線段圖在解形如ax±x=b 方程中的妙用

浙江東陽市外國語小學(xué)（322100） 樓香君

線段圖，就是通過線段長短來反映數(shù)量大小，通過多條線段長短比例和拼接關(guān)系來反映數(shù)量關(guān)系，具有直觀、簡潔、實用的特點，它在解決和差、和倍、分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）問題，以及路程問題等題型時優(yōu)勢明顯。學(xué)生在解題時，先通過仔細(xì)審題，過濾掉其中的非數(shù)學(xué)因素，分析出各個數(shù)量結(jié)構(gòu)和分解組合變化情況后，再畫出線段圖，然后根據(jù)線段圖直觀地概括出數(shù)量關(guān)系，便可列式解決問題。但在教學(xué)實踐中，部分教師，特別是中低年級的教師認(rèn)為，面對簡單問題時畫線段圖純屬多此一舉，這造成學(xué)生的作圖解題能力長期得不到應(yīng)有的鍛煉；到了高年級，問題變得繁復(fù)而不得不使用線段圖時，才臨時抱佛腳，卻為時已晚。學(xué)生常常因為畫的圖驢唇不對馬嘴，直接影響解題技能的發(fā)揮。

學(xué)會畫圖，是學(xué)生形成解題謀略的基礎(chǔ)，因此作圖能力的訓(xùn)練培養(yǎng)應(yīng)從低年級抓起。下面筆者以北師大版教材四年級下冊“解形如ax±x=b的方程”一課為例，分享作圖法教學(xué)的一些經(jīng)驗。

一、課前思考

【例】“雙十一”時，支付寶交易額是微信交易額的3 倍，全網(wǎng)線上購物成交額為180 億。支付寶的交易額比微信的交易額多出90 億。國內(nèi)兩大電商巨頭的交易額各是多少？

圖1

上題是繼“認(rèn)識方程”“等式性質(zhì)”后安排在解方程中的例題。毋庸贅言，題中所給條件非常充足，編者意圖以豐富的條件誘導(dǎo)學(xué)生靈活自由地運用各種數(shù)量關(guān)系列方程，從多角度解答形如ax±x=b的方程。教材在題后呈現(xiàn)了線段圖，直觀揭示了數(shù)量關(guān)系“支付寶交易額+微信交易額=180 億”。對于教材如此設(shè)計，筆者滿腹狐疑：新教材并未單設(shè)章節(jié)教學(xué)線段圖，線段圖先前只在四年級上冊的“行程問題”中驚鴻一瞥，馬上銷聲匿跡；之后在五年級上冊的“相遇問題”、五年級下冊的“分?jǐn)?shù)混合運算”中也是“猶抱琵琶半遮面”。筆者查閱其他版本的教材也有類似現(xiàn)象，只有蘇教版教材在四年級下冊安排了“畫圖策略”的專題講解。這種躲躲藏藏的做法，不但破壞了教材的完整性，而且把解決問題和分析線段圖并在一起授課，勢必會加大任務(wù)量，造成課程超載。因為目前學(xué)生尚無能力根據(jù)題意繪制線段圖，而無法正確熟練地繪制線段圖，建立在圖解之上提取數(shù)量關(guān)系列方程就會成為空中樓閣。教學(xué)中，如何才能做到解題和作圖兩全其美、統(tǒng)籌兼顧呢？如何“榨干”線段圖這根“拐杖”的價值呢？為此，筆者對教材稍加改進(jìn)。

線段圖作為一種直觀的教學(xué)手段，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一直都有著舉足輕重的地位。這種教學(xué)法與學(xué)生平時所見所用的示意圖存在很大差異，它是經(jīng)過幾何抽象化處理的示意圖，不但具有會意的作用，還有展示數(shù)量關(guān)系的功能。學(xué)生由一般的象形圖進(jìn)入線段圖的世界，一下子很難適應(yīng)。學(xué)生習(xí)慣用“和差倍分”來分析數(shù)量關(guān)系，對這種用線段長度表示數(shù)量多少與比例的表征還未能建立對應(yīng)的思維接口。之前學(xué)生解決的一般都是代數(shù)問題，而線段圖其實就是相當(dāng)于將代數(shù)問題幾何化，但又不是傳統(tǒng)意義上的數(shù)形結(jié)合。傳統(tǒng)意義上的數(shù)形結(jié)合中，數(shù)據(jù)屬性與幾何形態(tài)存在很大的相似性和可比性。例如行程問題中的路程本身就是直線路線，所以用線段表示路程再貼切不過了；如果是數(shù)量比較問題，就用幾何符號代替不同的事物。而線段圖則是抽象化后的數(shù)量，完全脫離實物形象，因此，學(xué)生需要一個循序漸進(jìn)的“爬坡”過程。

