有限群的F *-子群與可解性

何家文

(南寧學院通識教育學院 廣西南寧 530200)

在對有限群結構的研究中，利用子群的特性來確定有限群的結構以及探討群的性質，是有限群論研究的重要方向之一，也是有限群論研究的常用方法之一。利用子群的可補性探索有限群的結構是目前有限群論研究重要的研究課題之一，而有限群Hall-子群，Fitting子群，廣義Fitting 子群，Sylow-子群的極大子群、2-極大子群、極小子群等都是非常重要的子群，它們在有限群結構的研究中起到了非常關鍵的作用。一直以來，群論學家主要從多個方面推廣了可補性，提出了許多弱可補性的概念，利用上述子群的弱可補性，得到了很多有限群結構的經典刻畫。這對有限群論的發展起到重要地推動作用，形成了一個獨具特色的研究熱點。

利用子群的可補性能很好地刻畫有限群的結構。群G的子群H稱為在G中可補的，若存在G的子群K，使得G=HK且H∩K=1。1937 年，P.Hall 在文獻[1]中證明了G可解的充分必要條件是G的每個Sylow 子群在G中可補。

近二十年來，人們對子群可補性條件不斷地減弱，提出很多新的概念。2000 年，王燕鳴和Ballester-Bolinches A等人[2-3]提出了C-可補子群，稱群G的子群H在G中C-可補的，若存在G的子群K，使得G=HK且H∩K≤HG，其中HG表示包含在H中的G的極大正規子群，并利用Sylow子群及其極大子群的C-可補性，獲得了有限群的超可解性和可解性的結論：設G是一個有限群，N是G的一個正規子群，使得G/N是超可解性，如果N的每一個Sylow-子群的每一個極大子群在G中是C-可補的，那么G是超可解群；若G是一個有限群，則群G是可解群的充分必要條件是群G的每一個Sylow-子群在G中是C-可補的。

隨后，許多學者分別利用極小子群和素數冪階子群等子群的G-可補性，研究了有限群結構，得到了一系列豐富的成果，如：韋華全、王燕鳴和李樣明[4]利用有限群的Sylow-子群的極大子群和極小子群的C-可補性，獲得了結論：若F 是一個包含U的飽和群系，假設G是一個群，H是G的一個正規子群，使得G/H∈F。（1）若F*（H）的任一個Sylow-子群的所有極大子群都在G中是C-可補的，則G∈F；（2）若F*（H）的所有極小子群和所有4 階循環子群都在G中是C-可補的，則G∈F。

鐘祥貴[5]利用有限群的素數冪階子群的C-可補性，獲得了有限群的p-超可解群的判定：設p是一個素數，H是群G的一個正規子群，使得G/H∈U。如果H的所有Sylow-子群的所有極大子群都在G中是C-可補的，H是p-可解群且p-長最多為1，則G∈F。Mohamed Asaad[6]利用有限群G的正規p-子群P的極大子群的c-可補性，獲得了正規p-子群P?ZU(G)。

文獻[7]利用C-可補性概念，研究了有限CN-群和有限C-可補群的性質。2006年，韋華全[8]推廣了C-可補子群，給出了C*-可補子群的概念，群G的子群H稱在G中C*-可補的，如果存在G的子群K，滿足G=HK且H∩K是G的S-擬正規嵌入子群。2016 年，韋華全、楊立英和董淑琴[9]利用Sylowp-子群的極大子群的C*-可補，通過將群G局部化為NG（P）及對Frattini 子群的限制，獲得了有限群的p-冪零性的新刻畫：設F是一個包含U的飽和群系，H是群G的一個正規子群，使得G/H∈F，若F*（H）的任一個Sylow-子群P的每一個極大子群都在NG（P）中是C*-可補的，且對于某個Φ，滿足P′≤Φ ≤Φ(NF*(H)(P))，則G∈F。

2000 年，Bianchi M、Mauri A G B、Herzog M 等人[10]提出了H-子群，稱群G的子群H為G的H-子群，如果對于群G中所有元素g都滿足Hg∩NG（H）≤H。

2004 年，Cs?rg? P、Herzog M[11]利用H-子群的概念，獲得了結論：如果群G的所有素數階或4階循環子群是G的H-子群，則G是超可解的；一個A-群G是超可解的充分必要條件是G的所有Sylow-子群都是由G的循環H-子群生成的。

