基于ARIMA 模型的北京市GDP 分析及預測研究

劉癑婷 LIU Yue-ting

（北京信息科技大學經濟管理學院，北京 100192）

0 引言

國內生產總值能夠綜合反映出一個地區或者國家在經濟發展方面的實際情況。GDP 可以反映出經濟增長狀況、生活水平、區域發展速度等，所以GDP 對于未來政策制定和發展方向確立有著至關重要的作用。因此，眾多學者運用多種數學方法來預測國家或地區GDP。在GDP 預測方面，國內學者展開了豐富研究，預測方法主要包括時間序列分析法[1]、人工神經網絡法[2]、灰色預測法[3]。研究表明，國內生產總值呈現非平穩趨勢規律，符合時間序列分析的預測條件。

北京市在經濟、文化、社會生活等發展進程中發揮了舉足輕重的作用。北京市擁有著眾多企業、高等院校、科研院所，中關村科技園是中國第一個國家級高新技術產業開發區，經過不斷地壯大發展，中關村科技園成為科技創新高地。北京市以科技創新發揮輻射帶動作用，助力區域經濟發展。因此，選擇研究北京市GDP 未來發展趨勢，這將有利于協助相關部門做出經濟決策，進一步助力北京市高質量發展。

1 文獻綜述

ARIMA 模型主要應用在GDP 和人口數量預測方面。在GDP 預測研究方面，王佳佳[4]選用1978-2019年安徽省GDP 數據，建立ARIMA（2，1，3）模型。王芳芳[5]選用2000-2018年陜西省GDP 數據，建立了ARIMA（5，2，1）模型。在人口數量預測方面，趙子銘[6]利用中國1949-2017年人口數據，研究發現ARIMA（1，2，1）模型較能完整合理的對中國人口總數進行預測。郭敏等[7]構建了ARIMA（0，1，2）模型預測了未來三年人口出生率。孫鑫鑫等[8]通過對1949-2017年全國人口出生率的原始數據進行分析，建立了ARIMA（1，2，2）模型。

通過查閱文獻，學者對陜西省、山東省等地研究較多，但是還未有學者對北京市GDP 進行預測分析。因此，選取北京市1997-2019年的GDP 數據作為研究對象，以此來預測北京市2020-2025年GDP。之所以以1997年作為開始數據，主要因為1997年是北京市GDP 首次超過2 千億元，從此以后北京市GDP 不斷加速增長，更具參考價值。

2 建立ARIMA 模型步驟

2.1 模型原理

ARIMA 模型全稱為差分自回歸移動平均模型，由博克思和詹金斯提出。ARIMA 模型所預測隨時間發展的數據是一個隨機序列，可以通過數學模型來預測和描述此隨機序列，利用時間序列的已發生數據結合模型去預測出未來數據，可認為是自回歸（AR）模型與滑動平均（MA）模型的差分組合，一般適用于非平穩時間序列建立的模型。ARIMA 模型包括AR、MA 和自回歸移動平均模型（ARMA）幾種特殊情況[8]。

ARIMA（p，d，q）模型數學表達式為：

其中：p-自回歸次數；q-滑動平均次數；d-差分次數（階數），指原始序列轉化為平穩序列的差分次數；L-滯后算子。不平穩的時間序列數據在有限次差分運算后可將變為平穩序列，通過差分后重新得到的時間序列，稱之為齊次非平穩時間序列，差分一次，即稱為一階齊次非平穩時間序列，以此類推。

2.2 建模步驟

①平穩性檢驗。利用Eviews 軟件進行ADF 單位根檢驗判斷序列是否平穩。若統計量值均小于各水平段的臨界值且概率值小于0.05，則序列是平穩的，反之不平穩。利用Eviews 軟件可以更加直接和客觀的反映出序列是否平穩。

②模型選擇。首先通過差分次數確定d；其次通過自相關函數（ACF）和偏向關函數（PACF）或BIC 準則，綜合確定p，q。ARIMA 模型要求序列為平穩序列，可通過ACF 和PACF 圖來判斷p 和q。如果ACF 圖在q 階處截尾，并且PACF 圖呈現拖尾，ARIMA 模型可簡化為MA（q）；如果PACF 圖在p 階處截尾，同時ACF 圖拖尾，ARIMA 模型可簡化為AR（p）；如果ACF 圖和PACF 圖都明顯呈現拖尾狀態，可考慮ACF 圖中最顯著的階數設為q 值，PACF 中最顯著的階數設為p 值；如果ACF 圖和PACF 圖都呈現截尾狀態，說明序列為白噪聲序列，不能使用ARIMA 模型。