二、教學(xué)過程

（一）呈現(xiàn)線段圖

1.直接出示

出示：

師：觀察上面2條線段，有什么發(fā)現(xiàn)？

（線段②長度有3 份，相當(dāng)于3 條線段①的長度；線段②的長度比線段①的長度多出2份）

2.完善關(guān)系

師：如果用含有未知數(shù)的代數(shù)式來表示線段長度，你覺得應(yīng)如何表示？（用x表示1個單位長度，線段②的長度可用3x表示）

板書：

師：如果已知兩條線段的總長是180，你能計算出單位長度x的具體值嗎？

（學(xué)生獨立思考）

3.初步解決

板書：x+3x=180 ? 4x=180 ?x=45

師：請談?wù)勀愕乃悸贰＃〝?shù)量關(guān)系：1個x+3個x=180）

此處，將線段圖表示數(shù)量關(guān)系與列方程有機(jī)結(jié)合起來：列方程解決問題的第一步是設(shè)未知數(shù)，然后分析題中的數(shù)量關(guān)系，再列出方程。而為列方程提供的數(shù)量關(guān)系需要先將未知數(shù)作為數(shù)量關(guān)系的一部分，再分析出包含未知量的數(shù)量關(guān)系，這與畫線段圖分析數(shù)量關(guān)系有著微妙的聯(lián)系：線段圖里不同線段之間有著包含與被包含的關(guān)系，可以根據(jù)需要設(shè)定其中任意一條線段為未知數(shù)，或者設(shè)定其中特定的一條線段為未知數(shù)，而且?guī)讞l線段之間的長度關(guān)系剛好就是等量關(guān)系，這為列方程做好了準(zhǔn)備。

線段圖是從情境中抽離數(shù)量關(guān)系后的簡圖，具有一定的幾何直觀性，但是線段圖中不同的數(shù)量是用不同的線段表示的。因此，各個數(shù)量之間到底存在什么樣的縱向關(guān)系，僅僅從線段上是看不出來的，這就需要進(jìn)行勾連。方程無疑是最好的連接鏈條，因為列方程需要等量關(guān)系，這個等量關(guān)系就是各條線段之間的縱向關(guān)系；而各線段之間的橫向倍比關(guān)系就是為了統(tǒng)一計量標(biāo)準(zhǔn)，也就是為了用含有同一個未知數(shù)的代數(shù)式表示各條線段的數(shù)量大小。這樣線段圖的橫向關(guān)系和縱向關(guān)系就被方程完美地聯(lián)結(jié)到一起，這比單純根據(jù)原題列方程容易得多。

（二）自主建構(gòu)

1.情境對接

師：根據(jù)線段圖展開聯(lián)想，你覺得可以賦予它們哪些現(xiàn)實情境？

（學(xué)生眾說紛紜，有的說兩個施工隊的施工問題，有的說兩個商店某天的營業(yè)額問題，也有的說支付寶和微信某個季度的交易額問題。）

師：我們就用支付寶和微信交易額問題繼續(xù)研究。

學(xué)生對線段圖的模式掌握到一定程度后，教師就可以抽離具體情境，讓學(xué)生自己根據(jù)線段圖中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系來賦予問題情境，編寫題目，這樣教學(xué)可以進(jìn)一步深化學(xué)生對線段圖的理解。再加上直接在線段上寫未知數(shù)等于是跳脫了問題情境而列出方程的雛形，這對學(xué)生透過情境表象提取數(shù)量關(guān)系列方程大有裨益。

這一環(huán)節(jié)的設(shè)計可謂獨具匠心，為了讓學(xué)生接受線段圖的抽象性，先出示一幅線段圖，標(biāo)識出各個數(shù)據(jù)及其縱向關(guān)系，然后讓學(xué)生根據(jù)這種帶有半方程半線段圖性質(zhì)的“數(shù)形圖”來編寫情境。學(xué)生可以發(fā)揮自己的想象力，憑借自己的經(jīng)驗，根據(jù)縱向和橫向的數(shù)量關(guān)系來合理編寫恰當(dāng)?shù)墓适虑楣?jié)，只要合情合理，數(shù)量關(guān)系與“數(shù)字圖”吻合即可。學(xué)生通過不同情境的編排和設(shè)計，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)線段圖的抽象性和簡練性，不僅對線段圖的特性有進(jìn)一步的認(rèn)識，而且在以后分析題意時，即使沒有線段圖，也能一眼洞穿數(shù)量關(guān)系這個“要害”，自動忽略次要因素。