2010 年，郭秀云和魏先標[12]利用群G的Sylow-子群的非平凡的真子群是H-子群，獲得了有限群為超可解群的結論：若G是一個奇階群，如果G的每個非循環Sylow 子群P有一個子群D滿足1<|D|<|P|，且P的每個|D|階子群都是G的H-子群，則G是超可解群。

2017 年，Mohamed A[13]利用H-子群，進一步減弱C-可補子群的條件，提出了弱C-可補子群的概念，稱群G的子群H在G中弱C-可補的，若存在G的子群K，使得G=HK且H∩K∈H(G)，其中H(G)表示G的所有H-子群組成的集合，并研究了素數冪階子群的弱C-可補性對有限群的p冪零性的影響。

2018 年，Al-Gafri T M、Nauman S K[14]利用S-可置換子群，進一步推廣了H-子群，提出了SSH-子群的概念，稱群G的子群H為G的SSH-子群，如果G有一個S-可置換子群K，使得HsG=HK，且對于群G中所有元素g都滿足Hg∩NK(H)≤H，其中HsG是G中所有包含H的S-置換子群的交。利用SSH-子群，文獻[14]利用sylow 子群的極大子群和極小子群為SSH-子群討論了有限群的p-冪零性和超可解性。文獻[15]利用素數階SSH-子群，進一步研究了有限群的p-冪零性，得到了若干刻畫條件。文獻[16]利用局部化條件下群G的素數冪階子群在NG（P）中是SSH-子群，研究了有限群的結構，獲得了有限群的p-冪零性的新判定。

2005年，繆龍和郭文彬[17]利用群系理論，從另一角度推廣c-可補子群，引入了F-s-可補子群的概念。設F是一個群類，稱群G的子群H在G中F-s-可補的，如果存在G的一個子群K，使得G=HK且K/(K∩HG)∈F，并利用極大子群和2-極大子群的F-s-可補性，給出了有限群的性質和結構的刻畫。在此基礎上，文獻[18-20]利用準素數子群和極小子群的F-s-可補性，進一步討論了有限群的性質，獲得了有限群G為超可解群，p-冪零群和可解群的一些判別準則。

2010 年，鐘祥貴、張洪和何家文等人[21]受到F-s-可補子群的啟發，提出了F*-子群的概念，并利用群G的Sylow子群的極大子群為F*-子群，獲得有限群G為超可解群的若干判定：如果有限群G的Sylow子群的每個極大子群都是G的U*-子群，則G∈F；設G是有限群，H是G的正規子群，使得G/H?U，且H的Sylow 子群的極大子群都是G的U*-子群，則G?F。何家文等人[22]利用群G的Sylow 子群的極大子群和2-極大子群討論了有限群的p-冪零性，獲得若干判定準則。該文在上述研究的基礎上，利用群G的素數冪階子群，討論F*-子群對有限群G的可解性的影響。

該文中所有群均為有限群，|G|表示群G的階，|G:H|表示G的子群H在G中的指數，π（G）表示能整除G的階的素數集合，Op（G）表示G中最大的正規p-子群。設F 是一個群類，稱F 是一個群系，（1）若G∈F，N為G的正規子群，則G/N?F；（2）若N1，N2為G的正規子群，G/N1?F，G/N2?F，則G/(N1∩N2)?F。稱F 是一個飽和群系，若G/Ф(G)?F，可推出G?F。S表示可解群系；Sp表示p-可解群系；Np表示p-冪零群系；F（G）表示群G的Fitting 子群，F*（G）表示群G的廣義Fitting子群，其他未交待的定義和符號都是標準的，可以參考文獻[23]。

1 定義及引理

定義1[20]設F是一個群類，稱群G的子群H為G的F*-子群。若存在G的正規子群B，使得HB是G的正規子群，且B/（B∩HG）∈F，以及對于滿足（q，|H|）=1的任一素數q，B都包含G的一個Sylowq-子群，其中HG=∩g?GHg是包含在H中的G最大正規子群。

