)則是刻畫周期運動的數(shù)學(xué)模型，在定義一類函數(shù)時，都應(yīng)該明確如下四個要點：

（1）這類函數(shù)的現(xiàn)實背景是什么？它刻畫了哪類運動變化現(xiàn)象？

（2）決定這類運動變化現(xiàn)象的要素是什么？

（3）要素之間的相互關(guān)系如何？

（4）可以用怎樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫？

數(shù)列的本質(zhì)是定義在正整數(shù)集（子集）上的一類特殊的離散型函數(shù)，概率則可以看作是定義在樣本空間（有限樣本點）全體子集上的“集函數(shù)”?；谶@樣的認(rèn)知，就可以沿用與函數(shù)相同的研究路徑對其展開研究：現(xiàn)象—概念—性質(zhì)—應(yīng)用。

以一般觀念指導(dǎo)下的問題為導(dǎo)向，可以更好獲取和理解在函數(shù)結(jié)構(gòu)體系下的相關(guān)概念。隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生對于函數(shù)是“用抽象的符號表示數(shù)集之間對應(yīng)關(guān)系”的理解會更加深刻，進而真正把握函數(shù)概念的本質(zhì)。

（五）在科學(xué)合理的評價中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象思維水平

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，評價不僅要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要重視學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達成，幫助學(xué)生認(rèn)識自我和增強自信。在函數(shù)概念的教學(xué)過程中，教師可以從以下幾個方面關(guān)注學(xué)生的抽象思維水平：

（1）是否能夠在特例的基礎(chǔ)上歸納并形成簡單的概念（命題）。

（2）是否能用恰當(dāng)?shù)睦咏忉尦橄蟮臄?shù)學(xué)概念和規(guī)則。

例如：請列舉生活中的函數(shù)。

（3）是否能夠理解并準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)語言描述所學(xué)對象，并能進行文字、圖形、符號之間的轉(zhuǎn)化。

例如：請說明符號f（x），f（x-1）的含義。

（4）是否能夠提煉出解決一類問題的數(shù)學(xué)方法。

例如：我們是如何得到函數(shù)概念的？體現(xiàn)了怎樣的思想方法？

根據(jù)學(xué)生的回答，利用生生、師生互評互議，進一步促使學(xué)生反思。教師有意識地通過可操作、可評價的手段和方式，促進學(xué)生自我提升抽象思維水平。

另外，如何通過試題檢測學(xué)生思維的抽象水平？題目應(yīng)該如何命制？是否難度越大的題目，對抽象素養(yǎng)的要求就更高呢？ 這一系列的問題值得進一步探討。

抽象是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最重要的思維，抽象使得數(shù)學(xué)成為“高度概括、表達準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級”的系統(tǒng)[1]。抽象思維貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個過程，抽象思維有助于獲取新概念、準(zhǔn)確運用數(shù)學(xué)語言、形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系。教學(xué)中，教師要充分利用概念教學(xué)這一載體，有意發(fā)展學(xué)生的抽象思維，促進學(xué)生思維品質(zhì)的提升。