2.深入研究

師：剛才列的方程“x+3x=180”在移動支付的情境中憑借的等量關(guān)系是什么？（支付寶交易額+微信交易額=180 億）除了這個等量關(guān)系，還有沒有其他的？請繪出線段圖，然后根據(jù)線段圖來列方程。

（學(xué)生獨立操作，教師巡視）

3.展示分享

師（指名匯報）：說說你的構(gòu)圖方略，并展示所列方程。

學(xué)生展示：

解法一：設(shè)微信交易額x億，支付寶交易額x+90億。

x+（x+90）=180?2x+90=180?2x=90?x=45?x+90=45+90=135。

解法二：設(shè)微信交易額x億，支付寶交易額3x億。

3x-x=90?2x=90?x=45?3x=45×3=135。

解法三：設(shè)支付寶交易額x億。

x+（x-90）=180?2x-90=180?2x=270?x=135?x-90=135-90=45。

4.對比反思

師：上述4 種方法，你更鐘愛哪一種？你覺得線段圖在此處扮演著什么角色？今天所列方程與之前所列方程有何不同？（含有2個未知數(shù)）

原題為了訓(xùn)練學(xué)生多維度分析線段圖的能力，給出了兩個表示縱向關(guān)系的條件，一個是“全網(wǎng)線上購物成交額為180 億”，另一個是“支付寶的交易額比微信的交易額多90 億”。有了這兩個重復(fù)的縱向條件，學(xué)生就可以基于不同的等量關(guān)系列出不同的方程。無論是哪種方程，都只是各線段的縱向關(guān)系發(fā)生調(diào)整，橫向的倍比關(guān)系并未發(fā)生改變。這種訓(xùn)練不但拓寬了學(xué)生分析線段圖的視野，而且增強(qiáng)了學(xué)生分析線段圖的靈活性。

三、課后反思

如果把數(shù)量關(guān)系比作“根”，那么情境就是“枝葉”。

1.先扎根后披綠。為了體現(xiàn)線段圖的功用，可一改教材的通行做法，將情境之“枝葉”后置，直接出示線段圖，如此數(shù)量關(guān)系昭然若揭，方程也呼之欲出。直觀的線段圖一開始就刻印在學(xué)生的腦海中，再去思考“這個線段圖可以賦以何種情境”，前面深深“扎根”，后面自然會“枝繁葉茂”，各種合理有趣的情境如雨后春筍般冒出。教學(xué)實踐表明：學(xué)習(xí)解決形如ax±x=b的方程，提取等量關(guān)系是關(guān)口，難點是兩邊的數(shù)量里都含有未知數(shù)；而這個數(shù)量關(guān)系通過線段圖展示可一覽無遺，條分縷析，“扎根”成功了，再想象情境就如同開枝散葉。至此，學(xué)生對線段圖的作用和畫法也就略有所知了。

2.平穩(wěn)過渡。在學(xué)生首次經(jīng)歷從“線段圖”中提取數(shù)量關(guān)系后，筆者讓學(xué)生進(jìn)一步嘗試“畫線段圖”，只需談畫法和感想，避免因難度陡增而嚇退學(xué)生。學(xué)生的思維方式不同，所作線段圖和所列方程自然不同，學(xué)生給出了三種方案，但是無一例外都是運用已有的數(shù)量關(guān)系。匯報交流的過程中，學(xué)生相互啟迪智慧，交換意見，對線段圖的畫法有了統(tǒng)一、成熟的認(rèn)識，表述趨向規(guī)范，其體驗也愈加深刻。從“初識線段圖—繪制線段圖—解說線段圖”到最終“反思線段圖有什么作用”這層層遞進(jìn)的活動，不但有效地培養(yǎng)了學(xué)生的畫圖能力，而且增強(qiáng)了學(xué)生的運用意識，成效斐然。

3.優(yōu)勢盡顯。事實表明，從中低年級就開始引導(dǎo)學(xué)生畫線段圖是明智之舉。線段圖作為一種直觀手段，是幫學(xué)生從形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)型的利器，它是數(shù)形結(jié)合思想的雛形，有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。教師應(yīng)不遺余力地幫助學(xué)生識圖、讀圖、作圖、釋圖，強(qiáng)化他們的圖形意識，提升他們的作圖能力，使他們可以在圖文間穿梭自如。更重要的是，教師應(yīng)在長期的訓(xùn)練中讓學(xué)生充分運用作圖優(yōu)勢，讓作圖習(xí)慣深深植根于學(xué)生的潛意識里。唯有如此，學(xué)生到了高年級時才不會遭遇“巧婦難為無米之炊”的窘境。

綜上可知，切不可在中低年級教學(xué)時敷衍了事，跳過作圖教學(xué)，直接從文字層面分析數(shù)量關(guān)系。這樣做雖茍安一時，但后患無窮。