引理1[20]設F 為一個商群閉和子群閉的群類，G為有限群，N為G的正規子群，則

（1）若H是G的F*-子群，且H≤K，則H是K的F*-子群。

（2）若H是G的F*-子群，H是p-群，則HN/N是G/N的F*-子群。

（3）若N≤H，且H/N是G/N的F*-子群,則H是G的F*-子群。

引理2[22]設。則群G為可解群當且僅當對于任意i=1，…，s，G中存在子群。

引理3[22]若群G中存在π-可解正規子群N，使得G/N為π-可解群，則G是π-可解群。

引理4[22]如果群是π-可解群，則G中存在π′-Hall子群。

引理5[22]設N為G的正規子群，N和G/N均為可解群，則G為可解群。

引理6[21]設P是G的Sylowp-子群，其中p為|G|的素因子,若P的每個極大子群都為G的Np*-子群，則G/Op（G）是p-冪零群。

引理7[21]設P是G的Sylowp-子群，其中p為|G|的素因子且（p-1，|G|）=1，若P的每個2-極大子群都為G的Np*-子群，則G/O（pG）是p-冪零群。

2 主要結果

定理1 有限群G可解的充要條件是對于|G|的任一素因子p，都存在G的一個p-子群P為G的子群。

證明 首先證明必要性。如果G為p-可解群，則對于G的p-子群P，有

G=PG，且G/（G∩PG）∈Sp，

從而P是G的子群。

下面證明充分性。設P為G的一個p-子群且是G的子群。根據定義1 知，存在G的正規子群B，使得PB是G的正規子群，且B/（B∩PG）∈Sp，以及對任意不等于p的素數q，B都包含G的一個Sylowq-子群。由于B∩PG是p-可解群，根據引理3，故B是p-可解群，再由引理4可知，B中存在p′-Hall子群Bp′。于是，Bp′也是G的p′-Hall 子群，即Bp′=Gp′。由p的任意性和引理2，可知G是可解的。

定理2 設H是G的子群且|G:H|為素數q的方冪，如果H的任一Sylow 子群都是G的S*-子群，則G是可解群。

證明 令p∈π（H）且p≠q，設P是H的任一Sylowp-子群，由|G:H|為素數q的方冪，知P也是G的一個Sy‐lowp-子群。由假設，P是G的S*-子群，依定義1，存在G的正規子群B，使得PB是G的正規子群且B/（B∩PG）∈S，以及對任意不等于p的素數q1，B都包含G的一個Sylowq1-子群。由B∩PG可解，B/（B∩PG）可解及引理5，知B可解。再由引理2，知B中存在p′-Hall 子群Bp′。于是，Bp′也是G的p′-Hall 子群。如果q不整除|H|，由|G:H|為q的方冪，知H為G的q′-Hall 子群。于是對于任一p∈π（G），G中都有p′-Hall 子群。應用引理2 知G可解。如果q整除|H|，且設Q是H的一個Sylowq-子群。則由條件，知Q是G的S*-子群。依定義1 可知，存在G的正規子群K，使得QK是G的正規子群，K/（K∩QG）∈S，以及對任意不等p的素數q2，K都包含G的一個Sylowq2-子群。于是K可解，從而K有q′-Hall 子群Kp′，此時Kp′也是G的一個q′-Hall子群，再由引理2知，G是可解群。

定理3 設P是G的一個Sylowp-子群，其中p是|G|的素因子且（p-1，|G|）=1，若P的每個極大子群都是G的子群，那么G/Op（G）是可解的p-冪零群，進一步G可解。

證明 首先，由引理6可知，G/Op（G）是冪零的。其次，若p=2，那么G/O2（G）是2-冪零的，從而G存在正規2-補G2′，使得

G=PG2′且P∩G2′=1。

又由Feit-Thompson 定理知，G2′可解。于是G可看成是可解群G2′被可解群P的擴張，從而G可解。若p≠2，由（p-1，|G|）=1 知，G為奇數階群。再由Feit-Thompson 定理知，G可解，從而G/Op（G）是可解的。于是G/Op（G）是可解的p-冪零群。最后，由Op（G）是可解的和引理5知G可解。

定理4 設P是G的一個Sylowp-子群，其中p是|G|的素因子且（p-1，|G|）=1，若P的每個2-極大子群都為G的子群，那么G可解。

證明 如果p=2，則由引理7 知G/O2（G）是2-冪零的。類似定理3 的證明，可知G/O2（G）是可解的，再由O2（G）是可解的和引理5 知，G可解。如果p≠2，由（p-1，|G|）=1 知，G為奇數階群，再由Feit-Thompson 定理知，G可解。

3 結語

該文主要利用有限群G的子群H的Sylowp-子群及其極大子群和2-極大子群在G中為F*-子群來研究有限群的可解性，獲得了有限群為可解群的若干準則，豐富了有限可解群理論。