③殘差檢驗。為了驗證模型的預測精度，需要對殘差進行檢驗。利用SPSS 軟件繪制殘差自相關圖與偏相關圖，確定殘差序列是否為白噪聲序列。

通過以上三個步驟，可以對北京市GDP 數據進行驗證和建模預測。

3 實例分析

3.1 數據來源

首先選取北京市1997-2019年地區生產總值數據為研究對象，所有數據均來源于《中國統計年鑒》，具體見表1。

表1 北京市生產總值數據 單位：億元

3.2 平穩性檢測

利用Eviews 軟件對北京市1997-2019年地區生產總值進行平穩性檢驗。首先，利用SPSS 軟件繪制北京市GDP 時序圖（見圖1）。

腰椎間盤突出癥屬于常見老年疾病，合并基礎疾病較多，治療難度較大[5]。該病治療方式較多，但臨床中不同治療方案下療效各不相同，在術后疼痛與功能障礙方面也有顯著差異。本研究旨在探討經皮椎間孔鏡治療腰椎間盤突出癥患者的臨床效果。

圖1 北京市1997-2019年地區生產總值時序圖

由圖1 可以看出，北京市地區生產總值總體呈上升趨勢，并且速度較快，是典型的非平穩序列，說明北京市1997-2019年地區生產總值為非平穩時間序列。

其次，應用對數法使序列平穩化使其可以進一步分析。應用對數法繪制出的時序圖，見圖2。

圖2 北京市1997-2019年地區生產總值自然對數的時序圖

運用Eviews 軟件對取對數之后的北京市GDP 序列進行單位根檢驗，見表2。

表2 原序列取對數后ADF 檢驗表

ADF 檢驗結果如表2 所示，單位根統計量ADF=-0.142491，大于顯著性水平（1%-10%）對應的ADF 臨界值，P=0.9902＞0.01，不拒絕原假設，序列為非平穩序列。因此對原始數據在取對數的基礎上進行一階差分，檢驗其是否平穩。

由圖3 可以看出，該序列始終在0 點左右隨機波動，并且波動范圍有界，因此，能夠確定原始數據取對數再進行一階差分之后的序列平穩。為了保證客觀，利用Eviews軟件對其進行單位根檢驗，判斷其是否平穩。

圖3 北京市1997-2019年地區生產總值自然對數一階差分時序圖

ADF 檢驗結果如表3 所示，單位根統計量ADF=-5.489635，小于顯著性水平（1%-10%）對應的ADF 臨界值，P=0.0003＜0.01，說明拒絕原假設，序列為平穩序列。因此，應該建立ARIMA 模型，且差分的階數d=1。

表3 原序列取對數后一階差分ADF 檢驗表

3.3 偏（自）相關性檢驗及差分運算

利用Eviews 進行偏（自）相關性檢驗，見表4。

表4 Eviews 自相關檢驗和偏自相關檢驗表

3.4 ARIMA 模型擬合及預測

由表5 看出，R 方為0.994，p=0.009＜0.01，擬合程度良好。

表5 模型統計量

對2019年往后五年進行預測，見表6。

表6 預測值

通過表5 中預測值可以看出，2020年至2025年北京市GDP 一直不斷穩定上升。

4 結束語

大部分GDP 原始數據都是不平穩的，因此需要將數據平穩化后，才能對其構建ARIMA 模型。

本文對北京市GDP 指數進行未來五年的預測，通過對北京市1997-2019年GDP 數據時序圖進行分析發現，該時間序列并不平穩，而平穩性是建模的基礎。

因此，運用ADF 檢驗，發現在原始序列取對數的基礎上再進行一階差分后的時間序列數據是平穩的，可以構建ARIMA 模型。

然后，對平穩的時間序列模型進行p，q 階數的確定，利用時間序列分析方法，建立ARIMA（0，1，0）模型，并對2020-2025年的北京市GDP 值進行預測，預測結果發現北京市GDP 不斷提升。

未來，還需對此研究進行進一步改進。本文沒有考慮宏觀和微觀外部環境對經濟發展的影響。比如2020年突如其來的新冠肺炎疫情，打破了全世界的經營秩序，生產經營活動按下了暫停鍵，多各地經濟發展產生嚴重沖擊。但是通過該模型預測2020年北京市GDP 仍是比較大幅度提升，與實際情況比較偏離。

基于ARIMA 模型的GDP 分析與預測，僅從歷史GDP數據建立模型，沒有考慮外界其他因素的影響，會造成預測結果不準確，后續可以進一步研究，不斷提高預測精度，為國民經濟發展提供指南。